第2章四边形平行四边形创新题赏析（附答案湘教版八下）

平行四边形创新题赏析平行四边形部分是初中数学的重点内容，在各地中考试卷中都占有一定的分量。随着课程改革的进一步深入，出现了许多构思新、重素质、考能力的创新题型，令人耳目一新；它对培养和考查学生的发散能力和综合能力大有裨益。现例举中考题几例并加以归类浅析，希望对同学们有所启发。一、补充说理型例1.如图1，已知四边形ABCD是平行四边形，∠BCD的平分线CF交边AB于F，∠ADC的平分线DG交边AB于G。（1）求证：AF＝GB；（2）请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得△EFG为等腰直角三角形，并说明理由。图1解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD，∴∠AGD＝∠CDG又∵DG是∠ADC的平分线∴∠ADG＝∠GDC∴∠AGD＝∠ADG∴AD＝AG同理可得：BF＝BC在平行四边形ABCD中，AD＝BC∴AG＝BF∴AF＝GB（2）可以添加条件∠ADC＝90°或四边形ABCD是矩形说理如下：∵四边形ABCD是矩形∴∠ADC＝∠BCD＝90°又DG、CF平分∠ADC和∠BCD7 ∴∠EDC＝∠ECD＝45°∴∠AGD＝∠BFC＝45°，∠FEG＝90°即△EFG是等腰直角三角形。点评：此例把解题的主动性交给学生，让学生添加条件再说理，给学生创造了一个适度的思维空间；富有创意，活而不难，有利于激发学生的信心和探索欲望。二、判断类比型例2.已知任意四边形ABCD，且线段AB、BC、CD、DA、AC、BD的中点分别是E、F、G、H、P、Q。（1）若四边形ABCD如图2-1，判断下列结论是否正确（正确的在括号里填“√”，错误的在括号里填“×”）。甲：顺次连接EF、FG、GH、HE一定得到平行四边形；（）乙：顺次连接EQ、QG、GP、PE一定得到平行四边形。（）（2）请选择甲、乙中的一个，证明你对它的判断。（3）若四边形ABCD如图2-2，请你判断（1）中的两个结论是否成立？解析：（1）甲的判断是正确的；乙的判断是错误的。（2）对甲说理如下：连接EF、FG、GH、HE（如图2-3）7 ∵E、F分别是AB、BC的中点∴EF是△ABC的中位线同理，HG∥AC∴EF∥HG，EF＝HG∴四边形EFGH是平行四边形对乙可举反例说明：如图2-4，在矩形ABCD中，顺次连接EQ、QG、GP、PE得到一条线段，而不是一个平行四边形。（3）对图2-2，类似于（1）中的结论甲、乙都成立。点评：此例通过设计问题串，让学生经历判断、归纳，从而建立认识，再作判断；体现了新课程下命题者关注学生思维过程的良苦用心。三、猜想证明型例3.已知：如图3，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE＝BF。请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）。图37 （1）连接_____________；（2）猜想_____________＝_____________；（3）证明解析：连接AF，猜想AF＝AE。证明：连接AC，交BD于O∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD于O，DO＝BO∵DE＝BF，∴EO＝FO∴AC垂直平分EF∴AF＝AE点评：此例要求学生经历探索—猜想—证明的思维过程，这种螺旋上升的结构符合学生的心理特征和认知规律。让考生在试卷上留下思维的痕迹，能创造性地激活学生的思维。四、运动探究型例5.如图4，已知平行四边形ABCD及四边形外一直线，四个顶点A、B、C、D到直线的距离分别为a、b、c、d。（1）观察图形，猜想得出a、b、c、d满足怎样的关系式？证明你的结论。（2）现将向上平移，你得到的结论还一定成立吗？请分情况写出你的结论。解析：（1）证明：连接AC、BD，且AC、BD相交于点O，为点O到的距离图4∴为直角梯形的中位线7 同理：（2）不一定成立。分别有以下情况：直线过A点时，；直线过A点与B点之间时，；直线过B点时，；直线过B点时与D点之间时，；直线过D点时，；直线过C点与D点之间时，；直线过C点时，；直线过C点上方时，。点评：将静态的数学与动态的变化结合起来，给数学以生命，让学生在图形的变化中理解体验变与不变。本题以“平行四边形”、“线”为背景，在“动”中开拓学生视野，拓宽学生的思维空间，在“静”中寻找关系，从而找到解决问题的途径。该题较好地考查了学生观察、分析、判断论证能力和探究创新能力；有利于培养学生严谨的思维习惯和缜密的治学态度。五、图形设计型例5.在△ABC中，借助作图工具可以作出中位线EF，沿着中位线EF一刀剪切后，用得到的△AEF和四边形EBCF可以拼成平行四边形EBCP，剪切线与拼图如图示1，仿上述的方法，按要求完成下列操作设计，并在规定位置画出图示。图示1（1）在△ABC中，增加条件_____________，沿着_____________一刀剪切后可以拼成矩形，剪切线与拼图画在图示2的位置；（2）在△ABC中，增加条件_____________，沿着_____________7 一刀剪切后可以拼成菱形，剪切线与拼图画在图示3的位置；（3）在△ABC中，增加条件_____________，沿着_____________一刀剪切后可以拼成正方形，剪切线与拼图画在图示4的位置；（4）在△ABC（AB≠AC）中，一刀剪切后也可以拼成等腰梯形，首先要确定剪切线，其操作过程（剪切线的作法）是____________________________然后，沿着剪切线一刀剪切后可以拼成等腰梯形，剪切线与拼图画在图示5的位置。解：（1）方法一：∠B＝90°，中位线EF，如图示2-1。方法二：AB＝AC，中线（或高）AD，如图示2-2。（2）AB＝2BC（或者∠C＝90°，∠A＝30°），中位线EF，如图示3。（3）方法一：∠B＝90°且AB＝2BC，中位线EF，如图示4-1。方法二：AB＝AC且∠BAC＝90°，中线（或高）AD，如图示4-2。（4）方法一：不妨设∠B＞∠C，在BC边上取一点D，作∠GDB＝∠B交AB于G，过AC的中点E作EF∥GD交BC于F，则EF为剪切线，如图示5-1。方法二：不妨设∠B＞∠C，分别取AB、AC的中点D、E，过D、E作BC的垂线，G、H为垂足，在HC上截取HF＝GB，连接EF，则EF为剪切线，如图示5-2。方法三：不妨设∠B＞∠C，作高AD，在DC上截取DG＝DB，连接AG，过AC的中点E作EF∥AG交BC于F，则EF为剪切线，如图示5-2。7 点评：重视提高动手操作能力和实践能力，是素质教育新课程的切入点。此类题设计新颖，不落俗套，为考生画图操作、类比联想、反思探究提供了自由发挥、自主探究的广阔思维空间；对进一步理解和应用所学知识，发展创新能力、实践能力、操作能力大有裨益；让学生在具体的操作情境中，领悟数学的发展与形成的真谛。初三中考作业本有这样一道题:如图所示,已知四边形纸片ABCD,现需将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片,如果限定裁剪线有两条,能否做到:____(选填"能"或"不能"),请确定裁剪线的位置,并说明拼接方法:若填"不能",请简要说明理由.拿到此题,学生们感觉无从下手.仔细分析此题,此题涉及到如何剪,如何拼的问题,因而我作了如下的解题分析.一.寻找解题思路.(1)由于四边形内角和为3600,因而可以将四个内角拼成一个周角,可以进行平面镶嵌.(2)由于拼成的四边形是平行四边形,因而必须注意边长的特殊性,可以取各边的中点.在找到思路的基础上,我们就可动手裁剪--沿对边的中点剪开,分割成四部分.二.如何拼凑是本题的难点,关键是不能将剪下的图形弄乱.拼时以其中一块图形不动,抓相等的边拼在一起,以相临两边的中点为旋转中心将其中两块图形转1800,不相临的第三块图形平移到空缺处.三.如何说明它是平行四边形.(1)必须说明三点共线.可用两角之和为1800.(2)必须说明它是平行四边形.可用角的关系证明两组对边平行.经过以上的分析,裁剪,拼凑,证明,才可完整的完成此题.7