江苏省南京师范大学苏州实验学校2023-2024学年高三上学期7月阶段性调研数学试题

2023年7月高三阶段性调研试卷数学2023.07一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.21.已知集合A={xx−<30x}，集合Bx={log(x−<1)1}，则AB（）3A.{xx03<<}B.{xx13<<}C.{xx04<<}D.{xx14<<}n42.已知(311xx−+)()的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中含x的项的系数为（）A.20B.25C.30D.35π23.已知sin−−θcos(πθ+=)6sin(2πθ−)，则sincosθθ+cosθ等于（）23232A.B.C.−D.−55554.我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图像的特2a征，如函数fxx()=+∈(aR)的图像不可能．．．是（）xA.B.C.D.1−0.55.已知函数fx()=−x，若a=log2，b=log0.2，c=0.5，则（）50.5xA.fbfafc()<<()()B.fcfbfa()<<()()C.fbfcfa()<<()()D.fafbfc()<<()()6.为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：汽车驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL.据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末减少25%.那么此人在开车前至少要休息（）（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）学科网（北京）股份有限公司 A.4.1小时B.4.2小时C.4.3小时D.4.4小时327.已知函数fx()=+−+xaxxbab(,∈R)，则不正确的是（）A.若点(0,2)可能是曲线yfx=()的对称中心，则a=0，b=2B.fx()一定有两个极值点C.函数yfx=()可能在R上单调递增D.直线yx=−可能是曲线yfx=()的切线1a8.已知不等式xax+ln+≥x对x∈(1,+∞)恒成立，则实数a的最小值为（）xeeA.−eB.−C.−eD.−2e2二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.9.给出下列命题，其中正确命题为（）A.若样本数据x，x，…，x的方差为2，则数据21x−，21x−，…，21x−的方差为412101210B.回归方程为yx=0.60.45−时，变量x与y具有负的线性相关关系2C.随机变量X服从正态分布N(3,σ)，PX(≤=4)0.64，则PX(2≤≤=3)0.0722D.相关指数R来刻画回归的效果，R值越大，说明模型的拟合效果越好π10.若函数fxA()=sin(ωϕx+>><)A0,ωϕ0,的部分图象如图，则（）2A.fx()是以π为周期的周期函数πB.fx()的图象向左平移个单位长度得到的图象对应的函数是奇函数3学科网（北京）股份有限公司 55ππC.fx()在,上单调递减126kππD.fx()的图象的对称中心为+,0，k∈Z21211.已知函数fx()及其导函数fx′()的定义域均为R，对任意的x，y∈R，恒有fxyfxy(++−=)()2fxfy()()，则下列说法正确的有（）A.f(00)=B.fx′()必为奇函数202311C.fxf()+≥(00)D.若f(1)=，则∑fx()=2n=1212.对于函数fx()和gx()，设x∈={xfx()0}，x∈={xgx()0}，若存在x，x，使得1212x−3xx−≤1，则称fx()与gx()互为“零点相邻函数”.若函数fx()e=+−x4与gx()=lnxmx−互为12“零点相邻函数”，则实数m的值可以是（）ln5ln3ln21A.B.C.D.532e三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.413.设曲线yxx=ln在点(1,0)处的切线与曲线y=在点P处的切线垂直，则点P的横坐标为______.x14.有8个座位连成一排，甲、乙、丙、丁4人就坐，要求有且仅有两个空位相邻且甲、乙两人都在丙的同侧，则共有______种不同的坐法.15.2020年9月1日至23日（日代码分别为1，2，…，23），某餐馆在区域M内投放广告单数量y（万张）0.38+bx与日代码x的数据符合回归方程y=e，则b=______（精确到小数点后两位）.参考数据：89.7yyy⋅⋅⋅⋅...y=e，x=12.123232xxx++≤2e2,(0)16.已知函数fx()=，若存在实数abc<<，满足fafbfc()=()=()，则ln,(xx>0)afa()++bfb()cfc()的最小值为______.四、解答题：本大题共6小题，共计70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.35ππ3ππ317.（1）已知sin+=α，cos−=β，且0<<<<αβ，求cos(αβ+)；4134544学科网（北京）股份有限公司 cos1901°+(3tan10°)（2）化简：.cos70°+1cos40°n118.对于二项式x+.42⋅x2（1）若展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，求展开式中x的系数；（2）若展开式的前三项的系数成等差数列，求展开式的中间项.19.已知函数fxA()=sin(ωφx+)，其中A>0，0<<φπ，函数fx()图象上相邻两个对称中心之间的距ππ离为，且在x=处取到最小值－2.43（1）求函数fx()的解析式；π（2）若将函数fx()图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位得到函6数gx()图象，求函数gx()的单调递增区间；π（3）若函数gx()在xm∈,内的值域为[−2,1]，求m的取值范围.620.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2sinbAa−=30.（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）求cosABC++coscos的取值范围.121.某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同.甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己2没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为p，假设每道题答对与否互不影响.1（1）当p=时，5（i）若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率；（ii）甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望EX；2（2）乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目315的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率p的最小值.36学科网（北京）股份有限公司 22.已知函数fx()=−∈axxaln(R).（1）求函数yfx=()的单调区间；（2）若函数yfx=()在其定义域内有两个不同的零点，求实数a的取值范围；xxx121（3）若0<<xx，且==a，证明：<−2xx.1221lnxxlnlnx121学科网（北京）股份有限公司 2023年7月高三阶段性调研试卷答案（数学）一、单选1.B2.B3.A4.A5.C6.B7.C8.C二、多选9.BD10.AC11.BCD12.BCD三、填空题13.±214.48015.0.2916.−e四、解答题3317.（1）−；（2）−22.65ππ333ππππ【详解】（1）∵0<<<<αβ，∴<+<απ，−<−<β0，44442435ππ33π12π4又sin+=α，cos−=β，∴cos+=α−，sin−=β−，4134541345333ππππππ∴cos(αβ+=)sin+−−=αβsin+×αcos−−βcos+×αsin−β4444445312433=×−×=−；……5分135135653sin10°cos19013tan10cos180(°+°10)1+−cos10°×cos10°+3sin10°°+(°)cos10°cos10°（2）==cos70°1cos40+°cos70°°2cos2022sin20cos20°⋅°13−2cos10°+sin10°22−°4sin40===−22……10分22sin40°×°2sin20cos20⋅°21053518.（1）（2）x88【详解】（1）解：因为展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，r37rr10−1所以CCnn=，解得n=10，则展开式通项为TCxr+1=10()42⋅x学科网（北京）股份有限公司 rr10−−rr203rrr11−203−r=Cx24x=Cx4，令=2，解得r=4，代入通项有：1010224442211052105TC=x=x，所以x的系数为；……6分510288nrrnr−−rr23nr1rnr−11rr−1（2）二项式x+通项为：TC=()x=Cx24xCx=4，4rn+124n22n2⋅x⋅x010111n所以第一项的系数为：C=1，第二项的系数为：C=，nn2222221nn−第三项的系数为：C=，由于前三项的系数成等差数列，n282nnn−所以21×=+，解得n=8，或n=1，因为至少有前三项，所以n=1（舍），故n=8，28441135所以展开式有9项，中间一项为TC=x=x……12分5828ππππ519.（1）fx()=2sin4x+；（2）kππ−∈,()kkZ;（3）,.6226π【详解】（1）函数fxA()=sin(ωφx+)图象上相邻两个对称中心之间的距离为，4Tππ2π设fx()周期为T，则=，即T=，因此，ω==4，242Tπ43πππ因fx()在x=处取到最小值－2，则+=+φπ2k，k∈Z，而0<<φπ，则φ=，A=2，3326π所以函数fx()的解析式是fx()=2sin4x+；……4分6（2）由（1）知：将函数fx()图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到πyx=2sin2+，6ππ再将所得图象向左平移个单位，到函数gx()=2sin2x+=2cos2x的图象，62学科网（北京）股份有限公司 π由2kππ−≤≤22(xkkπ∈Z)得：kππ−≤≤xkk()∈Z，2π所以函数gx()的单调递增区间为kππ−∈,()kkZ；2ππ（3）由（2）知gx()=2cos2x，由于xm∈,，则有2xm∈,2，……8分63ππ因函数gx()的值域为gx()∈−[2,1]，而g=1，g=−2，62πππ显然gx()在,上单调递减，则有m≥，622ππ当x∈,π时，2x∈[ππ,2]，于是有gx()在,π上单调递增，又gx()=1，则max2215π5πgm()=2cos2m≤1，即cos2m≤，从而得2m≤，解得m≤，236ππ5ππ5综上得：≤≤m，所以m的取值范围为,.……12分2626π313+20.（Ⅰ）B=；（Ⅱ）,3223（Ⅰ）由2sinbAa=3，结合正弦定理可得：2sinsinBA=3sinA，∴sinB=，2π△ABC为锐角三角形，故B=……4分312π（Ⅱ）结合（Ⅰ）的结论有：cosABCA+cos+cos=cos++cos−A23131311π1=cosAAA−cos+sin+=sinAA+cos+=sinA++.222222622π0<−<πA32πππππ2由可得：<<A，<+<A，……8分0<<Aπ623632学科网（北京）股份有限公司 π3π1313+则sinA+∈,1，sinA++∈，.626222313+即cosABC++coscos的取值范围是,……12分22512221.（1）（i）；（ii）分布列答案见解析，数学期望；；（2）最小值为.653【详解】（1）（i）记事件A为“甲答对了某道题”，事件B为“甲确实会做”，11111PAB()25则PA()=+×，PAB()=，所以PBA()===……3分2252PA()1116+⋅2251113（ii）随机变量X可取0、1、2、3、4，甲答对某道题的概率为PA()=+⋅=，2255kk4−3k32则XB~4,，则PXkC(=)=(k=0,1,2,3,4)，则随机变量X的分布列为4555X01234169621621681P625625625625625312则EX()4=×=……7分55（2）记事件A为“甲答对了i道题”，事件B为“乙答对了i道题”，ii11111其中甲答对某道题的概率为+=+pp(1)，答错某道题的概率为1−+=−(1pp)(1)，22222212111112则PA()=⋅+⋅−=−C(1p)(1p)(1p)，PA()=+=+(1p)(1p)，122222242111214PB(0)==，PB(12)=⋅⋅=C，……939339所以甲答对题数比乙多的概率为PAB(10AB21AB20)=++PAB(10)PAB(21)PAB(20)1222211411115=−⋅++⋅++⋅=⋅++≥(1p)(1p)(1p)(3pp107)，2949493636学科网（北京）股份有限公司 22解得≤<p1，即甲的亲友团助力的概率P的最小值为……12分33aax−22.【详解】（1）函数fx()定义域为(0,+∞)，∵fx()=−∈axxaln(R)，∴fx′()=−=1.xx①当a≤0时，fx′()<0在(0,+∞)上恒成立，即函数yfx=()的单调递减区间为(0,+∞)；②当a>0时，fx′()=0，解得xa=，当xa∈(0,)时，fx′()>0，∴函数yfx=()的单调递增区间为(0,a)，当xa∈(,+∞)时，fx′()<0，∴函数yfx=()的单调递减区间为(a,+∞)，综上可知：①当a≤0时，函数yfx=()的单调递减区间为(0,+∞)；②当a>0时，函数yfx=()的单调递增区间为(0,a)，单调递减区间为(a,+∞)；……3分（2）由（1）知，当a≤0时，函数yfx=()在(0,+∞)上单调递减，∴函数yfx=()至多有一个零点，不符合题意，当a>0时，函数yfx=()在(0,a)上单调递增，在(a,+∞)上单调递减，∴fx()=faaaa()=ln−,max又函数yfx=()有两个零点，∴faaaaaa()=ln−=(ln−>1)0，∴a>e，又f(1)=−<10，∴∃∈xa(1,)，使得fx()=0，1122222−a又fa()=aaaaln−=(2lnaa−)，设ga()=2lnaa−，ga′()=−=1，aa∵a>e，∴ga′()<0，∴函数ga()在(e,+∞)上单调递减，∴ga()=g(e2e0)=−<，max2∴∃∈x(aa,)，使得fx()=0，综上可知，a>e为所求……7分22（3）依题意，x，x（0<<xx）是函数yfx=()的两个零点，1212设x=tx，因为xx>>⇒>01t，2121xxtxlntat11−121∵a===，∴lnx=，==，1lnxxxtlnln+lnt−1xxtlnln12111学科网（北京）股份有限公司 xx11t−11不等式<−⇔2xxt<−⇔2xxtt<−⇔<−2121，2111lnxlnxlnxtln111∵t>1，所证不等式即2lntttt−−+>ln10，121设ht()=2lntt−−+lntt1，∴ht′()=2lnt+−−21，ht′′()=+>0，2ttt∴ht′()在(1,+∞)上是增函数，且hth′′()>=(10)，所以ht()在(1,+∞)上是增函数，且ht()>=h(10)，即2lntttt−−+>ln10，从而所证不等式成立.……12分学科网（北京）股份有限公司