福建省厦门市2023届高三数学适应性练习试题（Word版附解析）

厦门市2023届高三毕业班适应性练习数学试题满分150分考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算法化简复数，再根据复数的几何意义判断即可.【详解】因为，所以，所以复数在复平面内对应的点为，位于第一象限.故选：A2.已知双曲线的焦距为4，则其离心率为（）A.B.C.2D.4【答案】B【解析】【分析】利用双曲线的焦距的定义及双曲线的标准方程的特点，结合双曲线的离心率公式即可求解. 【详解】由双曲线的焦距为4，可得，所以，.故选：B.3.某餐馆在网站有200条评价，好评率为，在网站有100条评价，好评率为．综合考虑这两个网站的信息，这家餐馆的好评率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据已知数据直接计算可得.【详解】解：由已知可得这家餐馆的好评率为.故选:C.4.已知圆台上下底面的半径分别为1和2，母线长为3，则圆台的体积为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先根据勾股定理求解圆台的高，再根据台体的体积公式求解即可.【详解】由图可得，圆台的高为，故圆台的体积为.故选：B5.17世纪中叶，人们认为同时掷两枚骰子时，若不给两枚骰子标记号，两枚骰子的点数和为6或7的可能结果数相同，则出现的概率就应该相同．然而有人发现，多次的试验结果和人们的预想不一致，这个问题 最终被伽利略解决．则（）A.当不给两枚骰子标记号时，出现点数和为6的结果有5种B.当给两枚骰子标记号时，出现点数和为7的结果有3种C.出现点数和为7的概率为D.出现点数和为6的概率比出现点数和为7的概率更大【答案】C【解析】【分析】根据古典概型的方法，将所有满足条件的情况列出再分析即可.【详解】对A，当不给两枚骰子标记号时，出现点数和为6的结果有，，共三种情况，故A错误；对B，当给两枚骰子标记号时，出现点数和为7的结果有，，，，，共6种情况，故B错误；对C，由B，出现点数和为7的情况共6种，投掷两枚骰子所有可能的情况有种，故出现点数和为7的概率为，故C正确；对D，当给两枚骰子标记号时，出现点数和为6的结果有，，，，共5种情况，故出现点数和为7的概率为，故D错误；故选：C6.比利时数学家旦德林发现：两个不相切的球与一个圆锥面都相切，若一个平面在圆锥内部与两个球都相切，则平面与圆锥面的交线是以切点为焦点的椭圆．如图所示，这个结论在圆柱中也适用．用平行光源照射一个放在桌面上的球，球在桌面上留下的投影区域内（含边界）有一点，若平行光与桌面夹角为，球的半径为，则点到球与桌面切点距离的最大值为（）A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，利用平行投影作出图象求解.【详解】解：由题意，如图所示，则，所以到球与桌面切点距离的最大值为：，，，故选：D7.已知定点在边长为1的正方形外，且，对正方形上任意点，都有的面积，则的最大值为（）A.B.C.1D.【答案】C【解析】【分析】如图建立平面直角坐标系，依题意在线段的垂直平分线上，根据面积公式及数量积的定义得到，即可确定的坐标，设，表示出，再由不等式的性质求出的取值范围，即可得解.【详解】如图建立平面直角坐标系，则，，，，因为，所以在线段的垂直平分线上，又， 即，所以，则，所以，即，设，则，，所以，解得或，又定点在边长为1的正方形外，所以，设，则，，所以，若在线段上，则，，此时，因为，则，所以，则，若在线段上，则，，此时，因，则，所以，则，若在线段上，则，，此时，因为，则，所以，则，若在线段上，则，， 此时，因为，则，所以，则，综上可得，即，当且仅当，即点位于点时取得最大值.故选：C8.已知，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，即可求导比较，利用，即可比较.【详解】因为， 当，故在单调递增，在单调递减，故，所以在上恒成立，当时，，故法1：构造函数当时，令，令，则当时，，所以在单调递减所以，所以所以，故选法2：由泰勒展式所以，所以故选:B【点睛】本题考查了利用导数比较函数值大小.利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在比较函数值大小时，常采用两种思路：1直接利用基本初等函数的单调性比较；2构造函数，利用导数求解单调性.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9.今年春节档两部电影票房突破20亿大关，《满江红》不负众望，凭借喜剧元素和家国情怀，以25.96亿票房成为档期内票房冠军，另一部科幻续作《流浪地球2》则成为最高口碑电影．下图是这两部电影连续7天的日票房情况，则（）A.《满江红》日票房平均数大于《流浪地球日票房平均数B.《满江红》日票房方差大于《流浪地球2》日票房方差C.《满江红》日票房极差小于《流浪地球2》日票房极差D.《满江红》日票房的第25百分位数小于《流浪地球2》日票房的第75百分位数【答案】ABD【解析】【分析】根据图表信息逐一判断即可.【详解】由图表可得《满江红》日票房都大于《流浪地球日票房，所以《满江红》日票房平均数大于《流浪地球2》日票房平均数，A正确;由图可得《满江红》日票房单日票房数据波动更大，《满江红》日票房方差大于《流浪地球2》日票房方差，所以B正确.《满江红》日票房极差大于《流浪地球日票房极差，故C错误；因为，《满江红》日票房的第25百分位数是从小到大排序第个数，因为，《流浪地球2》日票房的第75百分位数是从小到大排序第个数，《满江红》日票房的第25百分位数小于《流浪地球2》日票房的第75百分位数，所以D正确.故选：ABD.10.已知函数的定义域都为为奇函数，且，，则（）A.B.C.D. 【答案】BD【解析】【分析】对A，根据令结合为奇函数推导即可；对B，根据结合为奇函数，再令推导即可；对C，求出判断即可；对D，根据奇偶性与周期性可得，进而判断即可.【详解】对A，由，令可得，又为奇函数，故，，故A错误；对B，由及可得，又为奇函数，则，令则，故.故B正确；对C，由及可得，当时不成立，故C错误；对D，由AB可得且周期为2，故，故，故D正确；故选：BD11.如图，在棱长为1的正方体中，点满足，其中，则（）A.B.当时，有且仅有一个点，使得平面C.当时，有且仅有一个点，使得 D.当时，三棱锥的体积为定值【答案】AD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，则可得出点P的坐标，依次判定选项即可.【详解】如图建立空间直角坐标系，则因为，，所以所以，对于选项A，则，所以，因为，所以，故A答案正确；对于选项B，当时，，,设面的法向量为，则，令，所以，若平面，则，无解，所以不存在点，使得平面,故选项B错误；对于选项C，当时，,若，则，，无解，所以不存在点，使得，故C错误；对于选项D，为边长为的等边三角形，所以, 点P到平面的距离为，当时，点P到平面的距离为定值，则三棱锥的体积为定值，故D选项正确.故选：AD.12.欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如，则（）A.B.是素数时，C.D.【答案】BCD【解析】【分析】根据给定的欧拉函数定义逐项分析计算判断即可.【详解】对A选项，由题知，所以A选项错误对B选项，当为素数时，显然成立，所以B选项正确对C选项，2的倍数都不与互质，故共有个，所以C选项正确对D选项，在中，2的倍数共有个，3的倍数共有个，6的倍数共有个，所以，所以，所以D选项正确故选：BCD.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.设集合，集合，若ÜÜ，写出一个符合条件的集合__________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】求得，再根据真子集的定义求解即可.【详解】，，故若ÜÜ，则可有.故答案为：（答案不唯一） 14.已知的展开式中第二项的二项式系数比该项的系数大18，则展开式中的常数项为__________．【答案】60【解析】【分析】由题意利用二项式展开式中第二项的二项式系数比该项的系数大18，建立方程解出的值，再利用公式求出展开式中的常数项.【详解】因为的二项展开式为：所以它的第二项的系数为：该二项式的展开式中第二项的二项式系数为：，由的展开式中第二项的二项式系数比该项的系数大18，所以有：，所以二项式为，由展开式通项为：，令，所以展开式中的常数项为：.故答案为：60.15.已知函数的图象如图所示，且在的图象上，则的值为__________． 【答案】【解析】【分析】根据图象可利用周期得，进而将代入，结合二倍角公式可得，即可求解.【详解】其中，设周期为，由图象可知：，解得故，由于在图象上，所以；且，由于，所以，故，故可得，由于，所以，进而可得，所以，故答案为：16.已知函数，若曲线与曲线存在公切线，则实数的最大值为__________．【答案】##0.5 【解析】【分析】根据导数的几何意义，利用斜率等于切点处的导数，和切线相同即可判断.【详解】，假设两曲线在同一点处相切，则，可得，即，因为函数单调递增，且时，所以，则，此时两曲线在处相切，根据曲线的变化趋势，若继续增大，则两曲线相交于两点，不存在公切线，所以的最大值为.故答案为：.四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17.记的内角的对边分别为，已知．（1）求的值；（2）点在线段上，，求的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据正弦定理、三角函数的和差角公式将条件变形可得答案；（2）由可得，然后由余弦定理可解出，即可得答案；或利用正弦定理结合结合条件求，然后再利用余弦定理及三角形面积公式即得.【小问1详解】由正弦定理得：．所以 所以．所以，因为，所以；【小问2详解】法1；因为，即，又，所以，即．在中，由余弦定理得，，所以，所以，所以.法2：设，在中，由正弦定理得：，同理，在中，，所以，所以，所以，又，所以，即.在中，由余弦定理得，得，所以.所以. 18.已知数列满足．（1）证明是等比数列；（2）若，求的前项和．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据已知条件及等比数列的定义即可求解；（2）根据（1）的结论及等比数列的通项公式，利用等差等比数列的前项和公式，结合数列中的分组求和法即可求解.【小问1详解】由题意得．又因为，所以．所以是以为首项，为公比的等比数列.【小问2详解】由（1）得．所以．所以 .19.筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形．如图，四边形为筝形，其对角线交点为，将沿折到的位置，形成三棱锥．（1）求到平面的距离；（2）当时，在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）1（2）存在；或【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定可得平面，进而可得到平面的距离.（2）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，再设，根据线面角的空间向量求法求解即可.【小问1详解】因为，所以不可能为四边形的对称轴，则为四边形的对称轴，所以垂直平分，所以．平面平面所以平面．所以到平面的距离． 【小问2详解】存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为．过作平面，所以两两垂直.以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系由（1）得平面平面，因为所以．设，，，设平面的法向量，，所以令，则，所以平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，，．所以或，所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为或．20.甲､乙两队进行篮球比赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）. 根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”，设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立．（1）在比赛进行4场结束的条件下，求甲队获胜的概率；（2）赛事主办方需要预支球队费用万元．假设主办方在前3场比赛每场收入100万元，之后的比赛每场收入200万元．主办方该如何确定的值，才能使其获利（获利=总收入预支球队费用）的期望高于万元？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出比赛4场结束的概率，然后利用条件概率公式即可解答；（2）先由题意列出比赛收入的分布列，从而求出期望值，进而根据题意确定的值.【小问1详解】记事件为“比赛进行4场结束”；事件为“甲最终获胜”，事件表示“第场甲获胜”，事件为“比赛进行4场结束甲获胜”；事件为“比赛进行4场结束乙获胜”．则，因为各场比赛结果相互独立，所以，，因为互斥，所以．又因为，所以由条件概率计算公式得.【小问2详解】设主办方本次比赛总收入为万元，由题意：的可能取值为：． ，，，则随机变量的分布列为：3005007000.260.370.37所以．设主办方本次比赛获利为万元，则，所以，由题意：，所以预支球队的费用应小于261万元．21.已知点，点，点是轴上的动点，点在轴上，直线与直线垂直，关于的对称点为．（1）求的轨迹的方程；（2）过的直线交于两点，在第一象限，在处的切线为交轴于点，过作的平行线交于点是否存在最大值？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）存在；【解析】【分析】（1）利用向量垂直以及中点坐标公式即可求解，或者利用菱形的性质以及抛物线的定义可判断点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线．（2）将问题转化为直线与的倾斜角之差最大．联立直线与抛物线方程，得到韦达定理，求导得切线斜率，即可利用倾斜角与斜率的关系，结合正切的和差角公式以及基本不等式即可求解.【小问1详解】法1： 设因为，所以，即．又，所以，所以．法2：如图，设关于的对称点为，由已知得，互相垂直平分，所以四边形为菱形，所以．因为为中点，所以，即点在定直线上，因为，所以与直线垂直，即点到定点的距离等于点到定直线的距离，所以点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线．所以点轨迹的方程为．【小问2详解】存在最大值．延长交于，所以最大即直线与的倾斜角之差最大．由题意可知直线有斜率，设，（） 由得，，所以．因为，所以的斜率，的斜率．设直线与的倾斜角为，则．．当且仅当即时等号成立．因为，所以，所以当最大时，最大，即最大，此时，所以，所以的方程为．【点睛】圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.22.已知函数．（1）当时，讨论在区间上的单调性； （2）若，求值．【答案】（1）在区间上的单调递增（2）1【解析】【分析】（1）代入，再根据结合指数函数、三角函数的范围判断导函数的正负即可；（2）注意到，进而可得则，再分析当时，求导分析导函数的正负与单调性，进而可得的最小值为0判断即可.【小问1详解】当时，．因为，所以．所以在区间上的单调递增．【小问2详解】，当时，，所以存在，当时，则在区间上单调递减，所以当时，，不满足题意当时，，所以存在，当时，则在区间上单调递增，所以当时，，不满足题意所以．下面证明时，由（1）知，在区间上的单调递增， 所以当时，所以只要证明.令令，则①当时，，得所以，所以，所以在区间上单调递增且，所以，使得.且当时，；当时，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增且，所以当时，所以在区间上单调递减， 所以当时，②当时，因为，所以，所以所以在区间上单调递减且所以，使得当时，；当时，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减且所以当时，综上，的值为1.