浙江省杭州第二中学2022-2023学年高一数学上学期分班考试题（Word版附解析）

杭二中高一新生实验班选拔考试数学试卷注意：（1）本试卷分三部分，17小题，满分150分，考试时间60分钟.（2）请将解答写在答题卷相应题次上，做在试题卷上无效.一、选择题.（5分×6=30分）1.如果a，b，c是正数，且满足a+b+c＝9，，那么的值为（　　）A6B.7C.9D.10【答案】B【解析】【分析】先根据题意得出a＝9﹣b﹣c，b＝9﹣a﹣c，c＝9﹣a﹣b，再代入原式进行计算即可．【详解】∵a，b，c是正数，且满足a+b+c＝9，∴a＝9﹣b﹣c，b＝9﹣a﹣c，c＝9﹣a﹣b，∴原式＝+＝+﹣3＝9×﹣3＝7，故选：B．【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．2.小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的倍”；小玲对小倩说：“你若给我元，我的钱数将是你的2倍”，其中为正整数，则的可能值的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】设小倩和小玲手上有元，列方程组，结合是正整数的性质求解.【详解】由题意，，由得， 代入，解得，即，则，由题意，是正整数，故是的约数，故可能等于，解得可能等于，此时对应的分别为故的可能值的个数是个.故选：D3.若质数满足，则数据的中位数是（）A.4B.7C.4或7D.4.5或6.5【答案】C【解析】【分析】将条件转化成，对进行质因数分解，分析可能的取值，从而得到可能的取值，解出后，根据中位数定义计算.【详解】由题意，可变为：，即，由于是质数，故的质因数只可能是，注意到是质数，故，则，故可能的取值是，于是可能有以下情况：解得；解得；，无解；，无解.当时，的中位数是；当时，的中位数是.故选：C4.，则（）A.B.0C.32D.64【答案】A 【解析】【分析】利用赋值法计算可得.【详解】因为，令可得，令可得，令可得，所以，则故选：A5.若四个互不相等的正实数，，，满足，，则的值为（）A.2012B.2011C.2012D.2011【答案】A【解析】【分析】设，则，将已知等式左侧展开，分别作加减处理即可得，进而可得结果.【详解】令，且，所以，则，两式相减得，故①，两式相加得，将①代入，所以，故，而.故选：A二、填空题（6分×8=48分）6.设下列三个一元二次方程：；；， 至少有一个方程有实根，则实数的取值范围是___________.【答案】或【解析】【分析】利用正难则反的思想，先考虑每个方程都没有实数根进行计算，所得结果的“反面”即为所求.【详解】若上述的三个方程都没有实数根，依题意，，根据解得，恒成立，解得，于是三个方程都没有实数根的的取值范围是，故至少有一个方程有实根，则实数的取值范围是或.故答案为：或7.如图所示，把大正方形纸片剪成五个部分，在分别距离大正方形的四个顶点5厘米处沿方向剪开，中间的部分正好是小正方形，那么小正方形的面积是__________平方厘米.【答案】50【解析】【分析】先判断出是等腰直角三角形，进而求出，再判断出四边形是矩形，进而求出，即可得出结论．【详解】 如图，因为四边形是正方形，过点作交于,.,因为阴影部分是正方形，所以四边形为矩形，那么小正方形的面积是故答案为：50.8.点为轴正半轴上一点，，两点关于轴对称，过点任作直线交抛物线于，两点.若点的坐标为，且，则所有满足条件的直线的函数解析式为：___________.【答案】或.【解析】【分析】利用抛物线的图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，根与系数关系和相似三角形的判定与性质得到，继续由相似三角形、根与系数、函数解析式求得结果.【详解】如图，分别过点P，Q作y轴的垂线，垂足分别为C，D. 由点A的坐标为，则点B的坐标为.设直线的函数解析式为，并设P，Q的坐标分别为，.由，得，于是，即.于是.又因为，所以，因为，所以，故.设，，不妨设，则，，所以，.因为，所以.于是，即，所以.由，即，所以，，于是可求得.将代入，得到点的坐标或.再将点的坐标代入，求得或. 所以直线的函数解析式为或.故答案为：或.9.能使成立的正整数的值的个数等于___________.【答案】【解析】【分析】按照绝对值不等式的解法分类求解即可【详解】由题意，等价于或.若，即，由于是正整数，则，于是无解；若，即，两边平方可得，，化简整理得，，根据平方差公式，，故解得，满足条件得正整数从到，有个.故答案为：10.如图，四边形中，，，.设，延长线交于，则____________.【答案】【解析】【分析】过点作的平行线，过点作的平行线，两者交于点，连接，证明四边形为菱形，再进一步证明为等边三角形，进而可求得，即可得解.【详解】如图，过点作的平行线，过点作的平行线，两者交于点，连接，由作法可知，， 所以四边形为平行四边形，又，所以四边形为菱形，所以，，因为，所以，又，所以，所以为等边三角形，所以，所以，则，所以，因为，所以.故答案为：.【点睛】关键点点睛：过点作的平行线，过点作的平行线，两者交于点，连接，证明四边形为菱形，及为等边三角形，是解决本题的关键.11.是的边上的一点，使得，是外接圆上一点，使得，则的值___________.【答案】【解析】【分析】根据圆弧的性质以及三角形相似求解即可； 【详解】解：连接，∵与是所对的圆周角，∴，∵，∴，又，∴，∴，∴，∴.故答案为：.三、解答题.（12分×6=72分）12.已和均为非负数，且满足.（1）用表示；（2）求的最小值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）把看作常数，解关于的方程组即可；（2）根据（1）的结果以及均为非负数，先求出的范围，然后将用表示后进行求解.【小问1详解】由题意，，两式相加，解得，由解得， 故，【小问2详解】根据（1）中得结果，注意到均为非负数，故，解得，又，由于是关于的开口向上，对称轴为的二次函数，时，随的增加而减少，故时，13.由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的Iphone6手机二月售价比一月每台降价500元，如果卖出相同数量的Iphone6手机，那么一月销售额为9万元，二月销售额只有8万元.（1）一月Iphone6手机每台售价为多少元?（2）为了提高利润，该店计划三月购进Iphone6s手机销售，已知Iphone6每台进价为3500元，Iphone6s每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元且不少于7.4万元资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案?（3）该店计划4月对Iphone6的尾货进行销售，决定在二月售价基础上每售出一台Iphone6手机再返还顾客现金元，而Iphone6s按销售价4400元销售，如要使（2）中所有方案获利相同，应取何值?【答案】（1）一月Iphone4每台售价为4500元（2）有5种进货方案（3）【解析】【分析】（1）设一月Iphone6手机的每台售价为元，根据题意得到，即可求解；（2）设购进Iphone6手机为台，由题意得到，求得的范围，即可求解；（3）设总获利元，得到，结合，即可求解.【小问1详解】解：设一月Iphone6手机的每台售价为元，则二月Iphone6手机的售价为元，根据题意，可得，解得（元），即一月Iphone6手机每台售价为元.【小问2详解】解：设购进Iphone6手机为台，则购进的Iphone6手机为台， 根据题意，可得，解得，因为，所以的取值为，共有种进货方案.【小问3详解】解：二月Iphone6手机每台售价为（元），设总获利元，则，令，可得，即当时，（2）中所有的方案获利相同.14.如图，在中，，，、是边上的两点，，，，则的面积是多少?【答案】【解析】【分析】作且，连接，利用得到，，应用勾股定理求得，再由得，进而求得，，最后根据求结果即可.【详解】如下图，作且，则为等腰直角三角形，连接，由题意为等腰直角三角形，且，，所以，则，且， 所以，则为直角三角形，所以，即，对于有，即，故，所以，故的面积，且，所以，在等腰中，则，又.15.若直线：交x轴于点A，交y轴于点B.坐标原点O关于直线的对称点在反比例函数的图象上.（1）求反比例函数的解析式；（2）将直线绕点逆时针旋转角，得到直线，交y轴于点P，过点P作x轴的平行线，与上述反比例函数的图象交于点Q，当四边形的面积为时，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知可得为等腰直角三角形，根据对称性知四边形为正方形，即可确定坐标，代入求参数，即得解析式；（2）设且，求得、，由列方程求得，进而结合的正弦值确定角的大小.【小问1详解】由题设，，显然为等腰直角三角形，又坐标原点O关于直线的对称点，则四边形为正方形， 易知：在上，则，故.【小问2详解】令且，则，故，所以，由（1）知：，而，，所以，可得，所以，即，故，则，在直角中，则.16.已知关于的方程有两个正整数根（是整数）.的三边满足.求：（1）的值；（2）的面积.【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）根据方程可得两根分别为，再根据两根为整数可求.（2）根据（1）中的结果可判断三角形为直角三角形，从而可求面积.【小问1详解】 因为关于的方程有两个正整数根（是整数），所以，又，故两根分别为.由两根为整数，故为整数，所以即，当时，，此数不是整数，故舍去.当时，，所以（舍）或（舍）.当时，，舍.当时，，所以或.故.【小问2详解】由（1）可得或.若，则，故为直角三角形，为直角，故.17.如图为等腰三角形，是底边上的高，点是线段上的一点，和分别是和的外接圆的直径，连接，求证：. 【答案】证明见解析【解析】【分析】证明，由相似三角形的性质结合锐角三角函数求解即可.【详解】证明：如图，连接，.∵和都是直径，∴，，∴，，三点共线，连接，，则，∴.作，垂足为.又∵，，∴四边形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴.附加题（同分优先）：18.如图，已知为半圆O的直径，点P为直径上的任意一点.以点A为圆心，为半径作，与半圆O相交于点C；以点B为圆心，为半径作，与半圆O相交于点D，且线段的中点为M.求证：分别与和相切. 【答案】证明见解析【解析】【分析】连接，，，，作，，垂足分别为，，根据圆的性质得，利用三角形相似得、，联立处理得，即，进而确定是直角梯形的中位线，结合线段的垂直关系即可证结论.【详解】如图，连接，，，，作，，垂足分别，，∴，，.∵是的直径，∴，又是和的公共角.∴，则，即，同理，两式相减得①，∴②，由①②得：，即，∴，则点是线段的中点，∵是的中点，∴是直角梯形中位线，∴，∴分别与和相切.