四川省泸县第四中学2022-2023学年高一数学下学期4月月考试题（Word版附解析）

泸县四中2023年春期高一第二学月考试数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合B中的元素，再求即可.【详解】，则故选：C.2.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】先判断充分性是否满足，再判断必要性是否满足，即可得答案.【详解】解：充分性：若，则可得有三种可能：①两个都为正；②一个为正、一个为零；③一个为正、一个为负且正数的绝对值大于负数的绝对值，所以或或，故不是的充分条件；必要性:若，则或，故或，故“”不是“”的必要条件.综上，“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D.3.下列命题中是真命题的为（）A.对任意的B.对任意的C.存在D.存在锐角，【答案】D【解析】【分析】对每个选项逐一分析，错误的找出反例，正确的加以说明即可.【详解】A选项，，A选项错误；B选项，，B选项错误；C选项，由于，故，，C选项错误；D选项，显然存在，使得，D选项正确.故选：D4.若，为第二象限角，则的值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先应用诱导公式求出正弦，再应用同角三角函数关系及第二象限角求余弦，最后弦化切求值即可.【详解】因为，所以．又为第二象限角，所以， 所以．故选:A.5.在中，D为中点，连接，若，则的值为（）A.B.C.D.1【答案】C【解析】【分析】以为一组基底，利用平面向量的线性运算得到的表达式，进而得到，由此得解.【详解】因为为边的中点，所以，，因为，所以，所以，又，因此有，则.故选：C6.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得，代入三角形的面积公式可得，再结合利用基本不等式可得.【详解】根据题意可知，所以，由，所以，同理可得； 由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立；即；即此三角形面积的最大值为.故选：D7.已知，下列命题中错误的是（）A.函数的图象关于直线对称；B.函数在上为严格增函数；C.函数的图象关于点对称；D.函数在上的值域是.【答案】C【解析】【分析】根据正弦函数的性质结合整体思想逐一判断即可.【详解】对于A，因为为最小值，所以函数的图象关于直线对称，故A正确；对于B，因为，所以，所以函数在上为严格增函数，故B正确；对于C，因为，所以点不是函数的对称中心，故C错误； 对于D，因为，所以，所以，故D正确.故选：C8.已知函数的最小正周期为，，且的图像关于点中心对称，若将的图像向右平移个单位长度后图像关于轴对称，则实数的最小值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据周期范围得出范围，根据对称中心得出的值，并结合范围得出的值，即可得出的解析式，根据函数图像平移后的解析式变化得出，即可根据图像关于轴对称，得出，再根据的范围得出实数的最小值.【详解】，，且，，即，的图像关于点中心对称，，且，即，解得，，取，，，将图像向右平移个单位长度后得到的图像， 的图像关于轴对称，，解得，，的最小值，令，得，故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列三角式中，值为1的是（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】对A、B、C三个选项都套用2倍角公式计算即可，D选项直接计算就可选出答案.【详解】A选项,，故正确.B选项，，故正确.C选项，，故正确.D选项，，故错误故选：ABC10.下列说法错误的有（    ）A.若，则B.若与共线，则一定有使得C.若，则四边形是平行四边形D.若且，则和在上的投影向量相等【答案】AB 【解析】【分析】根据平面向量共线概念和投影向量概念依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A，若，与不共线，满足，故A错误.对选项B，若，，满足，则不存在，使得，故B错误.对选项C，若，则，，则四边形是平行四边形，故C正确.对选项D，因为且，在上的投影向量为，在上的投影向量，所以，故D正确.故选：AB11.将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标扩大为原来的倍，得到函数的图象，则下列说法正确的有（）A.函数的最小正周期为B.函数单调递增区间为C.直线是函数图象的一条对称轴D.函数图象的一个对称中心为点【答案】ABC【解析】【分析】根据函数图象的变换关系求出，利用正弦函数的图象性质求解即可.【详解】函数的图象向左平移个单位长度，可得函数的图象，再将所得图象上所有点的横坐标扩大为原来的倍，得到函数的图象，所以函数的最小正周期为，A正确； 令，解得，所以函数的单调递增区间为，B正确；是函数的最大值，所以直线是函数图象的一条对称轴，C正确，D错误，故选:ABC.12.在锐角中，角的对边分别为，外接圆半径为，若，，则（）AB.C.的取值范围为D.周长的最大值为【答案】ACD【解析】【分析】根据正弦定理即可得外接圆半径，即可判断A；由锐角得角的范围，从而得的范围，由正弦定理得，即可得的范围，即可判断B；根据数量积的定义将，再由，结合三角恒定变换将其转换为正弦型函数，利用正弦型函数的性质即可得的取值范围为从而判断C；同样由正弦定理得，将三角形周长边化角之后，结合三角恒定变换将其转换为正弦型函数，利用正弦型函数的性质即可得周长的最大值，即可判断D.【详解】由正弦定理得，则，故A正确；在锐角中，，则，所以，得，则，由正弦定理得，则，故B不正确；又 由于，所以，则，于是有，即的取值范围为，故C正确；由正弦定理得，则，所以周长为：由于，所以，则，于是有，故周长的最大值为，故D正确.故选：ACD.第II卷非选择题三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量．若，则_____________．【答案】##-0.5【解析】【分析】应用向量垂直的坐标公式列方程求参数m即可.【详解】由题设，可得.故答案为：14.在中，若，，，则________．【答案】【解析】【分析】直接由余弦定理计算即可.【详解】由已知得，. 故答案为：.15.如图，在平行四边形中，点满足，，与交于点，设，则_____.【答案】【解析】【分析】作辅助线，利用重心的性质即可求解.【详解】如图，设是上除点外的令一个三等分点，连接，连接交于，则.在三角形中，是两条中线交点，故是三角形的重心，结合可知，由于是中点，故.所以，由此可知.故答案为：.16.已知函数，若在区间上的最大值是，则实数的最大值是______.【答案】【解析】【分析】分三种情况，结合二次函数的性质分类讨论，求出的范围即可得答案.【详解】因为，当，即时，， ，此时对称轴为，所以，即，所以，解得，所以；当，即或时，有两个根，，设，此时对称轴为或，当，即时，，即所以，解得，所以；当，即时，，即所以，解得，不满足，故无解.综上所述，的取值范围是，故的最大值为.故答案为：【点睛】研究含有参数、绝对值的函数的最值时，要注意根据参数和绝对值进行分类讨论，涉及二次函数的问题，分类标准可考虑利用判别式来制定，分类讨论要做到不重不漏.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知为第三象限角，且（1）化简，并求；（2）若，求的值.【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）利用诱导公式化简得到，代入，结合诱导公式可得结果；（2）根据诱导公式和同角三角函数关系可求得，由此可得.【小问1详解】，则.【小问2详解】，，为第三象限角，，.18.已知函数，的图象关于对称，且.（1）求满足条件的最小正数及此时的解析式;（2）若将问题（1）中的的图象向右平移个单位得到函数的图象，求在上的值域.【答案】（1）最小正数为2，此时（2）【解析】【分析】（1）根据得，由为对称轴可得，即可求解，（2）根据平移可得，由余弦函数的性质即可求解值域.【小问1详解】由得，由得，又的图象关于 对称，所以,解得,当时，取到最小的正数2，此时【小问2详解】的图象向右平移个单位得到函数，当时，，，所以，故在上的值域为19.已知函数（1）求函数的最小正周期和对称轴．（2）当时，求函数的单调区间．【答案】（1）最小正周期为，对称轴为；（2）单调递增，单调递减.【解析】【分析】（1）运用诱导公式和辅助角公式作恒等变换，将原函数转换为单一三角函数的形式；（2）用整体代入法，根据正弦函数的单调性求解.【小问1详解】，所以函数f(x)的最小正周期； 对称轴为；【小问2详解】当时，，所以当，即时，函数f(x)单调递增；当即时，函数f(x)单调递减；综上，，最小正周期为，对称轴为.20.已知半圆圆心为O，直径，C为半圆弧上靠近点A的三等分点，若P为半径OC上的动点，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示（1）直接写出点A、B、C的坐标；（2）若，当y得最小值时，求点P的坐标及y的最小值．【答案】（1），，（2）最小值为，点P的坐标为【解析】【分析】（1）由图可标出点A、B、C的坐标；（2）设，即可表示出、，再结合平面向量数量积的坐标运算及二次函数的性质计算可得．【小问1详解】因为半圆的直径，所以，，又，，则，即．【小问2详解】设，由（1）知，， 故，∴，又∵，∴当时，有最小值为，此时点P的坐标为21.在中，角A、B、C对的边分别为a、b、c．且．（1）求角B的大小；（2）求的取值范围；（3）若，，P为AC边中点，求BP的长．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简结合特殊角的三角函数值即得；（2）根据三角恒等变换结合正弦函数的性质即得；（3）由题可得，然后利用模长公式结合条件即得.【小问1详解】因为，所以，即，化简得，故，又，故； 【小问2详解】由（1）知，，故，又，则，，即；【小问3详解】∵，∴，又，，∴，∴，即BP的长为.22.已知函数，其中a、b、．（1）当时，求的值域；（2）当，时，设，且关于直线对称，如果当时，方程恰有两个不等实根，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）把代入，利用换元法结合二次函数求解作答.（2）把，代入，利用辅助角公式结合正弦函数最值求出b，再利用正弦函数图象列式求解作答.【小问1详解】 当时，，令，有，因此，当时，，当时，，所以的值域为．【小问2详解】当，时，，又关于直线对称，于是则，，令，依题意，在上有两个不等实根在上有两个不等实根，的图象如下，其中点，，观察图象知，或，解得或，所以实数m的取值范围是或.