福建省福州市八县（市）一中2022-2023学年高一数学下学期期末联考试题（Word版附解析）

2022-2023学年度第二学期福州八县（市）一中期末联考高一年级数学科试卷完卷时间：120分钟满分：150分一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】先求出复数，化成标准形式，再根据复数的几何意义来判断.【详解】依题意得，，对应复平面的点是，在第四象限.故选：D.2.已知，，且与平行，则等于（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求出向量与的坐标，然后利用向量共线坐标公式计算即可.【详解】因为，，所以，，若与平行，则，得x＝2.故选：C.3.在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，DE交AC于F，则（）A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】由题可得，再根据向量运算法则即可表示.【详解】因为是BC的中点，，所以，所以.故选：D.4.某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果.经随机模拟产生10组随机数：812，832，569，684，271，989，730，537，925，907.由此估计3例心脏手术全部成功的概率为（）A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5【答案】B【解析】【分析】利用古典概率的概率公式进行计算即可.【详解】随机模拟产生10组随机数中，有3组随机数表示手术成功，故3例心脏手术全部成功的概率为：.故选：B5.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】分别解不等式和，根据小范围推大范围，分析判断即可.【详解】若，解得，即解集；若，注意到在定义域内单调递增，解得；故“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D.6.从含有三件正品和一件次品的产品中任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据古典概型概率计算公式直接计算.【详解】有三件正品（用，，表示）和一件次品（用表示）的产品中任取两件的样本空间，恰有一件次品，由古典概型得，故选：D.7.如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高，，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°（B、D、E在同一水平面上），山顶C的仰角为60°，，则两山顶A，C之间的距离为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，在和中分别求出AE，CE，再利用余弦定理计算作答.【详解】在中，，，则，在中，，，则，在，由余弦定理得：，即，解得， 所以两山顶A，C之间的距离为．故选：B8.已知直四棱柱的棱长均为2，.以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为（）A.B.C.D.2【答案】B【解析】【分析】先找出平面截球面截面圆的圆心是的中点，再找到截面圆的半径和交线.【详解】如图所示：由已知，连接，则因为直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，，所以为等边三角形.且平面，取的中点，连接,则,又平面，所以，又，所以平面，故平面截球面的截面圆的圆心是点，取和的中点，连接,则，故在球面上，,，所以为直角三角形，,球面与侧面的交线是侧面上以为圆心， 为半径的圆弧.故选：B.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚正面朝上”，事件B=“第二枚正面朝上”，下列结论中正确的是（）A.A与B为互斥事件B.A与B为相互独立事件CD.【答案】BD【解析】【分析】根据互斥事件、独立事件、和事件、积事件的知识对选项进行分析，由此确定正确答案.【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币，基本事件有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），事件包含的基本事件是：（正，正），（正，反）.事件包含的基本事件是：（正，正），（反，正）.所以不是互斥事件，A选项错误.，所以BD选项正确.，C选项错误.故选：BD10.已知两个不同的平面、和两条不重合的直线m、n，有下列命题中正确的是（）A.若，，则B.若，则C.若，，则D.若，，，则【答案】AD【解析】【分析】根据空间中线面、面面的位置关系一一判断即可【详解】对于A：若，，则，故A正确；对于B：若，则或，故B错误； 对于C：若，，则或与异面，故C错误；对于D：若，，则，又，所以，故D正确；故选：AD11.已知，则正确的有（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】先把指数式化为对数式可得，，可判断A，由对数的运算性质可判断D，由基本不等式可判断BC．【详解】，，，，，故正确，，故D不正确，，当且仅当时取等号，，，故B正确，（因为，故等号不成立），，故C正确.故选：12.如图，边长为1的正方形ABCD的顶点A，D分别在轴、轴正半轴上移动，则的可能值为（）A.B.C.D.2【答案】CD【解析】【分析】令，由边长为1的正方形的顶点、分别在轴、轴正半轴上，可得出，的坐标，由此可以表示出两个向量，由数量积公式结合三角函数知识求解. 【详解】解：如图令，由于，故，，如图，，故，，故同理可求得，即，所以因为，所以，即.故选：CD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若样本数据的方差为3，则数据的方差为________．【答案】12【解析】【分析】利用方差的性质直接求解.【详解】样本数据的方差为3，数据的方差为.故答案为：12.14.已知函数，则__________.【答案】4【解析】【分析】根据分段函数的定义求解即可.【详解】由，所以，所以.故答案为：4. 15.在四面体中，E、F分别是的中点.若所成的角为45°，且，则的长为_________.【答案】【解析】【分析】作出辅助线，找到或，分两种情况，结合余弦定理求出答案.【详解】取的中点，连接，因为E、F分别是的中点，所以，因为所成的角为，所以或，如图1，，则，如图，，则故答案为：16.已知ABCD—A1B1C1D1是棱长为2的正方体，E为AA1的中点，点F在CC1上（不与C、C1重合），三棱锥A-D1EF的体积为__________，当F为CC1的中点，几何体AED1FCD的体积为__________.【答案】①.②.【解析】【分析】根据给定条件，利用等体积法求解三棱锥的体积．根据割补法，将几何体分解为三棱柱和三棱锥，即可由体积公式求解.【详解】在正方体中，棱长为2，为的中点， 则，为上一点，而平面，平面，则点到平面的距离为长，所以三棱锥的体积．取的中点为，连接,由于均为棱的中点，由正方体的结构特征可知为直三棱柱，故几何体可以分割为三棱柱和三棱锥，故几何体体积为,故答案为：，四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知非零向量，夹角为，且．（1）当时，求；（2）若，且，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量数量积运算公式和夹角余弦公式进行求解；（2）根据向量垂直得到，再 求出，进而求出【小问1详解】当时，，所以，∵，∴；【小问2详解】∵，∴，即∴，∵，∴∴18.如图，是正方形所在平面外一点，且平面平面，、分别是线段、的中点.（1）求证：平面；（2）求证：.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据平行四边形或者三角形的中位线可得线线平行，进而可证，或者证明面面平行也可， （2）根据面面垂直可得线面垂直，进而得到线线垂直.【小问1详解】法一：取PD中点G，连接FG，AG，在PDC中，因为F、G分别是PC，PD的中点，所以FGCD，FG=CD；因为E是正方形ABCD边AB的中点，所以AE//CD，AE=CD；所以AEGF，AE=GF；即四边形AEFG是平行四边形，所以EF//AG，又因为AG平面PAD，EF平面PAD，所以EF平面PAD法二：延长DA交CE延长线于H，连接PH，由于AE//CD，AE=CD，所以是的中点，是的中点，所以EFPH，又因为PH平面PAD，EF平面PAD，所以EF平面PAD法三：取CD中点I，连接EI，FI， 由于均为中点，所以,平面,平面，平面EFI平面PAD，EF平面，所以EF平面PAD【小问2详解】因为正方形ABCD中，BDAC，又平面ABCD平面PAC；平面PAC平面ABCD=AC，BD平面ABCD，所以BD平面PAC，因为PC平面PAC，所以BDPC.19.已知在中，角，，所对的边分别是，，，满足条件：______.在①；②；③.这三个条件中任选个，补充在上面的问题中，并解答.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.问题：（1）求角A的大小；（2）求的取值范围.【答案】（1）选①②③，答案均为（2）【解析】【分析】（1）选①，由正弦定理及得到，结合 ，求出答案；选②，由正弦定理及得到，结合，求出答案；选③，由正弦定理及得到，结合，求出答案；（2）利用三角恒等变换得到，由求出，从而得到答案.【小问1详解】选择①，由正弦定理可得，，即，所以，又，所以，故，又，因此.选择②，由正弦定理可得，，从而可得，，即，又，所以，于是，又，因此，.选择③，由正弦定理可得，，即， 得，即，又，所以，得，又，因此，.【小问2详解】∵，由可知，，所以，从而，因此，，故的取值范围为.20.如图，一块正方体形木料ABCD—A1B1C1D1的上底面有一点M，（1）问：经过点M上底面上能否画一条直线，使其与CM垂直，若可以，该怎么画，写出作图过程并加以证明，若不能，说明理由.（2）若正方体棱长为2，F为线段BC的中点，求AF与面A1BC所成角的正弦值. 【答案】（1）可以，作图过程见解析，证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接C1M，在平面A1B1C1D1上过M点作直线GHC1，则GHCM，再利用线面垂直证明线线垂直即可；（2）在平面ABB1A1上，过点A作AEA1B，则E是A1B的中点，先证明先AE平面A1BC.可得AFE为斜线AF与平面A1BC所成的角，进而可得答案.【小问1详解】经过点M在上底面上能画一条直线与CM垂直，如图所示，连接C1M，在面A1B1C1D1上过M点作直线GHC1M.则GHCM，证明：在正方体AC1中，CC1平面A1B1C1D1，GH平面A1B1C1D1，所以GHCC1，而GHC1M，且C1MCC1，平面MCC1，故GH平面MCC1，又CM平面MCC1，所以GHMC.【小问2详解】在平面ABB1A1上，过点A作AEA1B，则E是A1B的中点， 在正方体AC1中，BC平面ABB1A1，AE平面ABB1A1，所以BCAE，而A1BBC=B，平面A1BC.故AE平面A1BC.所以EF为斜线AF在平面A1BC上的射影，AFE为斜线AF与平面A1BC所成的角.∵AE平面A1BC，EF平面A1BC，AEEF在直角三角形AEF中，AF=，AE=，sinAFE=，所以AF与面A1BC所成角的正弦值为.21.近几年随着疫情的影响，经济发展速度放缓，投资渠道有限，越来越多人选择投资“黄金”作为理财的手段，下面将A市把黄金作为理财产品的投资人的年龄情况统计如图所示.（1）求a的取值，以及把黄金作为理财产品的投资者年龄的上四分位数（第75百分位数）；（2）现按照分层抽样的方法从年龄在和的投资者中随机抽取5人，再从这5 人中随机抽取2人进行投资调查，求至少有1人年龄在的概率.【答案】（1），58（2）【解析】【分析】（1）根据频率之和为1可得，进而由百分位数的计算即可求解，（2）根据列举法，结合古典概型的计算公式即可求解.【小问1详解】依题意，，解得，因为前3组的频率和为<0.75，前4组的频率和为，所以所求上四分位数（第75百分位数）为【小问2详解】由频率分布直方图可知年龄在和的频率分别为，所以年龄在的投资者应抽取3人，记为A，B，C年龄在的投资者应抽取2人,记为a，b，则任取2人，所有的情况为：，共10种，满足条件为共7种.故至少有1人年龄在的概率为.22.已知函数，；（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）指出函数的单调性（只需用复合函数理由说明，不要求定义证明）；（3）设对任意，都有成立；请问是否存在的值，使最小值为，若存在求出的值.【答案】（1）在R上为奇函数，证明见解析（2）在上为减函数 （3）存在，【解析】【分析】（1）利用函数的奇偶性定义证明即可；（2）根据复合函数的单调性法则，结合函数的奇偶性即可说明；（3）由函数单调性可得，从而转化为求的最小值，再解关于的不等式，对函数换元讨论求最小值，得到关于的方程解之即可得到答案.【小问1详解】函数在R上为奇函数.证明：因为，所以恒成立.所以函数的定义域为R，关于原点中心对称.因为，所以函数在R上奇函数.【小问2详解】由（1）知=因为在是增函数，又，（）为减函数，所以在上为减函数，又为奇函数，所以在上为减函数，故在上单调递减；【小问3详解】因为对任意都有，所以对任意都有， 由在上为减函数；所以对任意都有，所以对任意都有，因为，所以即，解得因为，令，则，令，它的对称轴为，当，即时，在上是增函数，，解得舍去，当即时，此时，解得，所以.【点睛】方法点睛：小问(3)属于单调性和奇偶性综合应用问题，以及函数不等式恒成立问题，解决问题的关键是利用函数性质进行恒等变形，转化为不等式恒成立问题，求最值解不等式得到的范围，再通过换元把转化为二次函数闭区间上最值问题.本小题难度较大，对数学能力要求较高.