第十五章二次根式15.1二次根式(1)教案（冀教版八上）

15.1二次根式（1）教学目标【知识与能力】1.了解二次根式的概念和二次根式的非负性.2.理解和掌握二次根式的简单性质,并能利用它们进行化简和计算.【过程与方法】1.经历观察、比较、总结的过程,培养学生的归纳能力.2.感受数学活动充满了探索性和创造性,体验发现的快乐,并提高应用的意识和对数学的探究能力.【情感态度价值观】1.通过探究学习,培养学生应用数学的热情.2.培养学生主动探索、敢于实践、善于发现的科学精神以及合作精神,树立创新意识.教学重难点【教学重点】二次根式的概念和简单性质.【教学难点】二次根式的简单性质.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:1.回顾:什么叫平方根?什么叫算术平方根?2.【课件1】　填空.(1)16的平方根是　　　　; (2)一个圆的面积为S,这个圆的半径是　　　　; (3)若正方形的面积为a-4,则边长为　　　　. 学生思考并回答.3.提问:你能发现它们有什么共同的特征吗?学生观察,总结共同特征并表述意见.[设计意图]　唤起学生对于平方根和算术平方根的记忆,使学生认识到学习根式的必要性.通过观察、归纳,为后面学习二次根式的概念及其基本性质做好铺垫.导入二:1.已知一个正方形的面积为a,则正方形的边长是　　　　. 2.提问:你认为所得的代数式有什么特点?(教师鼓励学生用自己的语言总结出特征,鼓励学生大胆表述意见,然后作适当点评,板书本课课题)[设计意图]　让学生在实际情境中写出表示算术平方根的式子,一方面复习了旧知识,另一方面为接下来学习新课做准备.通过问题引入,调动了学生的积极性.导入三:在第十四章,我们学习了平方根及算术平方根,知道当a≥0时,a表示非负数a的算术平方根,±a表示非负数a的平方根;a,±a都表示非负数a的开平方,a中“　”表示一种运算,因此,a(a≥0)还有一个名字,你知道吗?[设计意图]　通过复习平方根和算术平方根的表示方法和意义,引出a的另一个名称,-4- 引起学生思考,激发学生的学习热情.二、新知构建：活动一:二次根式的概念　　[过渡语]　我们已经学习了数的开平方,并用a(a≥0)表示非负数a的算术平方根.现在,我们首先来学习二次根式的定义.思路一【课件2】　(教材第90页一起探究)1.(1)2,18,815,310的算术平方根是怎样表示的?(2)非负数m,p+q,t2-1的算术平方根又是怎样表示的?2.学校要修建一个占地面积为Sm2的圆形喷水池,它的半径应为多少米?如果在这个圆形喷水池的外围增加一个占地面积为am2的环形绿化带,那么所成大圆的半径应为多少米?引导学生分析得出:1.解:(1)2,18,815,310.　(2)m,p+q,t2-1.2.解:Sπ,S+aπ.引导学生概括二次根式的定义:在上面的问题中,我们得到了2,18,815,310,m,p+q,t2-1,Sπ,S+aπ等式子,它们分别表示某个非负数的算术平方根.一般地,我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式.[知识拓展]　(1)二次根式的被开方数a可能为整式,也可能为分式,因此要分清a所代表的式子类型.(2)a本身作分母时,要注意只能大于0,不能等于0.(3)要注意a2+1,a+1等,这时无论a取何值都有意义.[设计意图]　让学生通过自己思考,得出表示这些数的一般形式,体会概念是由具体到抽象、由特殊到一般的过程形成的,进而给出二次根式的概念.【课件3】　判断下列各式是二次根式吗?①32;　②6;　③-12;　④-m(m≤0);　⑤xy(x,y异号);　⑥a2+1;　⑦m+1;　⑧35.学生快速回答,共同分析.[设计意图]　通过小练习及时检验学生对二次根式概念的理解和把握,二次根式根号内被开方数的取值范围一定要大于或等于0.思路二活动:(引导学生概括二次根式的定义:像a2+4,2这样表示一个非负数的算术平方根的式子叫做二次根式)概念深化:提问:a+1是不是二次根式?a+1呢?议一议:二次根式a+1表示什么意义?此算术平方根的被开方数是什么?被开方数必须满足什么条件的二次根式才有意义?其中字母a要满足什么条件?为什么?【展示点评】-4- 经学生讨论后,让学生回答,并让其他的学生点评.最后教师归纳:一个非负数的算术平方根才是二次根式,如果无法判断被开方数是非负数,那么这个式子就不能说是二次根式.a+1中的a可能为正,也可能为负,所以不能说这个式子是二次根式,a+1中的a+1也可能为正,也可能为负,所以也不能说这个式子是二次根式.【反思小结】教师总结:从形式上看,二次根式必须具备以下两个条件:(1)必须有二次根号;(2)被开方数不能小于0.[设计意图]　通过探究促使学生独立思考、合作探讨,并最终获得结论,有利于帮助学生从被动地接受知识到主动地探索新知,满足学生的多样化学习需求,通过学生自己归纳总结,让学生经历二次根式概念的形成过程,符合学生的认知规律,避免了概念教学的机械记忆,同时提高学生的概括总结能力,培养了学生思维的严谨性.活动二:二次根式的简单性质　　[过渡语]　了解了二次根式的概念,实际上a(a≥0)表示的就是我们以前学过的非负数a的算术平方根,下面我们来研究一下它有哪些简单性质.思路一【课件4】　(教材第90页大家谈谈)小亮和小颖对二次根式“a(a≥0)”分别有如下的观点.你认同小亮和小颖的观点吗?请举例说明.小亮的观点:因为a表示的是非负数a的算术平方根,所以根据算术平方根的意义,有a≥0.小颖的观点:因为a表示的是非负数a的算术平方根,所以根据算术平方根和被开方数的意义,有(a)2=a.学生讨论举例后得出小亮和小颖的观点都正确.教师总结:(1)a(a≥0)是一个非负数,即a具有双重非负性,一是被开方数是非负数,二是它的结果是非负数;(2)(a)2=a(a≥0),即非负数a的算术平方根的平方等于a.【课件5】　做一做:22=　　　　;0.012=　　　　;1102=　　　　;232=　　　　;02=　　　　.教师点评:根据算术平方根的意义,我们可以得到:22=2;0.012=0.01;1102=110;232=23;02=0.想一想:根据上面的计算,你能得到什么结论?学生讨论得出,一般地,a2=a(a≥0).【课件6】　(教材第91页做一做)化简.(1)(3)2;　(2)　522;　(3)52;　(4)342.教师指名回答,公布答案.解:(1)(3)2=3.　(2)　522=52.　(3)52=5.　(4)342=34.思路二我们知道非负数有算术平方根,所以根据算术平方根的意义,我们不难得到非负数的算术平方根还是非负数,即a≥0(a≥0).-4- 1.性质1:(a)2=a(a≥0).(1)观察:22=4,即(4)2=4;32=9,即(9)2=9……(2)提问:观察上述等式的两边,你得到什么启示?(3)板书:当a≥0时,a2=a.[设计意图]　通过观察、思考、解答,培养学生自己发现问题、分析问题和解决问题的能力,使学生真正成为知识的主动建构者.2.性质2:a2=a(a≥0).(1)提问:a2等于什么?(2)举例:22=4=2;(-2)2=4=2;32=9=3;(-3)2=9=3……(3)发现:当a≥0时,a2=a;当a<0时,a2=-a.(4)归纳:a2=a=a(a≥0),-a(a<0).3.比较(a)2和a2的区别.学生讨论,回答.说明:关键抓住被开方数的非负性和a(a≥0)的非负性.[知识拓展]　理解(a)2和a2时应注意以下几点:(1)从a的取值范围理解:a2中的a为全体实数,而(a)2中的a为非负数.(2)从所得的结果理解:a2=a,而(a)2=a,也就是说当a≥0时,a2=(a)2.[设计意图]　通过比较、讨论、试做的教学方式,加深学生对两个性质的认识,同时,也关注了学生学习方式的个性化,做到既着眼于共同发展,又关注于个性差异.活动三:例题讲解【课件7】　化简.(1)0.04;　(2)3192.〔解析〕　0.04=0.22,19=132,可以利用a2=a(a≥0)化简.解:(1)0.04=0.22=0.2.　(2)3192=3×1322=3×132=12=1.[设计意图]　尽管问题相对简单,但规范的解答还是非常有必要的,要养成学生学习一个新概念时稳扎稳打的态度,这样对于概念才会认识得更深更透.三、课堂小结：1.二次根式的定义一般地,把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式.判断一个式子是不是二次根式,一定要紧扣定义,看所给的式子是否同时具备如下两个特征:(1)带有二次根号“　”,即根指数是2;(2)被开方数不小于零.只有同时满足上述两个特征,才是二次根式,如果不满足其中任何一个特征,就不是二次根式.2.二次根式的基本性质(1)当a≥0时,(a)2=a;(2)当a≥0时,a2=a.们服务.-4-