山西省忻州市2023届高三数学一模试题（Word版附解析）

高三数学考试（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.或B.C.D.或【答案】A【解析】【分析】根据不等式解出集合，在按照集合的补集与并集运算即可.【详解】解：集合，所以或，则或.故选：A.2.已知复数，则（）A.B.5C.D.25【答案】B【解析】【分析】由复数，求出，再利用求模公式即可.【详解】因为复数，所以，所以，故选：B.3.下图是我国跨境电商在2016～2022年的交易规模与增速图，由图可以知道下列结论正确的是（） A.这7年我国跨境电商交易规模的平均数为8.0万亿元B.这7年我国跨境电商交易规模的增速越来越大C.这7年我国跨境电商交易规模的极差为7.6万亿元D.图中我国跨境电商交易规模的6个增速的中位数为13.8％【答案】D【解析】【分析】根据图逐项进行分析即可求解.【详解】对于，由图可知：这7年我国跨境电商交易规模的平均数为：万亿元，故选项错误；对于，由图可知：交易规模的增速并不是越来越大，故选项错误；对于，由图可知：这7年我国跨境电商交易规模的极差为，故选项错误，对于，由图可知：6个增速的中位数为和的平均数，即，故选项正确，故选：.4.函数的图象大致为（）A.B. C.D.【答案】C【解析】【分析】先判断函数的定义域及奇偶性进行排除,根据0到第一个零点处的函数值正负,即可判断选项C,D的正误.【详解】解:由题知,定义域为,解得,所以,故为奇函数,排除A,B;令可得,即,解得,当时,,,此时,故选项D错误选项C正确.故选:C5.已知，则的最小值为（）A.8B.9C.10D.11【答案】B【解析】 【分析】运用基本不等式的性质进行求解即可.【详解】因为，所以由，当且仅当时取等号，即时取等号，故选：B6.设椭圆的半焦距为，若，，则的离心率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由解出，再由离心率公式计算即可.【详解】由，解得，即的离心率为.故选：C7.如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知，，则该青铜器的体积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求出青铜器的上面、中间和下面几何体的体积，即得解. 【详解】解：青铜器的最上面的圆柱的体积，中间的圆台的体积为，最下面的圆台的体积为.所以该青铜器的体积为.故选：A8.定义函数,若至少有3个不同的解,则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意可知有解,即,分和两种情况,画出大致图象,找到关键不等式,解出即可.【详解】解:由题知,记,所以图象为图象靠下的位置,因为,有两个根,分别为或,若至少有3个不同的解,则有一个解或者两个解,即,解得或,当时,,所以对称轴为,若至少有3个不同的解, 画大致图象如下:根据图象则需满足,即,解得;当时,,所以对称轴为,此时大致图象如下:根据图象则需满足,即,解得,又因为,故,当时,,解得根为-1,因为的根为-1,1,此时的根为-1,1,不满足有三个根,故舍去,综上:.故选:B【点睛】思路点睛:该题考查函数与方程的综合问题,属于难题,关于已知函数有零点求参数范围的思路有:(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围; (2)分离参数法:先将参数分离,转化为求函数值域问题加以解决;(3)数形结合法:在同一坐标系下,画出有关函数图象,然后数形结合求解即可.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知圆，圆，下列说法正确的是（）A.若，则圆与圆相交B.若，则圆与圆外离C.若直线与圆相交，则D.若直线与圆相交于，两点，则【答案】AC【解析】【分析】根据直线与圆相交、圆与圆位置关系逐项判断即可.【详解】解：圆的圆心，半径若，，则圆心，半径，则，所以，则圆与圆相交，故A正确，B错误；若直线与圆相交，则圆心到直线的距离，解得，故C正确；若直线与圆相交于，两点，则圆心到直线的距离，所以相交弦长，故D错误.故选：AC.10.将函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，下列说法正确的是（）A.当时，为偶函数 B.当时，在上单调递减C.当时，在上的值域为D.当时，点是的图象的一个对称中心【答案】AD【解析】【分析】根据平移变换得，对于A，根据诱导公式化简，再根据偶函数的定义判断可知A正确；对于B，根据可判断B不正确；对于C，利用正弦函数的图象求出值域，可判断C不正确；对于D，根据可判断D正确.【详解】依题意可得，对于A，当时，，，故为偶函数，所以A正确；对于B，当时，，，，所以在上不是减函数，故B不正确；对于C，当时，，因为，所以，所以，，即在上的值域为，故C不正确；对于D，当时，，因为，所以点是的图象的一个对称中心，故D正确.故选：AD 11.如图，在直三棱柱中，，，，分别为，和的中点，为棱上的一动点，且，则下列说法正确的是（）A.B.三棱锥的体积为定值C.D.异面直线与所成角的余弦值为【答案】ABD【解析】【分析】根据图形特点取的中点为，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的线线关系计算可判断A,C,D选项；利用线面关系及三棱锥体积即可判断B选项.【详解】解：直三棱柱中，，，，分别为，和的中点，取的中点为，由于，所以，如图以为原点，为轴建立空间直角坐标系，设,，则，所以 则，又，所以，所以，对于A，，设，则，所以，则，故A正确；对于B，因为，分别为，的中点，所以，又，则又平面，平面，所以平面，故到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值，故B正确；对于C，由A选项得，，所以，故C不正确；对于D，由于，所以，所以，故异面直线与所成角的余弦值为，故D正确.故选：ABD. 12.已知函数，定义域均为，，连续可导，它们的导函数分别为，.若的图象关于点对称，，且，与图象的交点分别为，，，，则（）A.是偶函数B.的图象关于直线对称C.的图象关于直线D.【答案】BCD【解析】【分析】根据奇函数性质可判断A，对两边求导，可判断B，根据，且，可得，再根据三角函数性质可判断C，根据与都关于对称可判断D．【详解】解：对于A，若的图象关于点对称，则，无法确定是否成立，故A不正确；对于B，由于，则，所以的图象关于直线对称，故B正确；对于C，因为，故设，其中为常数，又，所以，则的对称轴为，则，所以的图象关于直线，故C正确；对于D，因为对称中心为，，则也是的对称中心，所以函数与的交点关于对称，则，故D正确，故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.已知向量，且，则m=______.【答案】2【解析】【分析】根据向量平行的坐标公式，代值计算即可.【详解】因为，，由，得.故答案为：2.14.已知，则________.【答案】【解析】【分析】根据两角和的正切公式可求出结果.【详解】因为，所以.故答案为：.15.某居民小区前有9个连成一排的车位，现有4辆不同型号的车辆要停放，则恰有2辆车停放在相邻车位的概率是________.【答案】【解析】【分析】根据捆绑法、插空法，结合古典概型计算公式进行求解即可.【详解】9个车位选4个安排4辆不同型号的车，共有种方法，将余下的5个空车位排成一排形成6个空，然后从4辆车中挑出2辆车作排列后进行捆绑，4辆车看作3个元素插入6个空中，共有种方法，由乘法原理结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：故答案为： 16.已知抛物线，直线与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，若，且与交于点M，则的面积的最小值为________.【答案】1【解析】【分析】由直线垂直可构造出斜率关系，得到，通过直线与抛物线方程联立，根据根与系数关系求得；联立两切线方程，可用表示出，代入点到直线距离公式，从而得到关于的面积的函数关系式，求得所求最值．【详解】解：抛物线的方程为，即，所以，设,，,，则，所以切线方程，，由于，所以，由题意可设直线方程为，抛物线方程联立，得，所以，则，，即即，联立方程得，即，点到直线的距离，，所以．当时，面积取得最小值1．故答案为：1.四、解答题：本题共6小题、共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求角C； （2）若，的面积为，求c.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据正弦定理，结合两角和的正弦公式、特殊角的正切值进行求解即可；（2）根据三角形面积公式和余弦定理进行求解即可.【小问1详解】根据正弦定理由因为，所以，所以由，因为，所以【小问2详解】因为，的面积为，所以有，舍去，即，所以.18.已知等比数列的前n项和，为常数.（1）求的值与的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，求.【答案】（1）；（2） 【解析】【分析】（1）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出；（2）利用错位相减法求数列的前项和为即可．【小问1详解】解：当时，，当时，，是等比数列，，即，所以，数列的通项公式为；【小问2详解】解：由（1）得，，则．．19.如图，在三棱柱中，平面，D，E分别为棱AB，的中点，，，.（1）证明：平面；（2）若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）二面角的余弦值为【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据直线与平面的位置关系计算直线方向向量和平面法向量，即可证明；（2）根据三棱锥的体积可求得三棱柱的高为，利用空间向量求二面角的余弦值即可.【小问1详解】证明：在三棱柱中，平面，，，.所以，则，则，则如下图，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，设，则，所以，，设平面的法向量为，所以，令，则，所以，又平面，所以平面；【小问2详解】解：三棱锥的体积，解得，则由（1）知平面的法向量为，设平面的法向量为，， 所以，令，则，则，由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.20.某篮球队为提高队员训练的积极性，进行小组投篮游戏，每个小组由两名队员组成，队员甲与队员乙组成一个小组.游戏规则如下：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”.已知甲、乙两名队员投进篮球的概率分别为，.（1）若，，求他们在第一轮游戏获得“神投小组”称号的概率；（2）若，则在游戏中，甲、乙两名队员想要获得297次“神投小组”的称号，理论上他们小组至少要进行多少轮游戏才行？并求此时，的值.【答案】（1）（2）至少需要进行625轮游戏【解析】【分析】(1)根据获得“神投小组”称号的分类求概率即可；(2)利用二项分布概率的数学期望即可求解.【小问1详解】他们在第一轮游戏获得“神投小组”称号的概率等于.【小问2详解】由（1）可知他们在一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率为,因为，所以, 且，令则，，因为对称轴，所以当时概率最大为，此时，设他们在场比赛获得神投小组称号的次数为，每场获得神投小组称号的概率为，则，所以，所以，解得，即至少需要进行625轮游戏.21.已知双曲线的离心率为，且点在双曲线C上.（1）求双曲线C的方程；（2）若点M，N在双曲线C上，且，直线不与y轴平行，证明：直线的斜率为定值.【答案】（1）（2）直线的斜率为定值【解析】【分析】(1)根据离心率公式确定，再根据双曲线经过点即可求解；(2)利用韦达定理用坐标表示出,进而可求解.【小问1详解】由题可得离心率，所以，又因为，所以，所以双曲线方程，又因为双曲线过点，所以，解得，所以双曲线方程为. 【小问2详解】设直线的方程为，联立得，则得，，得，，，因为，所以，所以，即，所以，所以即，得或，若，则直线的方程为，即过点，不符合题意，若，则，满足，综上直线的斜率为定值.22.已知函数，为其导函数.（1）若，求的单调区间；（2）若关于的方程有两个不相等的实根，求实数的取值范围.【答案】（1）的单调减区间为，增区间为 （2）【解析】【分析】（1）根据函数单调性与导数的关系确定函数的单调区间即可；（2）将方程有两个不相等的实根，转化为函数，在上有两个零点问题，求导数从而讨论函数单调性，结合零点存在定理判断是否符合题意，从而可得实数的取值范围.【小问1详解】解：函数，，则，令，则，设，则，得，故时，，函数即单调递减，时，，函数即单调递增，所以，又时，，又，所以时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，故的单调减区间为，增区间为；【小问2详解】解：关于方程有两个不相等的实根，即函数，在上有两个零点，又，①当时，，得，所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以，又时，，，则函数在上有两个零点；②当时，，得，， （i）当时，，此时恒成立，函数单调递增，在上不可能有两个零点，不符合题意；（ii）当时，，则当时，，函数单调递增，时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以，，故函数在区间无零点，在不可能存在两个零点，故不符合题意；（iii）当时，，则当时，，函数单调递增，时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，又，故函数在区间无零点，在不可能存在两个零点，故不符合题意；③当时，方程只有一个实根1，不合题意；综上，实数的取值范围.