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山西省忻州市2023届高三数学一模试题(Word版附解析)

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高三数学考试(考试时间:120分钟试卷满分:150分)注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则()A.或B.C.D.或【答案】A【解析】【分析】根据不等式解出集合,在按照集合的补集与并集运算即可.【详解】解:集合,所以或,则或.故选:A.2.已知复数,则()A.B.5C.D.25【答案】B【解析】【分析】由复数,求出,再利用求模公式即可.【详解】因为复数,所以,所以,故选:B.3.下图是我国跨境电商在2016~2022年的交易规模与增速图,由图可以知道下列结论正确的是() A.这7年我国跨境电商交易规模的平均数为8.0万亿元B.这7年我国跨境电商交易规模的增速越来越大C.这7年我国跨境电商交易规模的极差为7.6万亿元D.图中我国跨境电商交易规模的6个增速的中位数为13.8%【答案】D【解析】【分析】根据图逐项进行分析即可求解.【详解】对于,由图可知:这7年我国跨境电商交易规模的平均数为:万亿元,故选项错误;对于,由图可知:交易规模的增速并不是越来越大,故选项错误;对于,由图可知:这7年我国跨境电商交易规模的极差为,故选项错误,对于,由图可知:6个增速的中位数为和的平均数,即,故选项正确,故选:.4.函数的图象大致为()A.B. C.D.【答案】C【解析】【分析】先判断函数的定义域及奇偶性进行排除,根据0到第一个零点处的函数值正负,即可判断选项C,D的正误.【详解】解:由题知,定义域为,解得,所以,故为奇函数,排除A,B;令可得,即,解得,当时,,,此时,故选项D错误选项C正确.故选:C5.已知,则的最小值为()A.8B.9C.10D.11【答案】B【解析】 【分析】运用基本不等式的性质进行求解即可.【详解】因为,所以由,当且仅当时取等号,即时取等号,故选:B6.设椭圆的半焦距为,若,,则的离心率为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由解出,再由离心率公式计算即可.【详解】由,解得,即的离心率为.故选:C7.如图,青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体,下半部分可以近似看作两个圆台的组合体,已知,,则该青铜器的体积为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求出青铜器的上面、中间和下面几何体的体积,即得解. 【详解】解:青铜器的最上面的圆柱的体积,中间的圆台的体积为,最下面的圆台的体积为.所以该青铜器的体积为.故选:A8.定义函数,若至少有3个不同的解,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意可知有解,即,分和两种情况,画出大致图象,找到关键不等式,解出即可.【详解】解:由题知,记,所以图象为图象靠下的位置,因为,有两个根,分别为或,若至少有3个不同的解,则有一个解或者两个解,即,解得或,当时,,所以对称轴为,若至少有3个不同的解, 画大致图象如下:根据图象则需满足,即,解得;当时,,所以对称轴为,此时大致图象如下:根据图象则需满足,即,解得,又因为,故,当时,,解得根为-1,因为的根为-1,1,此时的根为-1,1,不满足有三个根,故舍去,综上:.故选:B【点睛】思路点睛:该题考查函数与方程的综合问题,属于难题,关于已知函数有零点求参数范围的思路有:(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围; (2)分离参数法:先将参数分离,转化为求函数值域问题加以解决;(3)数形结合法:在同一坐标系下,画出有关函数图象,然后数形结合求解即可.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知圆,圆,下列说法正确的是()A.若,则圆与圆相交B.若,则圆与圆外离C.若直线与圆相交,则D.若直线与圆相交于,两点,则【答案】AC【解析】【分析】根据直线与圆相交、圆与圆位置关系逐项判断即可.【详解】解:圆的圆心,半径若,,则圆心,半径,则,所以,则圆与圆相交,故A正确,B错误;若直线与圆相交,则圆心到直线的距离,解得,故C正确;若直线与圆相交于,两点,则圆心到直线的距离,所以相交弦长,故D错误.故选:AC.10.将函数图象向左平移个单位长度,得到函数的图象,下列说法正确的是()A.当时,为偶函数 B.当时,在上单调递减C.当时,在上的值域为D.当时,点是的图象的一个对称中心【答案】AD【解析】【分析】根据平移变换得,对于A,根据诱导公式化简,再根据偶函数的定义判断可知A正确;对于B,根据可判断B不正确;对于C,利用正弦函数的图象求出值域,可判断C不正确;对于D,根据可判断D正确.【详解】依题意可得,对于A,当时,,,故为偶函数,所以A正确;对于B,当时,,,,所以在上不是减函数,故B不正确;对于C,当时,,因为,所以,所以,,即在上的值域为,故C不正确;对于D,当时,,因为,所以点是的图象的一个对称中心,故D正确.故选:AD 11.如图,在直三棱柱中,,,,分别为,和的中点,为棱上的一动点,且,则下列说法正确的是()A.B.三棱锥的体积为定值C.D.异面直线与所成角的余弦值为【答案】ABD【解析】【分析】根据图形特点取的中点为,以为原点,为轴建立空间直角坐标系,利用空间向量的线线关系计算可判断A,C,D选项;利用线面关系及三棱锥体积即可判断B选项.【详解】解:直三棱柱中,,,,分别为,和的中点,取的中点为,由于,所以,如图以为原点,为轴建立空间直角坐标系,设,,则,所以 则,又,所以,所以,对于A,,设,则,所以,则,故A正确;对于B,因为,分别为,的中点,所以,又,则又平面,平面,所以平面,故到平面的距离为定值,所以三棱锥的体积为定值,故B正确;对于C,由A选项得,,所以,故C不正确;对于D,由于,所以,所以,故异面直线与所成角的余弦值为,故D正确.故选:ABD. 12.已知函数,定义域均为,,连续可导,它们的导函数分别为,.若的图象关于点对称,,且,与图象的交点分别为,,,,则()A.是偶函数B.的图象关于直线对称C.的图象关于直线D.【答案】BCD【解析】【分析】根据奇函数性质可判断A,对两边求导,可判断B,根据,且,可得,再根据三角函数性质可判断C,根据与都关于对称可判断D.【详解】解:对于A,若的图象关于点对称,则,无法确定是否成立,故A不正确;对于B,由于,则,所以的图象关于直线对称,故B正确;对于C,因为,故设,其中为常数,又,所以,则的对称轴为,则,所以的图象关于直线,故C正确;对于D,因为对称中心为,,则也是的对称中心,所以函数与的交点关于对称,则,故D正确,故选:BCD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.已知向量,且,则m=______.【答案】2【解析】【分析】根据向量平行的坐标公式,代值计算即可.【详解】因为,,由,得.故答案为:2.14.已知,则________.【答案】【解析】【分析】根据两角和的正切公式可求出结果.【详解】因为,所以.故答案为:.15.某居民小区前有9个连成一排的车位,现有4辆不同型号的车辆要停放,则恰有2辆车停放在相邻车位的概率是________.【答案】【解析】【分析】根据捆绑法、插空法,结合古典概型计算公式进行求解即可.【详解】9个车位选4个安排4辆不同型号的车,共有种方法,将余下的5个空车位排成一排形成6个空,然后从4辆车中挑出2辆车作排列后进行捆绑,4辆车看作3个元素插入6个空中,共有种方法,由乘法原理结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为:故答案为: 16.已知抛物线,直线与抛物线交于,两点,过,分别作抛物线的切线,若,且与交于点M,则的面积的最小值为________.【答案】1【解析】【分析】由直线垂直可构造出斜率关系,得到,通过直线与抛物线方程联立,根据根与系数关系求得;联立两切线方程,可用表示出,代入点到直线距离公式,从而得到关于的面积的函数关系式,求得所求最值.【详解】解:抛物线的方程为,即,所以,设,,,,则,所以切线方程,,由于,所以,由题意可设直线方程为,抛物线方程联立,得,所以,则,,即即,联立方程得,即,点到直线的距离,,所以.当时,面积取得最小值1.故答案为:1.四、解答题:本题共6小题、共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.(1)求角C; (2)若,的面积为,求c.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)根据正弦定理,结合两角和的正弦公式、特殊角的正切值进行求解即可;(2)根据三角形面积公式和余弦定理进行求解即可.【小问1详解】根据正弦定理由因为,所以,所以由,因为,所以【小问2详解】因为,的面积为,所以有,舍去,即,所以.18.已知等比数列的前n项和,为常数.(1)求的值与的通项公式;(2)设,数列的前n项和为,求.【答案】(1);(2) 【解析】【分析】(1)利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出;(2)利用错位相减法求数列的前项和为即可.【小问1详解】解:当时,,当时,,是等比数列,,即,所以,数列的通项公式为;【小问2详解】解:由(1)得,,则..19.如图,在三棱柱中,平面,D,E分别为棱AB,的中点,,,.(1)证明:平面;(2)若三棱锥的体积为,求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析 (2)二面角的余弦值为【解析】【分析】(1)建立空间直角坐标系,根据直线与平面的位置关系计算直线方向向量和平面法向量,即可证明;(2)根据三棱锥的体积可求得三棱柱的高为,利用空间向量求二面角的余弦值即可.【小问1详解】证明:在三棱柱中,平面,,,.所以,则,则,则如下图,以为原点,为轴建立空间直角坐标系,设,则,所以,,设平面的法向量为,所以,令,则,所以,又平面,所以平面;【小问2详解】解:三棱锥的体积,解得,则由(1)知平面的法向量为,设平面的法向量为,, 所以,令,则,则,由图可知二面角为锐角,所以二面角的余弦值为.20.某篮球队为提高队员训练的积极性,进行小组投篮游戏,每个小组由两名队员组成,队员甲与队员乙组成一个小组.游戏规则如下:每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次,每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”.已知甲、乙两名队员投进篮球的概率分别为,.(1)若,,求他们在第一轮游戏获得“神投小组”称号的概率;(2)若,则在游戏中,甲、乙两名队员想要获得297次“神投小组”的称号,理论上他们小组至少要进行多少轮游戏才行?并求此时,的值.【答案】(1)(2)至少需要进行625轮游戏【解析】【分析】(1)根据获得“神投小组”称号的分类求概率即可;(2)利用二项分布概率的数学期望即可求解.【小问1详解】他们在第一轮游戏获得“神投小组”称号的概率等于.【小问2详解】由(1)可知他们在一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率为,因为,所以, 且,令则,,因为对称轴,所以当时概率最大为,此时,设他们在场比赛获得神投小组称号的次数为,每场获得神投小组称号的概率为,则,所以,所以,解得,即至少需要进行625轮游戏.21.已知双曲线的离心率为,且点在双曲线C上.(1)求双曲线C的方程;(2)若点M,N在双曲线C上,且,直线不与y轴平行,证明:直线的斜率为定值.【答案】(1)(2)直线的斜率为定值【解析】【分析】(1)根据离心率公式确定,再根据双曲线经过点即可求解;(2)利用韦达定理用坐标表示出,进而可求解.【小问1详解】由题可得离心率,所以,又因为,所以,所以双曲线方程,又因为双曲线过点,所以,解得,所以双曲线方程为. 【小问2详解】设直线的方程为,联立得,则得,,得,,,因为,所以,所以,即,所以,所以即,得或,若,则直线的方程为,即过点,不符合题意,若,则,满足,综上直线的斜率为定值.22.已知函数,为其导函数.(1)若,求的单调区间;(2)若关于的方程有两个不相等的实根,求实数的取值范围.【答案】(1)的单调减区间为,增区间为 (2)【解析】【分析】(1)根据函数单调性与导数的关系确定函数的单调区间即可;(2)将方程有两个不相等的实根,转化为函数,在上有两个零点问题,求导数从而讨论函数单调性,结合零点存在定理判断是否符合题意,从而可得实数的取值范围.【小问1详解】解:函数,,则,令,则,设,则,得,故时,,函数即单调递减,时,,函数即单调递增,所以,又时,,又,所以时,,函数单调递减,时,,函数单调递增,故的单调减区间为,增区间为;【小问2详解】解:关于方程有两个不相等的实根,即函数,在上有两个零点,又,①当时,,得,所以当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,所以,又时,,,则函数在上有两个零点;②当时,,得,, (i)当时,,此时恒成立,函数单调递增,在上不可能有两个零点,不符合题意;(ii)当时,,则当时,,函数单调递增,时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,所以,,故函数在区间无零点,在不可能存在两个零点,故不符合题意;(iii)当时,,则当时,,函数单调递增,时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,又,故函数在区间无零点,在不可能存在两个零点,故不符合题意;③当时,方程只有一个实根1,不合题意;综上,实数的取值范围.

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发布时间:2023-08-06 02:12:02 页数:21
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文章作者:随遇而安

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