山西省忻州市2023届高三数学下学期百日冲刺试题（Word版附解析）

高三百日冲刺数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．本试卷主要考试内容：高考全部内容。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则A．B．C．D．2．已知抛物线C：的焦点为F，点在抛物线C上，则A．4B．C．8D．3．已知，则的最小值是A．6B．8C．10D．124．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，，E，F分别是棱BC，PD的中点，则异面直线EF与AB所成角的余弦值是 A．B．C．D．5．已知直线：与圆C：，则“”是“直线l与圆C一定相交”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．溶液酸碱度是通过PH计量的，PH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．已知某溶液的PH值为2.921，则该溶液中氢离子的浓度约为（取，）A．摩尔/升B．摩尔/升C．摩尔/升D．摩尔/升7．春节期间，某地政府在该地的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域．现有5种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有A．120种B．240种C．420种D．720种8．若函数在内恰有4个零点，则的取值范围是 A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列关于非零复数，的结论正确的是A．若，互为共轭复数，则B．若，则，互为共轭复数C．若，互为共轭复数，则D．若，则，互为共轭复数10．已知，，且，则A．B．C．D．11．若△ABC的三个内角均小于120°，点M满足，则点M到三角形三个顶点的距离之和最小，点M被人们称为费马点．根据以上性质，已知是平面内任意一个向量，向量，满足，且，则的取值可以是A．9B．C．D．612．已知，分别是定义在R上的函数，的导函数，，，且是奇函数，则A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称 C．D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某蛋糕店新推出一款蛋糕，连续一周每天的销量分别为18，22，25，29，21，20，19，则这组数据的平均数是．14．在等比数列中，若，，则当取得最大值时，n＝．15．一个正方体的体积为m立方米，表面积为n平方米，则的最小值是，此时，该正方体内切球的体积是立方米．（本题第一空3分，第二空2分）16．已知双曲线C：的右焦点为F，直线l：与双曲线C交于A，B两点，若，则双曲线C的离心率是．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）设等差数列的前n项和为，，．（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前100项和．18．（12分）某校为了解高三年级学生的学习情况，进行了一次高考模拟测试，从参加测试的高三学生中随机抽取200名学生的成绩进行分析，得到如下列联表：本科分数线以下本科分数线以上（包含本科分数线）合计男4080120女324880合计72128200将频率视为概率．（1）从该校高三男、女学生中各随机抽取1名，求这2名高三学生中恰有1名的成绩在本科分数线以下的概率； （2）从该校所有高三学生中随机抽取3名，记被抽取到的3名高三学生本次高考模拟成绩在本科分数线以上（包含本科分数线）的男生人数为X，求X的分布列和数学期望．19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若，且△ABC的面积是，求AD的最小值．20．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，，平面ADE⊥平面ABCD，，．（1）证明：BD⊥平面ACE．（2）若平面CEF与平面ABFE夹角的余弦值为，求BF的长．21．（12分）已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点的直线l交椭圆C于P，Q两点，O为坐标原点，求△OPQ面积的最大值．22．（12分）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求a的取值范围． 高三百日冲刺数学试题参考答案1．C由题意可得，，则．2．A由题意可得，解得，则，故．3．D，当且仅当，即时，等号成立．4．B如图，取棱AD的中点H，连接PH，EH，HF，则，则∠HEF是异面直线EF与AB所成的角（或补角）．设，则EH＝2，．在△EFH中，易证，则，故．5．C由题意可知直线l过定点，要使直线l与圆C一定相交，则解得，故“”是“直线l与圆C一定相交”的充要条件．6．A设该溶液中氢离子的浓度约为t摩尔/升，则，从而 ，即该溶液中氢离子的浓度约为摩尔/升．7．C如图，先在A中种植，有5种不同的选择，再在B中种植，有4种不同的选择，再在C中种植，有3种不同的选择，再在D中种植，若D与B种植同一种花卉，则E有3种不同的选择，若D与B种植不同花卉，则D有2种不同的选择，E有2种不同的选择，故不同的布置方案有种．8．D因为，所以．令，得．当时，，解得；当时，，解得．综上，的取值范围是．9．AC设，由，互为共轭复数，得，则，故A正确．当，时，，此时，，不是共轭复数，则B错误．由，互为共轭复数，得，从而，即，则C正确．当，时，，即，此时，，不是共轭复数，则D错误．10．ABD 因为，所以，所以．设，则在上单调递增．因为，所以，则A正确．因为，，且，所以，所以，则B正确，因为，所以，所以，即，则D正确．11．AB设，，，，此即点到，，三个点的距离之和．△ABC是等腰锐角三角形，由费马点的性质可知当点M满足时，点M到△ABC三个顶点的距离之和最小，因为，，，所以，的最小值是．12．ABC因为，所以（a为常数），所以．因为，所以．令，得，解得，所以，则的图象关于直线对称，故A正确．因为，且，所以．所以，即是偶函数．因为是奇函数，所以的图象关于点对称，所以的图象关于点对称，因为是偶函数，所以的图象关于点对称，则B正确．因为是奇函数，所以，所以，所以，则是周期为4 的函数．因为，所以，所以，，则．因为是奇函数，所以，所以，则C正确．因为，所以，所以，，，，所以，所以，则D错误．13．22由题意可得这组数据的平均数是．14．6因为，，所以公比，则，故．因为，，所以当取得最大值时，．15．；设该正方体的棱长为x，则，，故．设，则．由，得，由，得，则在上单调递减，在上单调递增，故，即的最小值是．此时该正方体的棱长是4，则其内切球的半径，从而该正方体内切球的体积为． 16．不妨设A在第一象限，则△AFO（O为坐标原点）为直角三角形，则，．设双曲线C的左焦点为F＇，由双曲线的对称性可知，则，即，整理得，从而，解得．因为，所以．17．解：（1）由题意可得，解得，．故．（2）由（1）及等差数列前n项和公式可得，则．故数列的前100项和．18．解：（1）由题意可知本次高考模拟测试中，该校高三男生的成绩在本科分数线以下的概率是，高三女生的成绩在本科分数线以下的概率是， 则所求概率．（2）由题意可知从该校所有高三学生中随机抽取1名学生，抽到男生成绩在本科分数线以上（包含本科分数线）的概率是．X所有可能取值为0，1，2，3．，，，，则X的分布列为X0123P故．19．解：（1）因为，所以，所以，解得．因为，所以．（2）因为△ABC的面积是， 所以，解得．因为，所以，所以，所以．因为，所以，所以．因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，即当时，AD取得最小值．20．（1）证明：因为，所以，所以．因为平面ADE⊥平面ABCD，且平面平面，所以AE⊥平面ABCD．因为平面ABCD，所以．因为四边形ABCD是菱形，所以．因为AE，平面ACE，且，所以BD⊥平面ACE． （2）解：记，以O为坐标原点，分别以，的方向为x，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设，，则，，，，，故，，，．设平面ABFE的法向量为，则，令，得．设平面CEF的法向量为，则，令，得．设平面CEF与平面ABFE的夹角为θ，则，解得，即当平面CEF与平面ABFE夹角的余弦值是时，BF的长为3．21．解：（1）设椭圆C的焦距为2c， 由题意可得，解得，故椭圆C的标准方程为．（2）设直线l的方程为，，，联立，整理得，则，即，解得，，．故△OPQ的面积．设，因为，所以，所以，因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，则，即△OPQ面积的最大值为．22．解：（1）由题意可得．当时，由，得，由，得，则在上单调递减，在上单调递增．当时，，则．由，得或，由，得，则在上单调递减，在上单调递增．当时，在R上恒成立，则在R上单调递增．当时，，则．由，得或，由，得，则在上单调递减，在上单调递增．（2）由（1）可知当时，在上单调递减，在上单调递增． 要使有两个零点，需至少满足，即．当时，，，则在与上各有一个零点，即符合题意．当时，只有一个零点，则不符合题意．当时，由，当时，，，则在上恒成立．由（1）可知在上单调递增或先递减后递增，则不可能有两个零点，即不符合题意．综上，a的取值范围为．