山西省三重教育2023届高三数学下学期2月联考试题(Word版附解析)
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绝密★启用前(新高考卷)数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】解,得,即可求解.【详解】令,则解得,所以,所以.故选:A2.已知复数,满足,,则()A.B.C.D.6【答案】C【解析】【分析】根据复数模长的运算性质,可得答案.【详解】由,则,,故选:C.3.已知一个足球场地呈南北走向.在一次进攻时,某运动员从A点处开始带球沿正北方向行进16米到达B处,再转向北偏东60°方向行进了24米到达C处,然后起脚射门,则A,C两点的距离为()
A米B.米C.32米D.米【答案】D【解析】【分析】作出示意图,利用余弦定理计算即可.【详解】如图,根据题意可知.根据余弦定理可得:,解得(米)故选:D4.已知抛物线的焦点为,准线为,点在上,过作的垂线,垂足为,若(为原点),则到的距离为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由抛物线的定义结合可求得的值,由此可得出到的距离.【详解】易知抛物线的焦点为,由抛物线的定义可得,所以,,解得,因此,到的距离为.故选:C.5.有一个棱柱形状的石料,底面是边长为的等边三角形,该石料侧棱垂直于底面,若可以将该石料打磨成四个半径为的石球,则至少需要打磨掉的石料废料的体积为()A.B.
C.D.【答案】B【解析】【分析】求出柱形石料的高,利用柱体体积减去四个球体体积可得结果.【详解】底面是边长为的等边三角形的内切圆的半径为,由等面积法可得,解得,若可以将该石料打磨成四个半径为的石球,则该柱形石料的高至少为,因此,至少需要打磨掉的石料废料的体积为.故选:B.6.已知向量,,其中.若,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】将向量用坐标表示,分析是否为零后,将等式两边同时平方,再用代换为齐次式,再将等式两边同时除以,得到关于的等式,解出即可.【详解】解:因为,且,,所以,当时,,不成立,故,对等式两边同时平方有:化简可得:,两边同时除以有:,即,即,解得.
故选:B7.现有甲、乙两组数据,每组数据均由六个数组成,其中甲组数据的平均数为,方差为,乙组数据的平均数为,方差为.若将这两组数据混合成一组,则新的一组数据的方差为()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用平均数和方差公式可求得新数据的方差.【详解】设甲组数据分别为、、、,乙组数据分别为、、、,甲组数据的平均数为,可得,方差为,可得,乙组数据平均数为,可得,方差为,可得,混合后,新数据的平均数为,方差为.故选:D.8.已知椭圆M:的上顶点为A,过点A且不与y轴重合的直线l与M的另一个交点为(其中),过B作l的垂线,交y轴于点C.若,则l的斜率()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意得出直线方程,将直线方程与椭圆方程联立求出点的坐标,再根据题意求出所在直线方程,求出点的坐标,利用两点间距离公式即可求解.
【详解】由题意可得直线的方程为,将直线方程代入椭圆方程可得:,所以,则,因为过B作l的垂线,交y轴于点C,所以所在直线方程为:,令,则,所以点,又因为,所以,整理化简可得:,解得:,因为,所以,故选:.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知等比数则的公比为,前项积为,若,则()A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】利用数列的基本性质可得出,,求出的取值范围,可判断AB选项;利用等比数列的性质可判断CD选项.【详解】因为数列等比数则的公比为且,则,所以,,,又因为,则,所以,,从而,
故对任意的,,由可得,A对B错;,,即,C对D错.故选:AC.10.已知函数的图象关于点对称,且存在,使在上单调递增,则下列选项正确的是()A.的最小正周期B.在上单调递增C.函数的图象不可能关于点对称D.函数在内不存在极值点【答案】AC【解析】【分析】A选项,依据周期的定义,计算的范围可判断;B选项,的单调增区间在距对称中心前后内,令,求出的范围可判断结果;C选项,的每个对称中心间隔为,计算对称中心的范围判断是否在此范围内即可;D选项,的极值点为,依据周期的范围计算极值点的范围,判断是否在内可得结果.【详解】解:A选项:,,故A正确;B选项:若存在,使在上单调递增,则,即,所以在上不一定单调,故B错误;
C选项:因为是的对称中心,所以也是的对称中心,,,,所以不是的对称中心,故C正确;D选项:函数的极值为的最值,是的对称中心,所以的最值点为,有,所以函数在内存在极值点,故D错误.故选:AC11.已知椭圆C:的左、右焦点分别为,,直线与椭圆C交于A,B两点(其中A在B的左侧),记面积为S,则()A.B.时,C.S的最大值为D.当时,【答案】ACD【解析】【分析】由题知,,,设,则,进而结合向量运算,椭圆定义等讨论各选项即可得答案.【详解】由题知,,,设,则,对于A选项,根据椭圆的定义,,故正确;对于B选项,,故,
因为,即,所以,解得,故错误;对于C选项,因为,当且仅当,即时等号成立,即所以,面积为,即的最大值为,故正确;对于D选项,,所以,因为,所以,因为,,所以,整理得,即,解得,所以,所以面积为,故正确;故选:ACD12.已知函数,则下列说法正确的是()A.若在R上单调递增,则B.若,设的解集为,则C.若若两个极值点,,且,则D.若,则过仅能做曲线的一条切线【答案】ACD【解析】
【分析】对函数求导,利用导数研究函数的最值判断;化简不等式,利用符号法解不等式,从而求解区间长度范围判断;结合图象和函数的零点判断;利用导数的几何意义建立方程,判断方程根的个数即可判断D.【详解】对于A,对求导得:,因为函数在R上单调递增,所以恒成立,即恒成立,记,则,因为,当时,,当时,,即函数在上单调递增,在上单调递减,因此,函数在处取得最大值,所以,即,故选项正确;对于B,由得,等价于,即,当时,,,又,故所以,当时,,无解,故的解集为,此时,当时,,,故B不正确;对于C,因为函数有两个极值点,,所以有两个零点点,,即方程有两个解为,,记,因为,当时,,当时,,即函数在上单调递增,在上单调递减,因此,函数在处取得最大值,令,则,解得,此时,即,方程有两个解为,等价于与交于两点,所以,
所以,C选项正确;对于D,时,,,设图象上一点,则,故过点的切线方程为,将代入上式得,整理得,构造函数,则,构造函数,则,令得,令得,所以函数在上单调递减,在上单调递增,所以,所以,所以函数单调递增,又,即方程在区间有一解,所以存在唯一一条过的切线,D选项正确.故选:ACD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.A,B两篮球运动员在球衣号分别为6,8,9,18的四件球衣中各随机选一件,则A选的是偶数号球衣的不同选法共有__________种.【答案】9【解析】【分析】根据分步乘法法则直接得出答案.【详解】A选的是偶数号球衣的选法有3种,
B从A选完后剩余的3件球衣中选1件的选法有3种,则A选的是偶数号球衣的不同选法共有种,故答案为:9.14.已知直线过定点,则最小值为__________.【答案】【解析】【分析】将定点代入直线中得到,再用“1”的代换即可求得结果.【详解】解:因为直线过定点,所以,即,所以,当且仅当即时取等,所以的最小值为.故答案为:15.若在圆C:上存在一点P,使得过点P作圆M:的切线长为,则r的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】设点,根据题意可得:,然后再利用即可求解.【详解】设点,过点作圆M:的切线,切点为,由题意可知:,因为点,所以,化简整理可得:,
所以,因为,,所以,解得:,所以的取值范围为,故答案为:.16.若曲线与曲线存在公切线,则a的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】曲线与曲线存在公切线等价于导函数相等有解,求导后列出方程求解即可.【详解】由,则,设切点为,切线斜率为,所以,切线为,即,由,则,设切点为,切线斜率为,所以,切线为,即,根据题设,若它们切线为公切线,则有,即,又,即且,即,由上关系式并消去并整理得在上有解,令,则,当,则,即,此时递增;
当,则或,即或,此时递减;又,,所以,即.故答案为:.【点睛】关键点点睛:设切点并写出两曲线对应的切线方程,根据公切线列方程组,注意切点横坐标及参数a范围,进而转化为方程在某区内有解问题.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.求△ABC,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知,且△ABC的周长为6.(1)证明:;(2)求△ABC面积的最大值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)利用余弦定理和三角形周长即可求解;(2)结合(1)的结论和基本不等式得出,然后利用三角形面积公式即可求解.【小问1详解】在△ABC中,由余弦定理可得:,即,又因为,所以,整理可得:,所以得证.【小问2详解】由(1)可知:,所以,当且仅当时取等号,
所以或,因为,所以,则,所以,故△ABC面积的最大值为.18.已知数列各项均为正数,,,且.(1)若,求的前n项和;(2)若为等比数列,且不为等比数列,求的值.【答案】(1).(2).【解析】【分析】(1)由题意可得,确定为等差数列,即可求得答案;(2)根据题意列出等式,解关于的方程,可得答案.【小问1详解】由题意若,则,故为等差数列,,,则公差为,所以,故的前n项和.【小问2详解】由已知可得,,由于为等比数列,则,即,整理可得,,则,符合不为等比数列,且,故.
19.一对夫妻计划进行为期60天的自驾游.已知两人均能驾驶车辆,且约定:①在任意一天的旅途中,全天只由其中一人驾车,另一人休息;②若前一天由丈夫驾车,则下一天继续由丈夫驾车的概率为,由妻子驾车的概率为;③妻子不能连续两天驾车.已知第一天夫妻双方驾车的概率均为.(1)在刚开始的三天中,妻子驾车天数的概率分布列和数学期望;(2)设在第n天时,由丈夫驾车的概率为,求数列的通项公式.【答案】(1)分布列见解析;(2),【解析】【分析】(1)设妻子驾车天数为,写出的可能取值,根据题意求出相对应的概率,列出分布列,根据期望公式求出结果即可;(2)由于丈夫驾车的概率与前一天驾车的对象有关系,不妨假设第天,丈夫驾车的概率为,则妻子驾车的概率为,得到关于的递推关系式,构造等比数列,求出等比数列通项公式即可求得通项公式.【小问1详解】解:设妻子驾车天数为,则的可能取值为:,由题意可知:,,,所以的分布列如下表所示:012所以;【小问2详解】假设第天,丈夫驾车的概率为,则妻子驾车的概率为,
此时第n天时,由丈夫驾车的概率为,即,则有,所以,因为,所以是以为首项,为公比的等比数列,即,故.20.如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAB平面ABC,,,.(1)证明:ABPC;(2)求二面角A-PC-B的余弦值.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】【分析】(1)作,垂足为O,可得OBOC,又POBO,可得OB平面POC,根据线面垂直的性质即可证明;(2)以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz,求出两个平面的法向量即可求二面角的余弦值.【小问1详解】如图,作,垂足为O,连接CO,因为POBO,且,
所以是等腰直角三角形,又,所以OB=OP=2.又,,由余弦定理可知CO=2,所以,即OBOC.又,OP,OC平面POC,所以平面POC,又PC平面POC,所以OBPC,即,【小问2详解】因为平面PAB平面ABC,且平面PAB平面ABC=AB,POAB,PO平面PAB,所以PO平面ABC,又OC平面ABC,所以POOC.以O为原点建立如图所示空间直角坐标系O-xyz,则A(1,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),则,设平面APC的法向量为,则,取,则,所以.设平面BPC的法向量为,则,取,则,所以
.设二面角B-PC-A为,由图可知为锐角,所以.21.已知双曲线:的焦距为8.过左焦点的直线与的左半支交于,两点,过,作直线:的垂线,垂足分别为,,且当垂直于轴时,.(1)的标准方程;(2)设点,判断是否存在,使得为定值?若存在,求的值;若不存在,说明理由.【答案】(1)(2)存在,【解析】【分析】(1)根据焦距得,利用及通经长度即可求得的值,从而得的标准方程;(2)讨论直线斜率不存在与存在两种情况,存在时,直线方程为,,联立直线与双曲线,得交点坐标关系,利用直线方程与双曲线方程转化,通过系数成比例解方程确定定值是否存在即可.【小问1详解】由题可知,焦距,所以,当AB垂直于x轴时,,又,联立,解得或(舍),所以则的标准方程为;【小问2详解】如图,
①当直线斜率不存在时,此时,则,所以,要使得为定值,则;②当直线斜率存在时,设直线方程为,,则,由于均在左半支,所以,且,所以,消去得,则所以,同理,则,要使得为定值,则满足,解得,此时,经检验,此结果也符合斜率不存在的情况综上,存在使得为定值.
22.设函数,其中,.(1)若,且在区间单调递减,在区间单调递增,求t的最小值;(2)证明:对任意正数a,b,仅存在唯一零点.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】(1)根据函数,求导,结合已知是函数的唯一的极值点,且为极小值点,所以,有唯一的根,令确定其单调性,对进行讨论,即可求得t的最小值;(2)因为,设,将的零点个数转化为零点的个数,对求导研究即可.【小问1详解】若,,,则,因为在区间单调递减,在区间单调递增,所以是函数的唯一的极值点,且为极小值点,且,即,令,则,令得,令得或所以在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,又;当时,存,,,
使得,即,且当时,,时,,时,,时,所以在和上单调递减,在和上单调递增,即不符题意,当时,在上恒成立,则存在,使得,当时,,时,所以在单调递减,在单调递增,即符合题意,又,则,综上,t的最小值为.【小问2详解】证明:易知,设,则,所以,①当,即时,,则单调递增,又时,,时,,所以存在,使得,时,,时,所以在上单调递减,在上单调递增,又时,,时,,所以存在唯一的,使得,即,
②当,即,存在,,使得,且,易知在和上单调递增,在上单调递减,又当时,,且时,,所以存在,使得,易知在上单调递减,在上单调递增,又时,,时,,所以存在唯一的,使得,即;综上,对任意a,b>0,仅存在唯一零点.【点睛】本题考查了函数极值点、零点与导数的综合,属于难题.解决本题含参极值点的关键是得含参方程,构造新函数确定其单调性与取值,从而得的范围,使得可求得满足方程的t的最小值;而要证明函数的零点唯一性,采用等价转化为的零点个数即可.
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