山东省 2022-2023学年高二数学下学期6月月考试题（Word版附解析）

高二年级6月份阶段性测试数学试题考试时间：120分钟第I卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出集合A，计算与集合B的交集即可.【详解】由题意可得，则.故选：B.2.已知a为非零实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】首先解绝对值不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】由，即或，解得或，所以由“”可以推出“”，故充分性成立，由“”不能推出“”，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3.函数的零点所在的大致区间是（）-22- A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.【详解】的定义域为，又与在上单调递增，所以在上单调递增，又，所以，根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间为，故选：C.4.已知函数则函数，则函数的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由可知图像与的图像关于轴对称，由的图像即可得出结果.-22- 【详解】因为，所以图像与的图像关于轴对称，由解析式，作出的图像如图从而可得图像为B选项.故选：B.5.某学校对高二学生是否喜欢阅读进行随机调查，调查的数据如下表所示：喜欢阅读不喜欢阅读总计男学生302050女学生401050总计7030100根据表中的数据，下列对该校高二学生的说法正确的是（）P（x²≥k）0.250.150.100.050.0250.0100.001k1.3232.0722.7063.8415.0246.63510.828A.没有95%以上的把握认为“性别与是否喜欢阅读有关”B.有99%以上把握认为“性别与是否喜欢阅读有关”C.在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“性别与是否喜欢阅读有关”D.在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与是否喜欢阅读有关”【答案】D【解析】-22- 【分析】根据列联表中的数据，求得的值，再与临界值表对照，逐项判断.【详解】解：A.因为，所以有95%以上的把握认为“性别与是否喜欢阅读有关”，故错误；B.因为，所以没有99%以上的把握认为“性别与是否喜欢阅读有关”，故错误；C.因为，所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下，不能认为“性别与是否喜欢阅读有关”，故错误；D.因为，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与是否喜欢阅读有关”，故D正确；故选：D6.垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率与时间（月）近似地满足关系（其中a，b，为正常数），经过6个月，这种垃圾的分解率为，经过12个月，这种垃圾的分解率为，那么这种垃圾完全分解大约需要经过（）个月（参考数据：）A.20B.28C.32D.40【答案】C【解析】【分析】先由题给条件求得正常数a，b的值，得到分解率与时间（月）近似地满足关系，再解方程即可求得这种垃圾完全分解大约所需要经过的月数.【详解】由题意得，，解之得，则则由，可得，两边取常用对数得，，则故选：C-22- 7.已知函数的定义域为，满足，且当时，．若，则t的最大值是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由时，，利用得到，，且，在求得时的解析式，由求解.【详解】解：当时，，则在上递增，在上递减，且，由知：时，，时，，且在上递增，在上递减，因为，当时，，因为，所以，令，解得，所以满足，的t的最大值是，故选：C8.若，可以作为一个三角形的三条边长，则称函数是区间上的“稳定函数”.已知函数是区间上的“稳定函数”，则实数的取值范围为（）-22- A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用导数可求得单调性，进而得到最大值和最小值，根据稳定函数定义可得，由此可得关于的不等式，解不等式可求得的取值范围.【详解】，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，又，，，由“稳定函数”定义可知：，即，解得：，即实数的取值范围为.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查函数导数中的新定义运算问题，解题关键是能够充分理解稳定函数的定义，将问题转化为函数最大值和最小值之间的关系，由此利用导数求得最值来构造不等关系.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9.下列说法正确的有（）A.若，则-22- B.命题“，”的否定为“，”C.若幂函数在区间上是减函数，则D.方程有一个正实根，一个负实根，则【答案】BCD【解析】【分析】对于A，举例判断即可，对于B，改量词否结论，对于C，由题意可得，且，从而可求出的值，对于D，由题意得，从而可求出的范围.详解】对于A，若，则满足，而，所以A错误，对于B，命题“，”的否定为“，”，所以B正确，对于C，因为幂函数在区间上是减函数，所以，且，解得，所以C正确，对于D，因为方程有一个正实根，一个负实根，所以，解得，所以D正确，故选：BCD10.（多选）设函数，对任意的，，以下结论正确的是A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】利用指数幂的计算法则判断A，B的对错；利用负整数指数幂的计算法则判断C的对错；D中需要分两种情况分析.-22- 【详解】A．不恒成立，错误；B．同底数幂相乘，底数不变，指数相加，正确；C．由，可知，正确；D．当时，，当时，，所以，错误；故选BC.【点睛】本题考查指数幂的计算法则以及指数函数的函数值判断，难度较易.（1），，；（2），当时，若则，若则；当时，若则，若时则.11.已知正实数a，b满足，则以下不等式正确的是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】由已知得到，再利用基本不等式依次判断各选项即可．【详解】正实数a，b满足，则，，当且仅当，时取等号，A正确，，，当且仅当，时取等号，，B错误，，当且仅当时取等号，C正确，由，有，则，由，有，所以，当且仅当，时取等号，D正确.-22- 故选：ACD12.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知大衍数列满足，，则（）A.B.C.D.数列的前2n项和的最小值为2【答案】ACD【解析】【分析】当时，,当时，,联立可得，利用累加法可得，从而可求得，在逐项判断即可.【详解】令且，当时，①；当时，②，由①②联立得.所以，累加可得.-22- 令(且为奇数)，得.当时满足上式，所以当为奇数时，.当为奇数时，，所以，其中为偶数.所以，故C正确.所以，故A正确.当为偶数时，，故B错误.因为，所以的前2n项和，令，因为数列是递增数列，所以的最小项为，故数列的前2n项和的最小值为2，故D正确.故选:ACD.【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．-22- (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．第Ⅱ卷三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13.已知，，则______．【答案】0.36【解析】【分析】由指数与对数的运算性质求解【详解】因为，所以，又，所以，所以，，故答案为：14.幂函数满足：任意有，且，请写出符合上述条件的一个函数___________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】取，再验证奇偶性和函数值即可.【详解】取，则定义域为R，且，，，满足.故答案为：.15.已知正实数，满足，且有解，则的取值范围______．【答案】【解析】【分析】根据已知表示出，若有解，则，表示出，然后利用基本不等式即可求出其最小值，即可得出答案.-22- 【详解】由题知，因，所以，，若有解，则即可，因为，都是正数，所以，当且仅当，即时，等号成立，故.故答案为：16.已知函数，则函数的零点有______个；关于的方程的实根个数构成的集合为______．【答案】①.2②.【解析】【分析】首先根据函数函数表达式，直接在定义域内解方程即可判断根的个数；首先根据表达式，画出函数的图像，再对以及进行分类讨论，结合图像，判断函数交点的个数，最后用列举法求出函数的解的个数的集合.【详解】函数的图像如下,-22- 根据函数零点可得，，当时，解得，此时，符合；当时，解得或，由于，故舍去，所以得零点有2个，为和.令，则当时，如下图，此时，则此时与有2个交点，即有2个解.当时，此时，解得或，此时有一个解，有两个解，则总的有3个解.当时，如下图，有三个解，分别记作，则此时与的交点为4个.即有4个解.-22- 当时，，解得，此时共有7个解，即即有7个解.当时，此时有4个解，分别记作，如下图，则此时与的交点为8个，即有8个解.当时，即，解得或或，则此时共有6个解，即有6个解.当时，如下图，此时有2个解，分别记作，如下图，则此时与的交点为4个，即有4个解.-22- 综上所述解的个数组成的集合为故答案为：2；【点睛】本题考查了方程的根的问题，其中包含了一个复合函数，属于综合题，难度较大；关键点在于通过换元将复合函数简化，借助外层函数的图像，对参数进行分类讨论，确定交点个数，再画出内层函数的图像，结合图像确定交点个数即可求解.四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知集合，．（1）若，求；（2）若命题P：“，”是真命题，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用一元二次不等式的解法及集合的补集和交集的定义即可求解；（2）根据（1）的结论及真命题的定义，结合子集的定义即可求解.【小问1详解】当时，，则.【小问2详解】-22- 由（1）知，，，由命题P：“，”是真命题可知：故或，解得：或实数a的取值范围为或．18.已知函数（且）的图象过点.（1）求实数的值；（2）解关于的不等式.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将点代入函数即可求解；（2）先求出函数的定义域，然后利用单调性列出不等式即可求解【小问1详解】由题设条件可知，，即，解得，∴【小问2详解】∵的定义域为，并在其定义域内单调递增，∴⇔，解得，∴不等式的解集为.19.已知数列满足.（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）若__________，求数列的前项和.-22- （在①；②；③这三个条件中选择一个补充在第（2）问中，并对其求解）【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据等差数列的定义和通项公式分析运算；（2）选①：利用裂项相消法求和；选②：根据并项求和法分析运算，注意讨论项数的奇偶性；选③：利用分组求和法，结合等差、等比数列求和运算.【小问1详解】∵，则，即故数列是首项和公差都为2的等差数列，∴，即小问2详解】选①：∵，∴.选②：∵，则有：当时，；当时，；∴.-22- 选③：∵，∴.20.某企业为改进生产，现某产品及成本相关数据进行统计．现收集了该产品的成本费y（单位：万元/吨）及同批次产品生产数量x（单位：吨）的20组数据．现分别用两种模型①，②进行拟合，据收集到的数据，计算得到如下值：14.50.086650.04-4504表中，．若用刻画回归效果，得到模型①、②的值分别为，．（1）利用和比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；（2）根据（1）中所选择的模型，求y关于x的回归方程；并求同批次产品生产数量为25（吨）时y的预报值．附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，．【答案】（1）选择模型②，理由见解析；（2）6.-22- 【解析】【分析】（1）根据已知，根据的意义，即可得出模型②的拟合效果好，选择模型②；（2）与可用线性回归来拟合，有，求出系数，得到回归方程，即可得到成本费与同批次产品生产数量的回归方程为，代入，即可求出结果.【小问1详解】应该选择模型②.由题意可知，，则模型②中样本数据的残差平方和比模型①中样本数据的残差平方和小，即模型②拟合效果好.【小问2详解】由已知，成本费与可用线性回归来拟合，有.由已知可得，，所以，则关于的线性回归方程为.成本费与同批次产品生产数量的回归方程为，当（吨）时，（万元/吨）.所以，同批次产品生产数量为25（吨）时y的预报值为6万元/吨.21.已知函数是定义在上的偶函数，其中．（1）求a的值；（2）若关于x的不等式对都成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）-22- （2）【解析】【分析】（1）由偶函数的定义求解参数；（2）不等式等价于对恒成立，通过换元和基本不等式求算式的最小值即可.【小问1详解】因为是偶函数，所以，则，所以对任意实数x都成立，所以，解得．【小问2详解】由（1）知，，因为关于x的不等式，即对恒成立，因为，所以，原问题转化为对恒成立，设，则对任意的恒成立，因为，其中，而，当且仅当时，即时等号成立，所以时，取最小值．所以．因此实数m的取值范围是．22.设函数，，．（1）时，求在处切线方程；-22- （2）若在y轴右侧，函数图象恒不在函数的图象下方，求实数a的取值范围；（3）证明：当时，．【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）设函数，求得，令，求得，分和，两种情况讨论，求解函数的单调，进而求得的取值范围.（3）取，由（2）知，令，，令，化简得到，进而证得结论.【小问1详解】时，，∵，∴，∵，则切线方程为，即.【小问2详解】设函数，则，令，则，当，即时，，即，即，所以成立，此时符合题意；-22- 当，即时，令，解得，所以在区间上单调递减，又由，此时在上单调递减，所以，显然不满足题意，综上可得，实数a的取值范围为.【小问3详解】取，由（2）知在上恒成立，当且仅当时，等号成立，因为，令，代入得到，即，且，令，，即，代入化简得到，所以成立．【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.-22-