湖南省长沙市浏阳市2022-2023学年高二数学下学期期末试题（Word版附解析）

2023年上学期期末考试试卷高二数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合，，则等于A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】试题分析：是由集合A,B的相同的元素构成的，由已知条件可得考点：集合的交集运算2.已知复数，其中为虚数单位，则复数的实部与虚部之和为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的四则运算法则计算出，得到实部和虚部，得到答案.【详解】由题意得，，所以实部为，虚部为，实部与虚部之和为．故选：C3.若向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由向量的数量积公式求得向量夹角的余弦值，再代入投影向量公式即可求得向量在向量上的投影向量.【详解】设向量与的夹角为， 则，则在上的投影向量为．故选：B．4.若不等式对任意实数x均成立，则实数m的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】化简已知不等式，对进行分类讨论，结合一元二次不等式的知识求得的取值范围.【详解】依题意，不等式对任意实数x均成立，即不等式恒成立，当时，不等式可化为恒成立，当时，，解得，综上所述，的取值范围是.故选：B5.今天是星期四，经过天后是星期（）A.二B.三C.四D.五【答案】B【解析】【分析】利用二项展开式求一个数除以7的余数，从而求得结果．【详解】因为因为前展开式中的前2023项都包含有7的倍数，所以最后除以7的余数取决于最后一项即除以7的余数，为6，所以应该是星期三， 故选：B.6.的展开式中的系数为（）A.88B.104C.D.【答案】D【解析】【分析】分别求、的二项式展开式通项、，可得原式的通项，结合指定项的指数值求m、n，进而求该项的系数.【详解】由题设，的通项为，的通项为；∴原多项式的展开式通项可写为，∴，可得或或，∴的系数为.故选：D.【点睛】关键点点睛：将原式分成两个二项式分别求通项，结合指定项未知数的指数值求参数，进而求该项的系数.7.设随机变量，若，则（）A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7【答案】D【解析】【分析】根据已知，利用，可得，即得.【详解】随机变量服从正态分布，且正态曲线的对称轴是：，由，可得，则.故选：【点睛】本题考查正态分布曲线的性质，属于基础题.8.数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学 为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（）A.种B.种C.种D.种【答案】B【解析】【分析】先分类，再每一类中用分步乘法原理即可.【详解】由题意可知三年修完四门课程，则每位同学每年所修课程数为或或若是，则先将门学科分成三组共种不同方式.再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种，若是，则先将门学科分成三组共种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种，若是，则先将门学科分成三组共种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种所以每位同学的不同选修方式有种，故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分.9.特值法就是选取一个恰当的特殊值代替一般的情况，将复杂或抽象的问题简单化具体化的方法，例如：若是定义域为R的奇函数，且是偶函数，，则可以选择，由此计算出结果．已知函数是定义域为R的偶函数，且，是奇函数，则（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根据题中时偶函数的性质及是奇函数的性质，可先判断出周期，再结合 列举出一个具体的实例，即可得出答案的结果.【详解】由函数是定义域为R的偶函数，且，是奇函数，可以选择，则，故A正确，，故B错误，，故C正确，，故D正确，故选：ACD.10.双曲线的离心率为，双曲线的离心率为，则的值不可能是（）A.B.C.D.【答案】CD【解析】【分析】根据双曲线的离心率表示，利用基本不等式即可得出范围，求得所求范围.【详解】，当且仅当即时取等号，所以. 故选：CD.11.若，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】将不等式变形后得到，构造函数，根据函数的单调性得到，从而AD可举出反例，C可根据函数单调性得到.【详解】由变形得到，令，显然在R上为增函数，所以，显然B正确；A选项，若或时，A不满足要求，舍去；C选项，，故，C正确；D选项，不妨设，则，即，D错误.故选：BC12.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的30%，30%，40%，则下列选项正确的有（）A.任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06B.任取一个零件是次品的概率为0.053C.如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为D.如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为【答案】BCD【解析】【分析】记事件：车床加工的零件为次品，记事件：第台车床加工的零件，则，，，，，再依次求选项中的概率即可．【详解】记事件：车床加工零件为次品，记事件：第台车床加工的零件， 则，，，，，对于选项，任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为，故错误；对于选项，任取一个零件是次品的概率为，故正确；对于选项，如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为，故正确；对于选项，如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为，故正确；故选：．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.___________.【答案】【解析】【分析】根据组合数的定义及性质即可求解.【详解】解：由题意，，解得，又，所以，所以，故答案为：.14.已知，若，则______．【答案】【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式即可求解.【详解】.故答案为：.15.为了学习宣传党的二十大精神，某校学生理论宣讲团赴社区宣讲，已知有4名男生，6名女生，从10 人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为__．【答案】##0.5【解析】【分析】根据古典概型求解即可．【详解】从10人中任选3人的事件个数为，恰有1名男生2名女生的事件个数为，则恰有1名男生2名女生概率为，故答案为：16.埃及金字塔是地球上的古文明之一，随着科技的进步，有人幻想将其中一座金字塔整体搬运到月球上去，为了便于运输，某人设计的方案是将它放入一个金属球壳中，已知某座金字塔是棱长均为的正四棱锥，那么设计的金属球壳的表面积最小值为_____________．（注：球壳厚度不计）.【答案】【解析】【分析】由已知分析需求正四棱锥的外接球的半径，根据正四棱锥的性质和外接球的性质，构造直角三角形，利用勾股定理，求得外接球的半径，从而求出金属球壳的表面积的最小值.【详解】由题意，要使金属球壳的表面积最小，则金属球是正四棱锥的外接球.如图所示，在正四棱锥中，，，为其外接球的球心，连接与相交点于，连接，为顶点在底面上的投影，即为正方形的中心，设球的半径为，表面积为，则在正方形中，，在中，，则，在中，，，，因为，所以， 化简得，则，所以外接球的表面积为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知的内角A、B，C所对的边分别为a、b、c，且．（Ⅰ）求角A的值．（Ⅱ）若的面积为，且，求a的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（I）由三角形内角和为去掉,二倍角公式化简可得,从而求出；（Ⅱ）代入三角形面积公式可得，结合条件解出，，余弦定理求.【详解】解：（I）由，得，即，∵，∴，又，∴，故．（Ⅱ）由面积，得，又，∴，，由余弦定理，∴．18.从A，B，C等8人中选出5人排成一排. （1）A必须内，有多少种排法？（2）A，B，C三人不全在内，有多少种排法？（3）A，B，C都在内，且A，B必须相邻，C与A，B都不相邻，都多少种排法？（4）A不允许站排头和排尾，B不允许站在中间（第三位），有多少种排法？【答案】（1）4200（2）5520（3）240（4）4440【解析】【分析】（1）先选后排，然后根据分步乘法原理计算即可；（2）正难则反，从反面出发，用全部的排法减去A，B，C三人全在内的排法即可；（3）相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法，分步计算即可；（4）对所选的5人有无A，B进行分类讨论即可.【小问1详解】由题意，先从余下的7人中选4人共有种不同结果，再将这4人与A进行全排列有种不同的排法，故由乘法原理可知共有种不同排法；【小问2详解】从8人中任选5人排列共有种不同排法，A，B，C三人全在内有种不同排法，由间接法可得A，B，C三人不全在内共有种不同排法；【小问3详解】因A，B，C都在内，所以只需从余下5人中选2人有种不同结果，A，B必须相邻，有种不同排法，由于C与A，B都不相邻，先将选出的2人进行全排列共有种不同排法，再将A、B这个整体与C插入到选出的2人所产生的3个空位中有种不同排法，由乘法原理可得共有种不同排法；【小问4详解】分四类：第一类：所选的5人无A、B，共有种排法；第二类：所选的5人有A、无B，共有种排法；第三类：所选的5人无A、有B，共有种排法； 第四类：所选的5人有A、B，若A排中间时，有种排法，若A不排中间时，有种排法，共有种排法；综上，共有4440种不同排法.19.如图，正三棱柱中，分别是棱上的点，.（1）证明：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求解两个平面的法向量，利用法向量证明面面垂直；（2）求出两个平面的法向量，利用法向量的夹角求出二面角的余弦值.【小问1详解】证明：取的中点,连接，在正三棱柱中，不妨设;以为原点，分别为轴和轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则,，；设平面的一个法向量为，则,，取，则，即； 设平面的一个法向量为，则,即，取得.因为，所以平面平面；【小问2详解】因，由（1）可得，即，易知平面的一个法向量为,；二面角的余弦值为.20.设函数.（1）若不等式的解集为，求a，b的值；（2）若，求不等式的解集.【答案】（1），（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由不等式的解转换为方程的解，利用韦达定理求解；（2）时，不等式可化为，讨论，分别求出不等式的解集.【小问1详解】函数，由不等式的解集为，得， 且1和2是方程的两根；则，解得，【小问2详解】时，不等式为，可化为，则当时，不等式为，解得当时，不等式化为，令，得，当时，，解不等式得或；当时，不等式为，解得；当时，，解不等式得或；当时，不等式化为，且，解不等式得综上知：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.21.某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响.该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型:①，② ，其中均为常数，为自然对数的底数．现该公司收集了近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据，，并对这些数据作了初步处理，得到了右侧的散点图及一些统计量的值．令，经计算得如下数据：（1）设和的相关系数为，和的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；（2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程（系数精确到0.01）；（ii）若下一年销售额需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量是多少亿元？附：①相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；②参考数据：，，．【答案】（1）模型的拟合程度更好；（2）（i）；（ii）亿元. 【解析】【分析】（1）由相关系数求出两个系数，比较大小可得；（2）（i）先建立关于的线性回归方程，从而得出关于的回归方程；（ii）把代入（i）中的回归方程可得值．【详解】本小题主要考查回归分析等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、抽象概括能力及应用意识,考查统计与概率思想、分类与整合思想,考查数学抽象、数学运算、数学建模、数据分析等核心素养,体现基础性、综合性与应用性．解：（1），，则，因此从相关系数的角度，模型的拟合程度更好（2）（i）先建立关于的线性回归方程.由，得，即．由于，所以关于的线性回归方程为，所以，则（ii）下一年销售额需达到90亿元，即，代入得，，又，所以，所以，所以预测下一年的研发资金投入量约是亿元【点睛】本小题主要考查抛物线的定义、抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系、导数几何意义等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想 等，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性与应用性22.某中学对学生钻研理工课程的情况进行调查，将每周独立钻研理工课程超过6小时的学生称为“理工迷”，否则称为“非理工迷”，从调查结果中随机抽取100人进行分析，得到数据如表所示：理工迷非理工迷总计男243660女122840总计3664100（1）根据的独立性检验，能否认为“理工迷”与性别有关联？（2）在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生是非理工迷”，表示“选到的学生是男生”请利用样本数据，估计的值.（3）现从“理工迷”的样本中，按分层抽样的方法选出6人组成一个小组，从抽取的6人里再随机抽取3人参加理工科知识竞赛，求这3人中，男生人数的概率分布列及数学期望.参考数据与公式：0.0500.0100.0013.841663510.828，其中.【答案】（1）认为理工迷与性别无关（2）（3）分布列见解析，数学期望为2【解析】【分析】（1）计算出卡方，即可判断；（2）根据条件概率公式计算可得；（3）首先利用分层抽样求出男生、女生抽取的人数，则的所有可能取值为，，，求出所对应的概 率，从而得到分布列与数学期望.【小问1详解】提出假设：“理工迷”与性别无关.则，而，根据的独立性检验，可以推断成立，所以认为理工迷与性别无关.【小问2详解】因为，所以估计的值为.【小问3详解】按照分层抽样，男生抽取人，女生抽取人，随机变量的所有可能取值为，，，所以，，，所以的分布列为：123则.