安徽省安庆市第九中学2022-2023学年高二数学下学期期中试卷（Word版附解析）

2023年度安庆九中高二下期中数学试卷一､单选题（本大题共8小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.设是等比数列，且，，则（）A.12B.24C.30D.32【答案】D【解析】【分析】根据已知条件求得的值，再由可求得结果.【详解】设等比数列的公比为，则，，因此，.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．2.已知等差数列前n项和为，若，，则公差为（）A.-3B.-1C.1D.3【答案】B【解析】【分析】由前n项和及等差中项的性质可得求得，进而求公差即可.【详解】由，则，∴公差.故选：B.3.设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据导函数的图象得出函数的单调区间，根据函数的单调性即可判断.【详解】由导函数的图象可得当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.只有C选项的图象符合.故选：C.4.已知函数，则（）A.B.2C.D.3【答案】D【解析】【分析】先求，将代入，求出，进而求出，即可得出结论【详解】由，求导可得，则，则函数的解析式为，所以，，则，故选：D. 【点睛】本题考查了导函数的求法，求出是解题的关键，属于基础题.5.某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派1名教师，则不同的分配方法有（　　）A.80种B.90种C.120种D.150种【答案】D【解析】【分析】对5个人先进行两种情况的分组，再进行全排列，即可得答案.【详解】先对5个人先进行两种情况的分组，一是分为1，1，3，有种，二是分为1，2，2，共有种，再分配，可得不同的分配方法有种.故选：D.6.由1，2，3，4，5五个数字可以组成多少个无重复且数字1和2相邻的五位数（）A.24B.48C.12D.120【答案】B【解析】【分析】先计算数字1和2相邻的不同排法，再将数字1和2视为一个整体和其它数字排列计算即可．【详解】数字1和2相邻有种不同排法，再将数字1和2视为一个整体，共有种不同的排法，故选：B7.已知，，，则，，的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据已知，通过构造函数，利用导数研究函数的单调性，再利用单调性比较函数值的大小. 【详解】因为，，，所以构造函数，因为，由有：，由有：，所以在上单调递减，因为，，,因为，所以，故A，B，D错误.故选：C.8.从装有个球（其中个白球，1个黑球）的口袋中取出个球，共有种取法．在这种取法中，可以分成两类：一类是取出的个球全部为白球，一类是取出个白球和1个黑球，共有，即有等式成立．若，根据上述思想化简下列式子的结果为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据分析可知，从装有个白球，个黑球的袋子里，取出个球的所有情况取法总数的和，即可得到答案．【详解】表示：从装有个白球，个黑球的袋子里，取出个球的所有情况取法总数的和，故答案应为：从装有个球的袋中取出个球的不同取法数.故选：C．二､多选题（本大题共4小题，共20.0分．在每小题有多项符合题目要求）9.设等差数列的前项和为，且，，则下列结论正确的是（）A.B.C.D. 【答案】CD【解析】【分析】利用等差数列前n项和公式结合等差数列的性质计算判断作答.【详解】等差数列的前项和为，由得：，由得，，因此，等差数列的公差，即数列是递增等差数列，则有，，所以选项A，B都不正确；选项C，D都正确.故选：CD10.对于函数，下列说法正确的有（       ）A.B.在处切线方程为C.在单调递减D.【答案】BC【解析】【分析】求出导函数，对四个选项一一验证：对于A：直接求出，即可判断；对于B：直接求出在处切线方程为，即可判断；对于C：直接证明在单调递减，即可判断；对于D：由在单调递减，可得，即可判断.【详解】函数定义域为R，.对于A：.故A错误；对于B：因为，所以在处切线方程为.故B正确； 对于C：令，解得：，所以在单调递减.故C正确；对于D：由在单调递减，可得.故D错误.故选：BC11.下列各式中与排列数相等的是（　　）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】利用排列数公式，逐项计算判断作答.【详解】对于A，由排列数公式知，，A正确；对于B，，B错误；对于C，，C错误；对于D，，D正确.故选：AD12.现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（）A.所有可能的方法有种B.若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种C.若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种D.若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种【答案】BCD【解析】【分析】利用分步乘法计数原理判断AC选项的正确性，利用分类加法计数原理以及组合数计算判断B 选项的正确性，利用排列数计算判断D选项的正确性.【详解】所有可能的方法有种，A错误.对于B，分三种情况：第一种：若有1名同学去工厂甲，则去工厂甲的同学情况为，另外两名同学的安排方法有种，此种情况共有种，第二种：若有两名同学去工厂甲，则同学选派情况有，另外一名同学的排法有3种，此种情况共有种，第三种情况，若三名同学都去工甲，此种情况唯一，则共有种安排方法，B正确.对于C，若A必去甲工厂，则B，C两名同学各有4种安排，共有种安排，C正确.对于D，若三名同学所选工厂各不同，则共有种安排，D正确.故答案为：BCD三､填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线在点处的切线方程为______．【答案】【解析】【分析】根据导数的几何意义即可解出．【详解】因为，所以，故曲线在点处的切线方程为，即．故答案为：．14.在数列中，，，，则__________．【答案】46【解析】【分析】利用累加法求解即可.【详解】由，则有，所以当时，， 所以，故答案为：15.的展开式中的系数为________.（用数字填写答案）【答案】【解析】【详解】试题分析：由题意，展开式通项为，．当时，；当时，，故的展开式中项为，系数为．【考点定位】二项式定理．16.在无重复数字的五位数a1a2a3a4a5中，若a1＜a2，a2＞a3，a3＜a4，a4＞a5时称为波形数，如89674就是一个波形数，由1，2，3，4，5组成一个没有重复数字的五位数是波形数的概率是______．【答案】【解析】【分析】先求得基本事件总数为，再由五位上是波形数，得到，从而只能时，由此分类讨论，求得满足条件的五位数的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由组成一个没有重复数字的五位数，基本事件的总数为，因为五位数是波形数，所以，所以只能时，①若，则，与是1或2，这时共有个符合条件的五位数；②若，则是，这时共有个符合条件的五位数；③若，则或，此时分别与①②情况相同，综上可得，满足条件的五位数共有：个，所有由组成一个没有重复数字的五位数时波形数的概率是.故答案为：. 四､解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知等差数列的前项和为，，且．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，由，且，利用“”求解．（2）由（1）易得，从而，再利用裂项相消法求解.【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，且．所以，解得，所以数列的通项公式．（2），所以，所以． 【点睛】方法点睛：求数列的前n项和的方法（1）公式法：①等差数列的前n项和公式，②等比数列的前n项和公式；（2）分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．（4）倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．（5）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n项和用错位相减法求解.（6）并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．18已知函数．（1）若函数在处有极值，求的值；（2）在（1）的条件下，求在区间上的最值．【答案】（1）（2）最小值为10，最大值为18【解析】【分析】（1）先求定义域，再求导，根据在处有极值，得到和，解得或，分两种情况，验证得到，时满足要求；（2）在第一问基础上，得到函数的单调性和极值情况，结合端点值，得到函数的最值.【小问1详解】的定义域为R，，由题意得：，且，解得：或，当时，，故， 故当时，，当或时，，所以在处取得极小值，满足要求，当时，，故当或时，，故不是函数的极值点，舍去，综上，；【小问2详解】，，由（1）知：在区间上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，也是最小值，且，又，，，故的最小值为10，最大值为18.19.已知的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是．（Ⅰ）求展开式中各项二项式系数的和；（Ⅱ）求展开式中中间项．【答案】（Ⅰ）64；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）根据展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是求出的值，然后可求各项二项式系数的和；（Ⅱ）根据的值确定中间项，利用通项公式可求.【详解】解：由题意知，展开式的通项为：，且，则第五项的系数为，第三项的系数为，则有， 化简，得，解得，展开式中各项二项式系数的和；由（1）知，展开式共有7项，中间项为第4项，令，得．【点睛】本题主要考查二项展开式的系数及特定项求解，通项公式是求解这类问题的钥匙，侧重考查数学运算的核心素养.20.已知数列各项均为正数，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前100项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据方程可解出答案；（2），可算出答案.【详解】（1）由可得因为，所以（2）【点睛】本题考查的是分组求和法，较简单.21.为了某次的航天飞行，现准备从10名预备队员（其中男6人，女4人）中选4人参加航天任务．（1）若男甲和女乙同时被选中，共有多少种选法？（2）若至少两名男航天员参加此次航天任务，问共有几种选法？（3）若选中的四个航天员分配到三个实验室去，其中每个实验室至少一个航天员，共有多少种选派法？【答案】（1）28种；（2）185种；（3）7560种.【解析】【分析】（1）若男甲和女乙同时被选中，剩下的2人从8人中任选2人即可；（2）至少两名男航天员，可以分为2名，3名，4名三类，利用分类计数原理可得；（3）先选4名航天员，然后把这4名航天员可以分2，1，1一组，再分配到、、三个实验室去，问题得以解决． 【详解】解：（1）若男甲和女乙同时被选中，剩下的2人从8人中任选2人即可．即有种；（2）至少两名男航天员，可以分为2名，3名，4名三类，利用分类计数原理可得种；（3）先选4名航天员，然后把这4名航天员可以分一组，再分配到三个实验室去，共有种．22.已知函数，曲线在点处的切线的斜率为4.（1）求切线的方程；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义先求解的值，然后得到切点坐标，即可得到切线的方程；（2）化简不等式，分离常数，即，构造函数，利用导数求解函数的最大值即可.【小问1详解】解：函数的定义域为，，由题意知，，所以，故，所以，切点坐标为故切线的方程为．【小问2详解】解：由（1）知，，所以，可化为：，即在上恒成立， 令，则，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，所以当时，函数取得最大值，故当时，在上恒成立，