安徽省安庆市第一中学2022-2023学年高二数学下学期第二次段考试题（Word版附解析）

2024届高二第二学期第二次段考数学试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知随机变量服从正态分布，且，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，由正态分布密度曲线的对称性，代入计算，即可得到结果.【详解】随机变量服从正态分布，显然对称轴，所以由对称性知，故选：C．2.若直线与直线平行，则实数（）．A.2B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据直线平行的关系计算求解即可.【详解】解：两直线的斜率分别是，，由两直线平行可知，解得．故选：B．3.在等差数列中，，则的公差（）A.B.3C.D.4【答案】A【解析】【分析】由等差数列的性质可得答案.【详解】因为，所以，则. 故选：A.4.端午节这一天，馨馨的妈妈煮了9个粽子，其中4个白味、3个腊肉、2个豆沙，馨馨随机选取两个粽子，事件“取到的两个馅不同”，事件“取到的两个馅分别是白味和豆沙”，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据条件概率的意义，先求出事件A的所有可能，再求出事件B的所有可能，相除即可.【详解】根据题意，A事件的所有可能有：种；同时，B事件的所有可能有：种.故.故选：B.【点睛】本题考查条件概率，一般地，条件概率的计算，可以通过公式计算两次概率；也可以通过本题方式，在A事件的样本空间中计算B事件发生的概率.5.的值等于A.7351B.7355C.7513D.7315【答案】D【解析】【详解】原式等于，故选D.6.若随机变量X的分布律为，，且，，则（）A.1B.C.D.4【答案】C【解析】【分析】根据离散型随机变量的期望和方差公式计算即可．【详解】解：根据题意，，, 所以.故选：C．7.已知，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设，利用导数可得在上单调递减，从而有，即；令，利用导数可得在上单调递减，从而有，即，即可得答案.【详解】设，则有，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，即有，故；令，则，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，即，故，综上所述，则有.故选：B【点睛】方法点睛：对于比较大小的题目，常用的方法有：(1)作差法；(2)作商法；(3)利用函数的单调性进行比较.8.已知点P为双曲线C：（，）上位于第一象限内的一点，过点P向双曲线C的 一条渐近线l作垂线，垂足为A，为双曲线C的左焦点，若，则渐近线l的斜率为（　　）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设渐近线l的方程，由两直线垂直的条件可得直线的方程，联立两直线方程求得A的坐标，再由向量共线的坐标表示可得P的坐标，代入双曲线的方程，化简整理可得所求直线的斜率．【详解】解：设，渐近线l的方程为，①直线的方程为，②联立①②可得，，即有，由，可得，，解得，，即，由P在双曲线上，可得，化为，即，可得，所以直线l的斜率为．故选：D．二．多选题（共4小题）9.已知等差数列的前n项和为，若，则（）A.B.C.D. 【答案】ABC【解析】【分析】根据等差数列前项和公式和通项的性质，推出，结合选项可得答案.【详解】因为是等差数列，所以.根据题意，又，所以，从而，，故选项A，B正确；又，即，故选项C正确；对于选项D，，根据题意无法判断是否为零，故选项D错误.故选：ABC10.下列说法正确的有（）A.已知一组数据7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的中位数为8B.已知一组数据，，，…，的方差为2，则，，，…，的方差为2C.具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则D.若随机变量服从正态分布，，则【答案】BD【解析】【分析】对于A，根据中位数的定义作答；对于B，根据方差的计算公式作答；对于C，根据回归直线的性质作答；对于D，根据正态分布的对称性作答.【详解】5，6，7，7，8，8，8，9中位数为7.5，A错；，，…，方差为2，设，则，所以，则，即，，…，方差为2，B正确； 将代入得，则，C错；，为分布曲线的对称轴，则，由，则，因此，，D正确.故选：BD.11.函数的导函数的图象如图所示，给出下列命题，以下正确的命题（）A.是函数的极值点B.是函数的最小值点C.在区间上单调递增D.在处切线的斜率小于零【答案】AC【解析】【分析】根据导函数的图象判断出的单调性、极值点、最值点、切线的斜率，由此判断出命题错误的选项.【详解】根据导函数图象可知当x∈（﹣∞,﹣3）时，，在时，，∴函数y＝f（x）在（﹣∞,﹣3）上单调递减，在上单调递增，故C正确；则﹣3是函数y＝f（x）的极小值点，故A正确；∵在上单调递增，∴﹣1不是函数y＝f（x）的最小值点，故B不正确；∵函数y＝f（x）在x＝0处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，故D不正确；故选：AC12.下列说法正确的是（）A.抛物线的准线方程是 B.若方程表示椭圆，则实数k的取值范围是C.双曲线与椭圆的焦点相同D.M是双曲线上一点，点是双曲线的焦点，若，则【答案】ACD【解析】【分析】由椭圆，双曲线，抛物线的方程与性质求解，【详解】对于A，抛物线的准线方程是，故A正确，对于B，当即时，方程表示圆，故B错误，对于C，双曲线即，与椭圆的焦点均为，故C正确，对于D，双曲线，顶点为，焦点为，，，而，则，故D正确，故选：ACD三．填空题（共4小题）13.设，则________________．【答案】17【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式求常数项和的系数即可.【详解】二项式展开式的通项为，当，即时，，当，即时，，所以，故答案为：1714.若两条直线与圆的四个交点能构成矩形，则 ____________.【答案】8【解析】【分析】由题意知圆心到两直线的距离相等，得到等量关系求解即可.【详解】由题意直线平行，且与圆的四个交点构成矩形，则可知圆心到两直线的距离相等，由圆的圆心为：，圆心到的距离为：，圆心到的距离为：，所以，由题意，所以，故答案为：8.15.为了学习宣传党的二十大精神，某校学生理论宣讲团赴社区宣讲，已知有4名男生，6名女生，从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为__．【答案】##0.5【解析】【分析】根据古典概型求解即可．【详解】从10人中任选3人的事件个数为，恰有1名男生2名女生的事件个数为， 则恰有1名男生2名女生的概率为，故答案为：16.已知函数有两个极值点与，若，则实数a＝____________.【答案】4【解析】【分析】由得，所以，根据解方程即可求出结果．【详解】因为函数有两个极值点与由，则有两根与所以，得因为，所以，又则，所以故答案为：四．解答题（共6小题）17.已知数列为等差数列，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若等比数列满足，，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）由得出数列的通项公式；（2）先由得出公比，再由求和公式计算即可.【小问1详解】因为，，所以，解得.即数列的通项公式为.【小问2详解】设公比为，因为，所以，所以数列的前项和为.18.口袋中共有7个质地和大小均相同的小球，其中4个是黑球，现采用不放回抽取方式每次从口袋中随机抽取一个小球，直到将4个黑球全部取出时停止.（1）记总的抽取次数为X，求E（X）；（2）现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个口袋中，甲袋装3个小球，其中2个是黑球；乙袋装4个小球，其中2个是黑球.采用不放回抽取方式先从甲袋每次随机抽取一个小球，当甲袋的2个黑球被全部取出后再用同样方式在乙袋中进行抽取，直到将乙袋的2个黑球也全部取出后停止.记这种方案的总抽取次数为Y，求E（Y）并从实际意义解释E（Y）与（1）中的E（X）的大小关系.【答案】（1）（2）6，答案见解析【解析】【分析】（1）确定X可能取值为4，5，6，7，分别求出概率后，由期望公式计算出期望；（2）Y可能取值为4，5，6，7，设甲袋和乙袋抽取次数分别为和，利用独立事件概率公式求得的概率，再由期望公式计算出期望，根据白球对取到黒球的影响说明期望的大小关系．【小问1详解】X可能取值4，5，6，7， ，；【小问2详解】Y可能取值为4，5，6，7，设甲袋和乙袋抽取次数分别为和，，，，，.在将球分装时，甲袋中的黑球取完后直接取乙袋，若此时甲袋中还有其它球，则该球的干扰作用已经消失，所以同样是要取出4个黑球，调整后的方案总抽取次数的期望更低.19.国家发改委和住建部等六部门发布通知，提到：2025年，农村生活垃圾无害化处理水平将明显提升.现阶段我国生活垃圾有填埋､焚烧､堆肥等三种处理方式，随着我国生态文明建设的不断深入，焚烧处理已逐渐成为主要方式.根据国家统计局公布的数据，对2013-2020年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数y（单位：座）进行统计，得到如下表格：年份20132014201520162017201820192020年份代码12345678垃圾焚烧无害化处理厂的个数y166188220249286331389463（1）根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量与变量之间的线性相关关系，请用相关系数加以说明（精确到0.01）； （2）求出关于的经验回归方程，并预测2022年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数；（3）对于2035年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数，还能用（2）所求的经验回归方程预测吗？请简要说明理由.参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为参考数据：，【答案】（1）答案见解析（2），513（3）答案见解析【解析】【分析】（1）根据相关系数公式，即可代入求值，根据相关系数的大小即可作出判断，（2）利用最小二乘法即可计算求解，（3）根据相关关系不是确定的函数关系，而受多因素影响，即可求解.【小问1详解】相关系数 因为与的相关系数，接近1，所以与的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合与的关系.【小问2详解】所以与的线性回归方程为又2022年对应的年份代码，当时，，所以预测2022年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数为513.【小问3详解】对于2035年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂个数，不能由（2）所求的线性回归方程预测，理由如下（说出一点即可）：①线性回归方程具有时效性，不能预测较远情况；②全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数有可能达到上限，一段时间内不再新建；③受国家政策的影响，可能产生新的生活垃圾无害化处理方式.20.设，其中是关于的多项式，．（1）求a，b的值；（2）若，求除以的余数．【答案】（1），（2）28【解析】【分析】（1）把已知等式变形，利用系数相等求解a与b的值；（2）由已知求得，则，展开二项式，即可求得除以81的余数．【小问1详解】 解：（1）由已知等式，得，因为，所以所以，所以，，【小问2详解】解：∵，∴结合（1）得，解得．∴．∴除以的余数为．【点评】本题考查二项式定理及其应用，考查运算求解能力，是中档题．21.已知椭圆．（1）若，求椭圆的离心率；（2）设为椭圆的左右顶点，若椭圆上一点E的纵坐标为1，且，求m的值；（3）若P为椭圆上一点，过点P作一条斜率为的直线与双曲线仅有一个公共点，求m的取值范围．【答案】（1）（2）（3） 【解析】【分析】（1）由椭圆的离心率定义即可得出答案；（2）设，求出E点的坐标，表示出，由数量积的定义求出，即可求出m的值；（3）设该直线为，直线与双曲线仅有一个公共点，讨论直线与双曲线的渐近线平行和直线与双曲线的渐近线不平行结合P为椭圆上一点即可得出答案.【小问1详解】当时，椭圆，焦点在上，则，则.【小问2详解】因为为椭圆的左右顶点，所以，令中，则，若，，，解得：.若，，，解得：.【小问3详解】若P为椭圆上一点，过点P作一条斜率为的直线， 设该直线为，直线与双曲线仅有一个公共点，①直线与双曲线渐近线平行时，则双曲线的渐近线为：，所以.因为P为椭圆上一点，所以，所以不满足题意.②直线与双曲线的渐近线不平行时，，则，则，解得：，解得：，因为，所以.又因为P为椭圆上一点，所以，则，则，解得：，所以，所以，综上所述：.则m的取值范围为：22.设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图像．若过点恰能作曲线的条切线（），则称是函数的“度点”．（1）判断点与点是否为函数的1度点，不需要说明理由；（2）已知，．证明：点是的0度点；（3）求函数的全体2度点构成的集合．【答案】（1）原点是函数的一个1度点，点不是函数的一个1度点 （2）证明见解析（3）或【解析】【分析】（1）求出曲线在点处的切线方程，该切线过点时，列出方程，求出一个根，满足要求，该切线过点，构造函数，解超越方程，无解，不合要求；（2）求出在点处的切线方程，转化为无解，构造，求导得到其单调性，证明出无解，故证毕；（3）求出切线方程，得到的一个2度点当且仅当关于的方程恰有两个不同的实数解，设，分，与三种情况，进行求解.【小问1详解】设，则曲线在点处的切线方程为．则该切线过点当且仅当，即．故原点是函数的一个1度点，该切线过点，故，令，则，令得，令得，故在上单调递增，在上单调递减，在处取得极小值，也时最小值，且，故无解，点不是函数的一个1度点【小问2详解】设，，则曲线在点处的切线方程为．则该切线过点当且仅当（*）．设，则当时，，故在区间上严格增．因此当时，，（*）恒不成立，即点是的一个0度点．【小问3详解】， 对任意，曲线在点处的切线方程为．故点为函数的一个2度点当且仅当关于的方程恰有两个不同的实数解．设．则点为函数的一个2度点当且仅当两个不同的零点．若，则在上严格增，只有一个实数解，不合要求．若，因为，解得有两个驻点．由或时得严格增；而当时，得严格减．故在时取得极大值，在时取得极小值．又因为，，所以当时，由零点存在定理，在、、上各有一个零点，不合要求；当时，仅上有一个零点，不合要求；当时，仅上有一个零点，也不合要求．故两个不同的零点当且仅当或．若，同理可得两个不同的零点当且仅当或．综上，的全体2度点构成的集合为或．【点睛】函数新定义问题方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.