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浙江省宁波市奉化区2022-2023学年高一数学下学期期末考试试题(Word版附解析)
浙江省宁波市奉化区2022-2023学年高一数学下学期期末考试试题(Word版附解析)
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奉化区2022学年第二学期期末试题高一数学试卷第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1已知向量,,则()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件,利用向量线性运算的坐标表示求解作答.【详解】因为向量,,则故选:C2.复数是纯虚数的充分不必要条件是()A.且B.C.且D.【答案】C【解析】【分析】运用纯虚数的定义,结合充分条件,、与必要条件的定义即可求得结果.【详解】因为复数是纯虚数的充要条件是且,又因为且是且的充分不必要条件,所以且是复数为纯虚数的充分不必要条件.故选:C.3.水平放置的有一边在水平线上,它的斜二测直观图是边长为2的正,则的面积是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据直观图和原图面积比的关系,即得解 【详解】由题意,.且故故选:C4.某市场供应的电子产品中,甲厂产品的合格率是90%,乙厂产品的合格率是80%.若从该市场供应的电子产品中任意购买甲、乙厂各一件电子产品,则这两件产品都不是合格品的概率为()A.2%B.30%C.72%D.26%【答案】A【解析】【分析】根据给定条件,利用相互独立事件、对立事件的概率公式计算作答.【详解】依题意,甲厂产品的不合格率是10%,乙厂产品的不合格率是20%,任意购买甲、乙厂各一件电子产品,这两件产品都不是合格品的概率为.故选:A5.设m,n是不同的直线,是不同的平面,则下列命题正确的是()A.,则B.,则C.,则D.,则【答案】D【解析】【分析】举例说明判断ABC;利用线面垂直的性质判断D作答.【详解】对于A,在长方体中,平面为平面,分别为直线,显然满足,而,此时不成立,A错误;对于B,在长方体中,平面,平面分别为平面,为直线, 显然满足,而,此时不成立,B错误;对于C,在长方体中,平面,平面分别为平面,为直线,显然满足,而,此时不成立,C错误;对于D,因为,由线面垂直的性质知,,D正确.故选:D6.若数据、、、的平均数是,方差是,数据、、、的平均数是,标准差是,则下列结论正确的是()A.,B.,C.,D.,【答案】A【解析】【分析】设数据、、、的平均数为,标准差为,利用方差公式和平均数公式可求得结果.【详解】设数据、、、的平均数为,标准差为,则,可得,,可得,由方差公式可得,,解得.故选:A.7.在锐角中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足.若恒成立,则实数的取值范围为() A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由正弦定理边化角结合两角和差的正弦公式可得,推出,则,结合锐角三角形确定B的范围,继而将不等式恒成立转化为恒成立,结合对勾函数的单调性,即可求得答案.【详解】由可得,结合,可得,即,由于在锐角中,,故,则,则,又,所以恒成立,即恒成立,即恒成立,因为,故,令,则函数在内单调递增,故,即,故,故选:C【点睛】方法点睛:(1)三角等式含有边角关系式时,一般利用正弦定理转化为角或边之间的关系进行化简;(2)不等式恒成立问题一般转化为函数单调性或最值问题解决;(3)一般要注意利用基本不等式或者函数单调性比如对勾函数的单调性,求解函数最值或范围. 8.均为单位向量,且它们的夹角为45°,设,满足,则的最小值为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】建立直角坐标系,求得向量,的终点轨迹方程是圆和直线,利用圆心到直线距离减去半径得到最小值得解【详解】设,以的方向为正方向,所在直线为轴,垂直于所在直线为轴,建立平面直角坐标系均为单位向量,且它们的夹角为45°,则,,设满足,设,故,则,则的最小值为圆上的点到直线距离的最小值其最小值为故选:C.【点睛】向量模长最值问题转化为点到直线距离是解题关键,属于中档题. 二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.9.若复数,则下列说法正确的是()A.在复平面内对应的点位于第四象限B.C.D.的共轭复数【答案】AD【解析】【分析】根据复数的几何意义、复数模的公式、复数的四则运算及共轭复数的定义求解即可.【详解】由,在复平面内对应的点为,位于第四象限,故A正确;,故B错误;,故C错误;的共轭复数,故D正确.故选:AD.10.PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一.划分等级为:PM2.5日均值在以下,空气质量为一级:PM2.5日均值在,空气质量为二级:PM2.5日均值超过为超标.如图是某地12月1日至10日PM2.5的日均值(单位:)变化的折线图,关于PM2.5日均值说法正确的是()A.这10天的日均值的80%分位数为60B.前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差C.这10天的日均值的中位数为41 D.前5天的日均值的方差小于后5天的日均值的方差【答案】BD【解析】【分析】根据百分位数、极差、中位数、方差等知识确定正确答案.【详解】个数据为:,,故80%分位数为,A选项错误.5天的日均值的极差为,后5天的日均值的极差为,B选项正确.中位数是,C选项错误.根据折线图可知,前天数据波动性小于后天数据波动性,所以D选项正确.故选:BD11.记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,,,则()A.为钝角三角形B.为最大的内角C.D.【答案】BC【解析】【分析】对A,根据同角三角函数和两角和与差的余弦公式即可判断;对B和C,利用正弦定理即可判断;对D,利用反证法即可.【详解】对A,由,得A,C均为锐角,则,,因为,所以B为锐角,为锐角三角形,A错误.由,得,,根据正弦定理得,则, 所以C为最大的内角,故B正确;对C,根据正弦定理有,故C正确;对D,若,,则,,不符合题意,故D错误.故选:BC.12.如图,在多面体中,,,两两垂直,四面体是正四面体,,分别为,的中点,则下列结论正确的是()A.B.C.平面D.【答案】ABD【解析】【分析】利用勾股定理判断A,将多面体补形成如图所示的正方体,利用正方体的性质判断B,C,连接,即可证明平面,从而判断D.【详解】对于A:由,,两两垂直,四面体是正四面体,可得,所以,所以A正确.将多面体补形成如图所示的正方体,对于B:因为,分别为,的中点,所以由正方体的性质可得,故B正确.对于C:易知,平面,所以与平面不平行,故C错误.对于D:连接,易知,,因为,平面,所以平面,又平面,所以,故D正确. 故选:ABD第Ⅱ卷(非选择题共90分)三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.现有三张卡片,分别写有“1”、“2”、“3”这三个数字.将这三张卡片随机排序组成一个三位数,则该三位数是奇数的概率是__________.【答案】【解析】【分析】计算出三位数个数和其中奇数个数,根据古典概型概率公式求得结果.【详解】解:三张卡片随机排序组成一个三位数,共有:个,其中奇数有:个,该三位数是奇数的概率:故答案为:.14.如图,在三棱锥中,,,过点A作截面,分别交侧棱PB,PC于E,F两点,则△AEF周长的最小值为______.【答案】【解析】【分析】沿着侧棱把三棱锥展开在一个平面内,如图,则即为周长的最小值,在中,由余弦定理能求出的值.【详解】如图,沿着侧棱把三棱锥展开在一个平面内,如图所示:则即为的周长的最小值, 在中,,,由余弦定理得:.故答案为:.15.体积为的三棱锥的顶点都在球的球面上,平面,,,,则球的表面积为________.【答案】【解析】【分析】先求出底面三角形的面积,求出的长度后利用余弦定理可求的长,从而可求底面外接圆的半径,再根据公式可求外接球的半径,从而可求外接球的表面积.【详解】设底面外接圆的半径为,圆心为,连接,则平面.又,故,所以,所以,故由余弦定理可得,故,所以,故,取中点为,连接,则,因为平面,故,而平面,故.在矩形中,外接圆,故球的表面积为,故答案为:. 【点睛】方法点睛:求三棱锥外接球的半径,关键是球心位置的确定,一般地,球心在过底面三角形的外心且垂直于底面的直线上,如果球心的位置不易确定,则可以补体来确定外接球半径满足的关系.16.德国机械学家莱洛设计的菜洛三角形在工业领域应用广泛.如图,分别以等边三角形的顶点为圆心,以边长为半径作圆弧,由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形.若该等边三角形的边长为,为弧上的一个动点,则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】以为原点建立平面直角坐标系,则为单位圆上一点,利用任意角的三角函数定义,设点的坐标,用向量的坐标运算求解即可.【详解】由已知,弧是以为圆心,为半径的圆的一部分,以为原点,所在直线为轴,过与直线垂直的直线为轴,建立平面直角坐标系,则由已知,,, 由任意角的三角函数的定义,设,,则,,,∴,∴令,,则,当时,,,,∴存,使,即,∴当时,的最小值为.故答案为:.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数.(1)若复数为纯虚数,求实数的值;(2)若复数在复平面内对应的点在第四象限,求实数的取值范围.【答案】(1)(2) 【解析】【分析】(1)直接根据实部为零,虚部不为零列式计算即可;(2)直接根据实部大于零,虚部小于零列不等式计算即可;【小问1详解】,且复数为纯虚数,,解得;【小问2详解】复数在复平面内对应的点在第四象限,,解得.18.在中,角所对的边分别,且(1)求角A的值;(2)已知在边上,且,求的面积的最大值【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由正弦定理边角互化结合和差角关系可得,即可得,进而可求,(2)根据向量的线性表示以及模长公式可得,结合不等式即可求解最值成立的条件,由面积公式即可求解.【小问1详解】在中因为.由正弦定理得,所以, 因为,所以.故又是的内角,所以.从而.而A为的内角,所以;【小问2详解】因为所以,所以,从而,由基本不等式可得:,当且仅当时等号成立,故的面积的最大值为.19.如图,在四棱锥中,平面,四边形为正方形,,G为中点.(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成角.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)利用线面垂直判定及性质定理证明即可;(2)利用线面角的定义,作出线面角,然后在直角三角形中求解即可.【小问1详解】因为四边形为正方形,故CD⊥AD,因为平面,平面,所以,又平面,故平面, 平面,故CD⊥AG,由知,G为中点,故,又平面,所以平面;【小问2详解】连接,由(1)可知是在平面内的射影,所以是与平面所成的角.因为平面,所以.在中,,,则,所以,所以,即直线与平面所成角为.20.根据空气质量指数(AQI,为整数)的不同,可将空气质量分级如下表:AQI级别一级二级三级四级五级(A)五级(B)现对某城市30天的空气质量进行监测,获得30个AQI数据(每个数据均不同),统计绘得频率分布直方图如图所示. (1)请由频率分布直方图来估计这30天AQI的平均数;(2)若从获得的“一级”和“五级(B)”的数据中随机选取2个数据进行复查,求“一级”和“五级(B)”数据恰均被选中的概率;(3)假如企业每天由空气污染造成的经济损失S(单位:元)与AQI(记为)的关系式为.若将频率视为概率,在本年内随机抽取一天,试估计这天的经济损失S不超过600元的概率.【答案】(1)150;(2);(3)【解析】【分析】(1)根据给定条件,利用频率分布直方图求平均数的方法直接列式计算作答;(2)对一级和五级(B)的5个数据编号,利用列举法结合古典概率计算作答;(3)求出经济损失S不超过600元对应值出现的天数即可求解作答.【小问1详解】依题意,该城市这30天AQI的平均数为:.【小问2详解】 一级有2个数据,记为P、Q,五级(B)有3个数据,记为C、D、E,从中选取两个有PQ、PC、PD、PE、QC、QD、QE、CD、CE、DE,共10种可能,一级和五级(B)数据恰均被选中有PC、PD、PE、QC、QD、QE,共6种可能.记“一级和五级(B)数据恰均被选中”为事件M,则.【小问3详解】设“在本月30天中随机抽取一天,该天经济损失不超出600元”为事件N,分两种情况:当时,,此时概率为;当时,由,得,此时概率为.综上,由互斥事件的概率公式可得.所以估计这天的经济损失S不超过600元的概率为.21.如图,为测量鼓浪屿郑成功雕像的高度及取景点与之间的距离(、、、在同一水平面上,雕像垂直该水平面于点,且、、三点共线),某校研究性学习小组同学在、、三点处测得顶点的仰角分别为、、,若,米.(1)求雕像的高度;(2)求取景点与之间的距离.【答案】(1)雕像高度为16米;(2)观景点与之间的距离为32米.【解析】【分析】(1)设,在中,由正弦定理得求建筑物的高度;(2)在中,求出,在中,求出,在中,设,由余弦定 理得:,即可求取景点与之间的距离.【详解】解(1)设,在中,∵,∴∴在中,∴∴答:雕像高度为16米(2)在中,∵,∴在中,∵,∴,∴在中,设,∵∴由余弦定理∴,∴,∴,(负数舍去)答:观景点与之间的距离为32米.22.如图,直四棱柱的底面是菱形,是的中点,为线段上一点,,,.(1)证明:当时,∥平面;(2)若,求二面角的余弦值【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】【分析】(1)由已知条件可证得四边形为平行四边形,则∥,再由线面平行的判定定理可证得结论;(2)作FMAD于点M,作交于点,连接,则可证得为所求二面角的平面角,记为,然后在中求解即可.【小问1详解】证明:在矩形中,是的中点,所以∥,,又因为为中点,所以∥,,所以∥,,所以四边形为平行四边形,所以∥,又因为平面,平面,所以∥平面,【小问2详解】过作于点,过作交于点,连接,因为平面平面,平面平面,平面,所以平面,因为平面,所以,因为,,平面,所以平面,因为平面,所以所以为所求二面角的平面角,记为,直四棱柱中,,为的中点,所以,,同理可得, 在中,,所以,,又因为,所以∥,在菱形中,,所以为等边三角形,取AD中点H,则,,且所以所以,在中,,所以所以二面角的余弦值为
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高中 - 数学
发布时间:2023-07-25 08:42:01
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