安徽省合肥市庐江县2022-2023学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析）

庐江县2022-2023学年度第二学期期末教学质量抽测高一数学试题一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.为了扎实推进“五大行动”，学校为高一年级同学准备了形式多样的劳动课程.有种植白菜、种植蕃茄、果树整枝和害虫防治4种课程，小明要随机选报其中的2个，则该试验中样本点的个数为（）A.3B.5C.6D.9【答案】C【解析】【分析】根据样本点的定义求解.【详解】设4种课程编号为1,2,3,4，随机选报其中的2个，样本点有：，共6个，故选：C.2.已知为虚数单位，复数z满足，则的虚部为（）A－1B.－2C.1D.2【答案】A【解析】【分析】设，根据模长公式列出方程，求出，得到答案.【详解】设，则，解得：，故的虚部为-1.故选：A．3.不同的直线和，不同的平面，，，下列条件中能推出的是（）A.，，B.，C.，，D.，，【答案】C【解析】【分析】利用平面与平面的位置关系判断.【详解】由不同的直线和，不同的平面，，，知： 若，，，则与相交或平行，故不正确；若，，则与相交或平行，故B不正确；若，，，则由平面平行的判定定理知，故C正确；若，，，则与相交或平行，故D不正确.故选：C.4.某企业为响应国家新旧动能转换的号召，积极调整企业拥有的5种系列产品的结构比例，并坚持自主创新提升产业技术水平，2021年年总收入是2020年的2倍，为了更好的总结5种系列产品的年收入变化情况，统计了这两年5种系列产品的年收入构成比例，得到如下饼图：则下列结论错误的是（）A.2021年的甲系列产品收入和2020年保持不变B.2021年的丁系列产品收入是2020年丁系列产品收入的4倍C.2021年的丙和丁系列产品的收入之和比2020年的企业年总收入还多D.2021年的乙和丙系列产品的收入之和比2020年的乙和丙系列产品收入之和的2倍还少【答案】D【解析】【分析】设出2020年年总收入，根据给定的饼图，逐一分析各个选项，并判断作答.【详解】设2020年年总收入为W，则2021年年总收入为2W，观察饼图，对于A，2020年的甲系列产品收入为，2021年的甲系列产品收入为，A正确；对于B，2020年丁系列产品收入为，2021年的丁系列产品收入为，，B正确； 对于C，2021年的丙和丁系列产品的收入之和为，C正确；对于D，2020年的乙和丙系列产品收入之和为，2021年的乙和丙系列产品的收入之和为，显然，D不正确.故选：D5.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于20km，灯塔A在观察站C的北偏东，灯塔B在观察站C的南偏东，则灯塔A与灯塔B的距离为（）A.20kmB.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理求解.【详解】如图，依题意可知，,在中，由余弦定理可得，故选:C.6.已知圆锥顶点为，底面圆心为，以过的平面截该圆锥，所得截面为一个面积为4的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据该截面为等腰直角三角形以及截面面积得出圆锥底面半径和母线长，再由圆锥侧面积面积 公式求出侧面积.【详解】设该圆锥的底面半径为，母线长为由于该截面为等腰直角三角形，则，即由于该截面面积为，则，即则该圆锥的侧面积为故选：C【点睛】本题主要考查了圆锥母线与底面圆半径的关系以及圆锥的侧面积公式，属于中档题.7.在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图，四棱锥为阳马，侧棱底面，，E为棱PA的中点，则直线CE与平面PAD所成角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先证明平面，找出线面角，再解三角形即可求得结果.【详解】因为底面，平面，故可得，又平面,故可得平面.连接, 故即为所求直线CE与平面PAD所成角,不妨设,故在直角三角形中，,故可得,则则直线CE与平面PAD所成角的余弦值为，故选:B.8.在中，已知，那么一定是（）A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形【答案】B【解析】【分析】根据向量的数量积运算律求解.【详解】,所以或，（舍）， 所以一定是等腰三角形，故选:B.二、多项选择题：（每小题5分，共20分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，选对的得5分，错选或不选得0分，部分选对的得2分.）9.某次辩论赛有7位评委进行评分，首先7位评委各给出某选手一个原始分数，评定该选手成绩时从7个原始分数中去掉一个最高分、去掉一个最低分，得到5个有效评分．则这5个有效评分与7个原始评分相比，数字特征可能不同的是（）A.极差B.中位数C.平均数D.方差【答案】ACD【解析】【分析】利用平均数、中位数、平均数、方差的定义进行判断.【详解】因为5个有效评分7个原始评分中去掉一个最高分、去掉一个最低分，所以中位数不变，平均数、方差、极差可能发生变化.故B错误.故选：ACD.10.下列说法中错误的是（）A.三个点可以确定一个平面B.若直线a在平面外，则a与无公共点C.用平行于底面的平面截正棱锥所得的棱台是正棱台D.斜棱柱的侧面不可能是矩形【答案】ABD【解析】【分析】由三点共线判断A；由线面关系有a与可能相交或平行判断B；由正棱锥结构特征及正棱台的定义判断C；注意两条相邻侧棱同时垂直于底面上与它们相交的边情况判断D.【详解】A：三点共线时平面不止一个，错误；B：若直线a在平面外，则a与可能相交或平行，错误；C：用平行与底面的平面截正棱锥所得的棱台，必有上下底面均为正多边形且侧面是全等的等腰梯形，即为正棱台，正确；D：斜棱柱侧棱不垂直于底面，但可能存在两条相邻侧棱同时垂直于底面上与它们相交的边，此时这两条侧棱和上下底面的边所成侧面为矩形，错误.故选：ABD.11.下列命题为真命题的是（） A.复数的虚部为－1B.在复平面内，复数的共轭复数对应的点在第四象限C.若i为虚数单位，n为正整数，则D.复数z是方程的一个根，则【答案】ACD【解析】【分析】根据复数的概念以及乘方、除法运算和方程的复数根求解.【详解】对A，复数的虚部为－1，A正确；对B，在复平面内，复数的共轭复数为，对应的点是，在第二象限，B错误；对C，，所以，C正确；对D，方程的复数根为，所以，D正确；故选:ACD.12.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是（）A.B.若，则C.若，则为锐角三角形D.若，则为等腰三角形【答案】AC【解析】【分析】利用余弦定理可判断选项A，利用正弦定理和二倍角的正弦公式可判断选项B，利用边与角的关系可判断选项C，利用正弦定理和二倍角的正弦公式可判断选项D.【详解】对A，，A正确； 对B，因为，所以,所以，即，且，所以或，即或，所以或，故B错误；对C，由题可知，为中最大的数，因为，所以，（因为函数为减函数）所以，即，所以为锐角，且为最大的角，所以为锐角三角形，C正确；对D，因为，所以，即，且，所以或，即或，所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，故D错误；故选:AC.三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.一个封闭的正三棱柱容器的高为4，内装水若干（如图（1），底面处于水平状态）.图（1）中水面的高度3，现将容器放倒（如图（2），一个侧面处于水平状态），若此时水面与各棱的交点分别为E，F，，，则______. 【答案】##1【解析】【分析】根据三棱柱的体积公式求解.【详解】设正三棱柱的底面积为，梯形的面积为，则根据等体积可得,所以，所以，又因为，所以相似于，且,所以，故答案为:.14.已知向量，，则在上的投影向量坐标为___________.【答案】【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算与数量积定义，计算投影即可得到答案【详解】向量，，则在上的投影为又在轴上，故在上的投影向量坐标为.故答案为：15.欧拉公式（i为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”.根据此公式可 知，______，______.【答案】①.1②.【解析】【分析】根据复数的模的定义可求解答题空1，利用复数的加法运算可求解答题空2.【详解】因为，所以，因为，所以，所以，故答案为:1;.16.已知半径为5的球面上有P，A，B，C四点，满足，，，则球心O到平面ABC的距离为______，三棱锥体积的最大值为______.【答案】①.4②.【解析】【分析】求出截面所在截面圆半径，由球的性质可得球心到截面的距离，球面上点到截面的距离的最大值是球心到截面的距离加上球半径，由此可得三棱锥体积最大值．【详解】因为，，，所以截面所在截面圆直径为，，截面圆半径为，所以球心到截面的距离为．，三棱锥体积最大时，到平面的距离最大，又点到平面的距离的最大值是，所以最大体积为．故答案为：；． 四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，第18-22题每题12分，共70分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知向量，，，．（1）求；（2）若，求实数的值．（3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）（3）且【解析】【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示即可求出；（2）根据平面向量线性运算的坐标表示以及向量平行的坐标表示即可解出；（3）根据平面向量数量积的坐标表示即可解出．【小问1详解】因为，，，．【小问2详解】，， ，，解得．【小问3详解】与的夹角是钝角，，且，，且，解得且．18.以简单随机抽样的方式从某小区抽取户居民用户进行用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.（1）求直方图中的值；（2）估计该小区居民用电量的平均值和中位数；（3）从用电量落在区间内被抽到的用户中任取户，求至少有户落在区间内的概率.【答案】（1）（2）平均值为，中位数为（3）【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小长方形的面积之和为1即可求解；（2）根据频率分布直方图中平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和，而中位数左边和右边的直方图的面积相等即可求解；（3）利用频率分布直方图中频数、频率和样本容量的关系，结合古典概型的计算公式即可求解.【小问1详解】 由，得【小问2详解】平均值，∵用电量落在区间的频率之和为，∴中位数落在区，设中位数为，则，解得.【小问3详解】由题频率分布直方图可知，用电量落在区间的用户有户，记为，用电量落在区间用户有户，记为，记事件“至少有1户落在区间内”.∴从，中这6个元素中任取2个元素的样本空间，，，，，，，，，，，，，，，共有个样本点，，，，，，，，，，共有个样本点，∴，即至少有户落在区间内的概率为.19.已知定义在区间上的函数是增函数，，.（1）解不等式；（2）若对所有，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）利用函数的单调性求解；（2）由在上的最大值为，将不等式对所有，恒成立，转化为对所有恒成立求解.【小问1详解】解：因为定义在区间上的函数是增函数，且，，所以，解得或，所以原不等式的解集为.【小问2详解】因为函数在上是增函数，所以在上的最大值为，所以不等式对所有，恒成立，转化为对所有恒成立，即对所有恒成立.设，，所以需满足即，解得或或，所以实数的取值范围为.20.在四棱维P-ABCD中，点E为PA中点，BE⊥PD，PA=PB=PD，AB=AD=CD=2，∠DAB=60°. （1）求证：PD⊥AB；（2）求BE与平面ABCD所成角的正弦值；（3）若CD//AB，求四棱锥P-ABCD的体积.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）先利用线面垂直判定定理证明AB⊥面PFD，进而即可证明PD⊥AB；（2）先求得E点到底面ABCD的距离，进而求得BE与平面ABCD所成角的正弦值；（3）利用锥体体积公式即可求得四棱锥P-ABCD体积.【小问1详解】取AB中点F，连接FD，FP因为PA=PB，所以AB⊥PF，因为AB=AD，∠DAB=60°，所以AB=AD=BD，所以AB⊥FD又因为，所以AB⊥面PFD，又因为面PFD，所以AB⊥PD；【小问2详解】因为BE⊥PD，AB⊥PD，所以PD⊥面PAB，因为面PAB，面PAB，所以PD⊥PB，PD⊥PA，又AB=AD=BD=2，PD=PB=PA 所以PD=PB=PA=，，所以，设BE与平面ABCD所成角为θ，则；【小问3详解】21.在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．（1）若，求的面积；（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）存在，且.【解析】【分析】（1）由正弦定理可得出，结合已知条件求出的值，进一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形的面积公式可求得结果；（2）分析可知，角为钝角，由结合三角形三边关系可求得整数的值.【详解】（1）因为，则，则，故，，，所以，为锐角，则，因此，；（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，由余弦定理可得，解得，则，由三角形三边关系可得，可得，，故.22.如图，四边形是圆柱的轴截面，点为底面圆周上异于，的点. （1）求证：平面；（2）若圆柱的侧面积为，体积为，点为线段上靠近点的三等分点，是否存在一点使得直线与平面所成角的正弦值最大？若存在，求出相应的正弦值，并指出点的位置；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在；点为两个半圆弧中点；正弦值为1.【解析】【分析】（1）由题意，∠APB＝90°，即PB⊥PA，再由母线AD⊥底面圆O，得AD⊥PB，由直线与平面垂直的判定可得PB⊥平面PAD；（2）由已知求得圆柱底面半径为与母线长，在△PAD中，过A作AM⊥DP交DP于M，由（1）知PB⊥平面PAD，可得PB⊥AM，进一步得到AM⊥平面BDP．若M不与Q重合，∠AQM即为直线AQ与平面BDP所成角；若M与Q重合，且直线AQ与平面BDP所成角为90°，求得点P为两个半圆弧AB中点．由此可得当点P为两个半圆弧AB中点时，直线AQ与平面BDP所成角最大为90°，正弦值最大为1．【详解】解：（1）证明：因为是圆O的直径，点P是圆周上一点，所以，即，又在圆柱中，母线底面，底面，所以，又，平面，平面，所以平面，（2）设圆柱底面半径为，母线为，则，解得，在中，过作交于点.由（1）知平面，因为平面，所以，又，所以平面. 若与不重合，即为直线与平面所成的角.若与重合，直线与平面所成的角为，设，由对称性，不妨设，则在中，，在中，，.于是当且仅当，即，时，等号成立.此时，，直线与平面所成的角为，正弦值为1，点为两个半圆弧的中点.