浙江省杭州市六县九校联盟2022-2023学年高二数学下学期期中试题（Word版附解析）

2022-2023学年浙江省杭州市六县九校联盟高二（下）期中数学试卷第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合，若（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用交集的定义运算即得.【详解】因为，则.故选：B.2.过点且与直线平行的直线方程是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设所求直线方程为，将点的坐标代入所求直线方程，求出的值，即可得解.【详解】设过点且与直线平行的直线方程是，将点的坐标代入直线的方程得，解得，故所求直线方程为，即.故选：A.3.在等差数列中，若，则（）A.B.1C.0D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质结合特殊角的三角函数值作答. 【详解】在等差数列中，，解得，所以．故选：D4.平面向量与的夹角为，若，则（）A.B.C.4D.12【答案】B【解析】【分析】确定，计算，得到答案.【详解】，则，，故.故选：B5.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列条件可以推出的是（）A.，，B.，，C.，，D.，，【答案】D【解析】【分析】根据每个选项中的条件结合面面垂直的判定定理判断的位置关系，可得答案.【详解】对于A，，，，有可能出现平行这种情况，故A错误；对于，，，，不能保证m垂直于内两条相交直线，会出现平面，相交但不垂直的情况，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，，又由，则内一定存在某直线a，满足，则，故，故D正确，故选：D.6.已知是定义在R上的奇函数，当时则在R上的表达式是（）A.B. C.D.【答案】D【解析】【分析】利用奇函数性质求上的解析式，进而可得在R上的解析式.【详解】当时，，所以，则，结合已知解析式知：.故选：D7.设公差不为0的等差数列的前项和为，则有成等差数列.类比上述性质，若公比不为1的等比数列的前项积为，则有（）A.成等比数列B.成等比数列C.成等比数列D.成等比数列【答案】D【解析】【分析】根据题意求出，可得构成以为首项、为公比的等比数列.【详解】根据题意，，，同理可得，所以若公比不为1的等比数列的前项积为，则有构成以为首项、 为公比的等比数列.故选：D8.已知函数，对，当时，恒有，则实数a的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】构造函数，根据已知可知，在上单调递增，求导根据恒成立，可推得恒成立.令，根据导函数求出在上的最小值，即可得出答案.【详解】由已知可将不等式化为，构造函数，，则.由题意可知，在上单调递增，所以，在上恒成立，即在上恒成立，只需满足即可.令，则.由可得，.当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增.所以，在处取得唯一极小值，也是最小值，所以，.故选：A.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9.已知函数的图象经过点则（）A.的图象经过点B.的图象关于y轴对称C.在上单调递减D.在内的值域为【答案】CD【解析】【分析】根据函数解析式和图象经过的点求出，结合选项可得答案.【详解】将点的坐标代入，可得，则的图象不经过点，A错误；在上单调递减，C正确；根据反比例函数的图象与性质可得B错误，D正确．故选：CD.10.在不透明的甲、乙两个盒子中分别装有除标号外完全相同的小球，甲盒中有4个小球，标号分别为1，2，3，4，乙盒中有3个小球，标号分别为5，6，7．现从甲、乙两个盒里分别随机抽取一个小球，记事件“取到标号为2的小球”，事件“取到标号为6的小球”，事件“两个小球标号都是奇数”，事件“两个小球标号之和大于9”，则（）A.事件与事件相互独立B.事件与事件互斥C.D.【答案】ACD【解析】【分析】穷举出所有样本空间，根据题意和古典概型求取对应事件概率即可.【详解】从甲盒、乙盒里分别随机抽取一个小球的样本空间为：，，，，，，，，，，，，共12种．事件：，，，；事件：，，，， ，，，故A正确；事件和事件都有，事件与事件不互斥，故B不正确；事件：，，，，，故C正确；事件：，，，，，，故D正确．故选：A、C、D．11.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法.商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，，以此类推.设从上到下各层球数构成一个数列，则（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】根据题意分析可得：.对A、B：直接代入检验即可；对C：利用累加法可得，即可得结果；对D：利用裂项相消法运算求解.【详解】根据题意可知从第二层起，某一层的球数比上一层的球数多的数量刚好是其层数，即，即，对A：因为，所以，故A错误；对B：因为，所以，故B正确；对C：因为，，，且，所以上述各式相加得， 故；经检验：满足，所以，则，故C错误；对D：由选项C可知，则，故D正确.故选：BD12.已知函数，若，其中，则（）AB.C.D.的取值范围为【答案】BCD【解析】【分析】对求导，利用导数判断函数的单调区间，从而可得函数的大致图象．设，由图象可得知，，的取值范围，从而可判断A；又根据，对照系数可得的值，可得得取值范围，从而可判断C，D；结合A和C即可判断B．【详解】因为，所以，令，解得或，当时，或，所以单调递增区间为和；当时，，所以单调递减区间为，的图象如右图所示， 设，则，，故A错误；又，所以，即，对照系数得，故选项C正确；，故选项D正确；因为，所以，解得，故选项B正确．故选：BCD．【点睛】关键点点睛：先利用导数判断函数的单调区间，从而可得函数的大致图象，再利用数形结合求解是解答本题的关键．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知为虚数单位，复数，则___．【答案】【解析】【分析】根据复数模的公式，即可求得的值．【详解】复数，则．故答案为：．14.若直线与圆相切，则实数_________．【答案】或【解析】【分析】利用几何法列方程即可求解. 【详解】圆可化为.因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，解得：或7.故答案为：或15.在中，内角的对边分别为，且，则__________.【答案】##0.25【解析】【分析】根据正弦定理边角互化，结合余弦定理即可求解.【详解】由正弦定理边角关系得：，又，所以，由余弦定理得，故答案为：16.设椭圆的左、右焦点分别为、，P是椭圆C上一点，且直线与轴垂直，直线的斜率为，则椭圆的离心率为___________.【答案】##【解析】【分析】求出点的坐标，根据可得出关于、的齐次等式，可得出关于的二次方程，根据可求得的值.【详解】因为直线与轴垂直，将代入椭圆的方程可得，解得，因为直线的斜率为，易知点，因为点，所以，，所以，， 即，等式两边同时除以可得，因为，解得.故答案为：.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.为了加强对数学文化的学习，某校高二年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（满分100分），并对整个高二年级的学生进行了测试.现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩（单位：分），按照，，…，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假设每名学生的成绩均不低于50分）．（1）求频率分布直方图中的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数；（2）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中任意抽取2人参加这次考试的质量分析会，试求成绩在的学生恰有2人被抽到的概率．【答案】（1）0.02；74（2）．【解析】【分析】（1）利用频率之和为1即可求得值，利用平均数的计算公式即可得到抽取的50名学生成绩的平均数；（2）先利用分层抽样，求出后三组中所抽取的人数，然后由古典概型的概率公式即可求得成绩在的学生恰有2人被抽到的概率．【小问1详解】，这50名学生的平均成绩估计为：； 【小问2详解】后三组中的人数分别为15，10，5，由分层抽样可得，这三组中所抽取的人数分别为3，2，1，所以成绩在的学生恰有2人被抽到的概率为：．18.已知函数．（1）求函数的最小正周期及其单调递增区间；（2）当时，恒成立，求的最大值．【答案】（1），；（2）0【解析】【分析】（1）根据正弦和余弦的二倍角公式以及辅助角公式即可化简为，然后根据周期公式可求周期，整体代入法求单调增区间；（2）根据的范围可求，进而可求的值域，故可求的范围.【小问1详解】，故函数的最小正周期.由得.∴函数的单调递增区间为，.【小问2详解】∵，∴， ∴，.由恒成立，得，即，故a的最大值为0.19.如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定即可证明线面平行；（2）取中点为，以为空间直角坐标系原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和的坐标，利用向量法即可求得直线与平面所成角的正弦值．【小问1详解】取中点为，连接，，如图所示，因为，分别是，的中点，所以且，又因为且， 所以，，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面；【小问2详解】取中点为，以为空间直角坐标系原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，设平面的法向量为，因为，，所以，令，解得，即，又因，所以直线与平面所成角的正弦值为．20.已知等差数列的前项和为，且，，数列满足，．（1）求数列和的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明：．【答案】（1），，，（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）设等差数列公差为，根据已知条件列出关于首项与公差的方程组，解出与的值，即可计算出数列的通项公式，对于数列：将代入题干表达式计算出的值，当时，由，可得，两式相减进一步推导即可计算出数列的通项公式；（2）先根据第（1）结果计算出数列的通项公式，运用裂项相消法计算前项和的表达式，然后将前项和的表达式构造成一个数列，作差法分析数列的单调性，再结合数列极限的知识与不等式的性质即可证明题干中不等式成立．【小问1详解】设等差数列公差为，则，整理得，解得，∴，，对于数列：当时，，当时，由，得，两式相减得，当时，也满足上式，∴，．【小问2详解】由（1）得，，则 ，∴，∵，∴数列是单调递增数列，当时，，∴，故不等式对任意恒成立．21.已知双曲线：的离心率为，且过．（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线交于两点，是的右顶点，且直线与的斜率之积为，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）（2）证明见解析，定点．【解析】【分析】（1）根据题意可得关于的方程组，解得，即可得到双曲线的方程；（2）联立直线与双曲线的方程，结合韦达定理再化简得，即可得出直线恒过定点．【小问1详解】根据题意可得，解得，， 所以双曲线的方程为．【小问2详解】设，，联立，得，，，，又所以，所以，所以直线的方程为，恒过定点．22.已知函数，．（1）若，求函数在处的切线方程；（2）若存在实数，，使，且，求的取值范围．【答案】（1） （2）．【解析】【分析】（1）若，则，求导得，由导数的几何意义可得在处的切线斜率为，又，由点斜式，即可得出答案．（2）根据题意可得，由存在实数，，使，且，进而可得，计算化简，设，记，求出的值域，即可得出答案．【小问1详解】若，则，，所以在处的切线斜率为，又，所以函数在处的切线方程为，即．【小问2详解】因为，所以，因为存在实数，，使，且，所以存在实数，，使，且，即，， 设，记，，所以在上单调递减，所以，即，所以取值范围是．【点睛】关键点点睛：参数转化为用表示，通过把二元函数转化为一元函数是解题的关键点.