浙江省金华第一中学2022-2023学年高二数学下学期6月月考试题（Word版附解析）

金华一中2022学年第二学期高二6月月考数学试题卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则满足的集合的个数为（）A.2B.3C.4D.6【答案】C【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合，依题意且，再列举出符合条件的集合，即可判断.【详解】由，即，解得，所以，因为，所以且，所以符合条件的集合有或或或共个.故选：C2.已知实数满足，则的最小值是（）A.5B.9C.13D.18【答案】B【解析】【分析】根据对数的运算法则，求得，且，利用，结合基本不等式，即可求解.【详解】由，可得，所以，即，且，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为. 故选：B3.若，则的值为（）A.-1B.0C.D.1【答案】A【解析】【分析】利用赋值法可得：令可得；令可得：，即可得出结果.【详解】因为，令可得；令可得：；故.故选：A4.“”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据角度的范围依次判断充分性和必要性，判断得到答案.【详解】，充分性；或或，故，必要性.故选C【点睛】本题考查了充分必要条件，意在考查学生的推断能力.5.已知函数若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为（）A.B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】将函数有四个不同的零点，转化为函数与图象由四个交点，再数形结合即可解答.【详解】依题意，函数有四个不同的零点，即有四个解，转化为函数与图象由四个交点，由函数函数可知，当时，函数为单调递减函数，；当时，函数为单调递增函数，；当时，函数为单调递减函数，；当时，函数为单调递增函数，；结合图象，可知实数的取值范围为.故选：A6.“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满80元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有5名顾客都领取一件礼品，则他们中恰有3人领取的礼品种类相同的概率是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先由组合及分步计数原理求出恰有3人领取的礼品种类相同的情况，再求出总情况，由古典概型求解即可. 【详解】先考虑恰有3人领取的礼品种类相同的，先从5人中选取3人有种，再从三类礼品中领取一件有，另外2人从剩下的2类礼品中任意选择有种，按照分步乘法计数原理可得种，又总情况有种，故恰有3人领取的礼品种类相同的概率是.故选：D.7.已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】令，利用其单调性比较大小，令，利用其单调性比较大小.【详解】令，则，当时，，且，所以当时，，单调递减，所以，即，则.令，则，当，，所以在上恒成立，所以在上单调递减，所以，即，所以.综上，故选：B.【点睛】方法点睛：对于不同类型的数值比较大小问题，我们可以先把数值进行等价变形化同构，再构造相应的函数，求导研究函数的单调性，最后利用函数的单调性比较大小.8.已知底面边长为a的正四棱柱内接于半径为的球内，E，F分别为， 的中点，G，H分别为线段，EF上的动点，M为线段的中点，当正四棱柱的体积最大时，的最小值为（）A.B.C.2D.【答案】B【解析】【分析】求出正四棱柱的高，表示出体积，用导数求得最大值，得正四棱柱为正方体，的最小值就是点G到EF的距离，为的中点（即与的交点）时，，然后两个，沿展开翻折至共面．如图，当M，G，H三点共线时，最小，由此计算可得．【详解】正四棱柱的高．，令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，的最大值为．当时，，此时正四棱柱为正方体．的最小值就是点G到EF的距离，由正方体的性质知，，（因为正方体的棱与底面垂直，因此与底面内的直线垂直），与是平面内两相交直线，因此平面，而E，F分别为，的中点，因此，所以平面，易知当H为EF的中点时，，平面，所以，动线段GH，GM分别在，内，将两个平面沿展开翻折至共面．如图，当M，G，H三点共线时，最小，可得，又因为M为线段的中点， 所以．故选：【点睛】方法点睛：求空间线段之和的最小值问题，常用方法是把两条线段所在平面剪开摊平到一个平面，利用平面上两点间线段最小的性质求解，这里动点一般在两个平面的交线上，沿此交线摊平两个平面是基本思路．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.某学校组建了辩论､英文剧场､民族舞､无人机和数学建模五个社团，高一学生全员参加，且每位学生只能参加一个社团.学校根据学生参加情况绘制如下统计图，已知无人机社团和数学建模社团的人数相等，下列说法正确的是（）A.高一年级学生人数为120人B.无人机社团的学生人数为17人C.若按比例分层抽样从各社团选派20人，则无人机社团选派人数为3人D.若甲､乙､丙三人报名参加社团，则共有60种不同的报名方法【答案】AC【解析】【分析】根据图表所给出的数据，分别计算出5个社团的具体人数和占高一年级总人数的比例，再逐项求解. 【详解】由题目所给的数据可知：民族舞的人数为12，占高一年级总人数的比例为，所以高一年级的总人数为，英文剧场的人数，辩论的人数=30，无人机=数学建模=，占高一年级人数的比例是，故A正确，B错误，分层抽样20人，无人机应派出（人），C正确，甲乙丙三人报名参加社团，每人有5种选法，共有种报名方法，D错误；故选：AC.10.已知函数，若，且直线与函数的交点之间的最短距离为，则（）A.的最小正周期为B.在上单调递减C.的图象关于直线对称D.的图象向右平移个单位长度后得到的函数为偶函数【答案】AB【解析】【分析】根据正弦函数的图象和性质逐项进行检验即可求解.【详解】由题知直线与函数的交点之间的最短距离为，所以，故A正确；由A可知，，所以，又由可知的图象关于点对称，所以，即，，又因为，所以当时，，所以，时，，Ü，故B正确； 因为，故C错误；函数的图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数，故D错误．故选：AB．11.已知函数及其导函数的定义域均为，，，且当时，，则（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】本题根据函数对称性，周期性与导数与单调性相关知识可得结果.【详解】因，则关于对称，又因，则关于对称，所以的周期为4，A：因，所以，当时，，所以，∴，故A错．B：当时，∴在上单调递减，，，因，所以，即，所以，故B正确.C：关于对称且关于对称，所以关于对称，即为奇函数，为偶函数，故C正确.D：因在上单调递减，关于对称，所以在上单调递减，因 的周期为4，所以在上单调递减，所以，D错误.故选：BC.12.在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，，平面平面ABCD，点M在线段PC上运动（不含端点），则（）A.存在点M使得B.四棱锥外接球的表面积为C.直线PC与直线AD所成角为D.当动点M到直线BD的距离最小时，过点A，D，M作截面交PB于点N，则四棱锥的体积是【答案】BCD【解析】【分析】取AD的中点G，证明平面PGC，然后由线面垂直的性质定理判断A，把四棱锥补形成一个如图2的正方体，根据正方体的性质判断BC，由平面PGC，当动点M到直线BD的距离最小时，从而得为PC的中点，N为QA的中点，再由体积公式计算后判断D．【详解】如图1，取AD的中点G，连接GC，PG，BD，,则，因为平面平面ABCD，平面平面，平面，所以平面ABCD，平面，则．又因为，所以，又，平面，所以平面PGC．因为平面PGC，平面PGC，所以不成立，A错误．因为△APD为等腰直角三角形，将四棱锥的侧面APD作为底面一部分，补成棱长为1的正方体．如图2，则四棱锥的外接球即为正方体的外接球，其半径，即四棱锥外接球的表面积为，B正确． 如图2，直线PC与直线AD所成角即为直线PC与直线BC所成角，为，C正确．如图1，因为平面PGC，当动点M到直线BD的距离最小时，由上推导知，，，，，，，因此M为PC的中点．如图3，由M为PC的中点，即为中点,平面即平面与的交点也即为与的交点,可知N为QA的中点，故，D正确．故选：BCD．【点睛】方法点睛：空间几何体的外接球问题，（1）直接寻找球心位置，球心都在过各面外心用与该面垂直的直线上，（2）对特殊的几何体，常常通过补形（例如把棱锥）补成一个长方体或正方体，它们的外接球相同，而长方体（或正方体）的对角线即为外接球的直径，由此易得球的半径或球心位置．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若函数是偶函数，则___________．【答案】##2.5【解析】【分析】利用偶函数的性质求解，代入求解即可.【详解】解：因为函数是偶函数，故，即，解得.故，则.故答案为：.14.已知，则________．【答案】1【解析】 【分析】切化弦得，从而得，进而得，代入即可求解.【详解】由，得，即，则，即，所以．故答案为：15.山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标（如图1），其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“”完美嵌入其中，寓意无限未知､无限发展､无限可能和无限的科技创新.如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为45°和60°（A，B，C，D在同一铅垂面内），则A，B两点之间的距离为______米.【答案】【解析】【分析】根据已知角的关系，在三角形中，利用正余弦定理求解即可.【详解】由题意，，所以，所以在中，，，又，所以，在中，由正弦定理得，，所以，在中，，由余弦定理得，， 所以.故答案为：16.函数．若，使得成立，则整数a的最大值为________．（参考数据：，，）【答案】【解析】【分析】根据题意，构造函数，利用导数与函数的单调性得到为函数的最大值．将问题等价转化为，再次构造函数和，利用导数与函数的单调性即可求解.【详解】，易知是周期为的周期函数．，当时，在单调递增，单调递減，单调递增，单调递減，又，且．构造函数，求得，由基本不等式可得，当时，恒成立，所以函数在单调递增，且，故，所以有，即为函数的最大值．若，使得成立，即，亦即，构造函数，可知在单调递减，在单调递增． 又，所以，，所以，令，则，构造函数，可知在单调递减，在单调递增．又，，，，所以满足条件的整数，故整数，所以整数a的最大值为．故答案：.【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.四、解答题：本题共6小题，70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数，且．（1）求的值和的最小正周期；（2）求在上的单调递增区间．【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）根据代入求出，再利用三角恒等变换公式化简，结合正弦函数的性质计算可得；（2）由正弦函数的性质计算可得.【小问1详解】因为，且，所以，解得， 所以，即，所以的最小正周期；【小问2详解】由，，解得，，所以的单调递增区间为，，当时的单调递增区间为，当时的单调递增区间为，所以在上的单调递增区间为，.18.综合素质评价是高考招生制度改革的内容之一．某高中采用多维评分的方式进行综合素质评价．下图是该校高三学生“运动与建康”评价结果的频率直方图，评分在区间[90，100），[70，90），[60，70），[50，60）上，分别对应为A，B，C，D四个等级．为了进一步引导学生对运动与健康的重视，初评获A等级的学生不参加复评，等级不变，对其余学生学校将进行一次复评．复评中，原获B等级的学生有的概率提升为A等级：原获C等级的学生有的概率提升为B等级：原获D等级的学生有的概率提升为C等级．用频率估计概率，每名学生复评结果相互独立． （1）若初评中甲获得B等级，乙、丙获得C等级，记甲、乙、丙三人复评后等级为B等级的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）从全体高三学生中任选1人，在已知该学生是复评晋级的条件下，求他初评是C等级的概率．【答案】（1）分布列见解析，（2）【解析】【分析】（1）求出的所有可能取值及其对应的概率，即可求出ξ的分布列，再由期望公式求出ξ的数学期望；（2）记事件A为“该学生复评晋级”，事件B为“该学生初评是C”，由条件概率公式代入求解即可.【小问1详解】的所有可能取值为0，1，2，3，，，，，∴的分布列如下：0123P．【小问2详解】记事件A为“该学生复评晋级”，事件B为“该学生初评是C”，．19设函数（1）讨论函数的单调性（2）若函数有且只有一个零点时，实数m的取值范围．【答案】（1）见详解（2）或【解析】 【分析】（1）求导，分和讨论可得；（2）将问题转化为与有且只有一个交点，利用导数讨论的单调性，结合图象可解.【小问1详解】的定义域为，，当时，，在单调递增，当时，令解得，令解得，所以，函数在单调递增，在上单调递减，综上，当时，在单调递增，当时，函数在单调递增，在上单调递减.【小问2详解】由（1）可得，令，得，记，因为函数有且只有一个零，所以函数与有且只有一个交点，令，得，函数单调递增，令，得，函数单调递减，又，于是可得的图象如图，由图可知，或，即或，所以实数m的取值范围为或 20.2023年，国家不断加大对科技创新的支持力度，极大鼓舞了企业投入研发的信心，增强了企业的创新动能.某企业在国家一系列优惠政策的大力扶持下，通过技术革新和能力提升，极大提升了企业的影响力和市场知名度，订单数量节节攀升，右表为该企业今年1~4月份接到的订单数量.月份t1234订单数量y（万件）5.25.35.75.8附：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，，.（1）试根据样本相关系数r的值判断订单数量y与月份t的线性相关性强弱（，则认为y与t的线性相关性较强，，则认为y与t的线性相关性较弱）.（结果保留两位小数）（2）建立y关于t的线性回归方程，并预测该企业5月份接到的订单数量.【答案】（1）0.96，订单数量y与月份t的线性相关性较强（2），6.05万件【解析】【分析】（1）根据公式求出，即可得出结论；（2）利用最小二乘法求出回归方程，再令，即可得解.【小问1详解】，，，， ，，订单数量y与月份t的线性相关性较强；【小问2详解】，，线性回归方程，令，（万件），即该企业5月份接到的订单数量预计为6.05万件.21.如图，在四棱锥中，，，，分别为，的中点，点在上，且为三角形的重心.（1）证明：平面；（2）若，，四棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）连接，连接并延长交于点，连接，首先说明，由重心的性质得到，即可证明，从而得证；（2）连接，即可得到平面，连接交于点，即可证明平面，再连接即可得到平面，根据锥体的体积求出，再建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.小问1详解】证明：连接，因为，，所以，且，由，得，，则，所以.连接并延长交于点，如图，因为为的重心，所以.连接，因为，所以.又平面，平面，故平面.【小问2详解】连接，因为，所以，又，，平面，，所以平面.连接交于点，则，.又，，平面，，所以平面.连接，平面，则，因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面. 易得四边形的面积为，由四棱锥的体积为得，，所以.以为坐标原点，以，所在直线分别为轴、轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，.设平面的法向量为，则,即,取，可得，由（1）可知，为的中点，则，所以.由（1）知，，所以直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角，设为，所以，故直线与平面所成角的正弦值为.22.已知函数.（1）若，求的极值；（2）若有三个极值点，，且，求的最小值.【答案】（1）的极小值为，无极大值（2）【解析】【分析】（1）根据极值的定义，利用导数可求出结果； （2）当时，利用导数可知，函数只有一个极值点，不符合题意；当时，利用导数以及零点存在性定理可知，，设，推出，，由推出，由推出，由推出的范围即可得解.【小问1详解】依题意，时，，所以，记，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，当且仅当取等号，即，所以变化情况如下：1-0+单调递减极小值单调递增所以的极小值为，无极大值.【小问2详解】，①当时，由（1）可知，，当且仅当取等号，所以当时，，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增； 所以只有一个极值点，舍去.②当时，记，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；，由零点存在性定理知存在唯一，使得，即，由（1）有，所以当时，有，所以，取，则，由零点存在性定理知存在唯一，使得由以上推理知，且有当或时，；当时，，所以变化情况如下：1-0+0-0+单调递减极小值单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以有三个极值点（其中），此时，两式相除得，①设，②由①②可得，所以， 记，则，设，则，所以，从而，所以在上单调递减，又因为，即，所以，此时，记，，由（1）有，所以当时有，，所以，所以，在单调递减，所以，故，此时，记，，所以，故的最小值为.【点睛】关键点点睛：求的最大值的关键是用极值点表示，再利用的范围求出的范围.根据可得，根据以及可得.