浙江省金华第一中学2022-2023学年高一数学下学期6月期末试题（Word版附解析）

金华一中2022学年第二学期高一期末考试数学试题卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出集合后可求.【详解】，故，故选：D2.已知向量，，若与共线，则实数的值为（）A.B.1C.D.0【答案】C【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示计算．【详解】由已知，，又与共线，所以，解得．故选：C．3.函数是A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的偶函数C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数【答案】A 【解析】【详解】分析：由条件利用二倍角的余弦公式、诱导公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和奇偶性，得出结论．详解：函数y=2sin2（x﹣）﹣1=﹣[1﹣2sin2（x﹣）]=﹣cos（2x﹣）=﹣sin2x，故函数是最小正周期为=π的奇函数，故选A．点睛：本题主要考查二倍角余弦公式、诱导公式，正弦函数的周期性和奇偶性，属于基础题．4.“辛普森（Simpson）公式”给出了求几何体体积的一种估算方法：几何体的体积V等于其上底面的面积S、中截面（过高的中点且平行于底面的截面）的面积的4倍、下底面的面积之和乘以高h的六分之一，即.我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体称为拟柱体.在这两个平行平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫作拟柱体的侧面.中国古代名词“刍童”（原来是草堆的意思）就是指上下底面皆为矩形的拟柱体.已知某“刍童”尺寸如图所示，且体积为，则它的高为（）A.B.C.D.4【答案】D【解析】【分析】求出上下底面积和中截面面积，代入公式即可求出高.【详解】上底面，下底面，所以中截面是过高的中点，且平行于底面的截面，其中分别是对应棱上的中点，如图所示，根据中位线定理得，，所以，，解得， 故选：D.5.设，则“”成立的必要不充分条件是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先解不等式得到，再依次判断选项即可得到答案.【详解】由得，解得.所以“”成立的必要不充分条件是.故选：B【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，同时考查必要不充分条件的判断，属于简单题.6.已知函数的图象如图所示，则此函数可能是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由图象对称性确定奇偶性，再由函数值的正负排除错误选项，得出正确结论．【详解】图象关于原点对称，为奇函数，CD中定义域是，不合，排除，AB都是奇函数，当时，A中函数值为负，B中函数值为正，排除B． 故选：A．【点睛】思路点睛：本题考查由函数图象选择函数解析式，可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.7.一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体两次，并记录每次正四面体朝下的面上的数字.记事件为“两次记录的数字和为奇数”，事件为“两次记录的数字和大于4”，事件为“第一次记录的数字为奇数”，事件为“第二次记录的数字为偶数”，则（）A.与互斥B.与对立C.与相互独立D.与相互独立【答案】D【解析】【分析】列举出基本事件，对四个选项一一判断：对于A：由事件A与D有相同的基本事件，否定结论；对于B：由事件C与D有相同的基本事件，否定结论；对于C、D：利用公式法进行判断.【详解】连续抛掷这个正四面体两次，基本事件有：.其中事件A包括：.事件B包括：.事件C包括：.事件D包括：.对于A：因为事件A与D有相同的基本事件，故与互斥不成立.故A错误；对于B：因为事件C与D有相同的基本事件，故C与对立不成立.故B错误；对于C：因为,,而.因为，所以 与不是相互独立.故C错误；对于D：因为,,而.因为两个事件的发生与否互不影响，且，所以与相互独立.故D正确.故选：D8.已知二次函数，存在互不相同的三个实数，，，使得，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由变形为，将函数代入配方得到判断.【详解】解：由得，，代入可得，，配方可得，，∴，两边同乘以，可得，所以.故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.若，，，则下列不等式对一切满足条件的，都成立的是（）A.B.C.D.【答案】CD 【解析】【分析】利用基本不等式判断A、C、D，利用特殊值判断B；【详解】解：因为，，对于A：由，所以当且仅当时取等号，故错误；对于B：令，，则，即不成立，故错误；对于C：因为，当且仅当时取等号，故正确；对于D：，当且仅当即时取等号，故正确．故选：．10.函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（）A.的最小正周期为B.是的最小值C.在区间上的值域为D.把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象【答案】ABD【解析】【分析】利用图像过点，求得函数解析式为，利用正弦型函数的周期判断A；利用可判断B；利用正弦型函数的值域可判断C；利用图像的平移可判断D. 【详解】函数的图像过点，可得，即，则，即，所以函数解析式为对于A，函数的周期，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，，利用正弦函数的性质知，可得，故C错误；对于D，函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象，故D正确；故选：ABD11.已知函数的零点分别为，则有（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】根据函数的单调性、零点存在性定理、对称性求得正确答案.【详解】在上递增，，所以.在上递增，，所以.在上递增，，所以，则，AB选项正确.由得； 由得；由解得，由于与关于直线对称，与相互垂直，所以，C选项正确，D选项错误.故选：ABC12.在棱长为1的正方体中，P为侧面（不含边界）内的动点，Q为线段上的动点，若直线与的夹角为，则下列说法正确的是（）A.线段的长度为B.的最小值为2C.对任意点P，总存在点Q，使得D.存在点P，使得直线与平面所成的角为【答案】AC【解析】【分析】对选项A，直接通过建立空间直角坐标系，表示出线段，即可求得；对选项B，转化为，然后通过坐标表示出即可求得的最小值；对选项C，通过关系建立方程，结合点的坐标满足，得到关于的一元二次方程，再通过判别式即可判断C；对选项D，通过先求平面的法向量，然后根据直线与平面所成的角为，建立方程即可判断D. 详解】建立如上图所示的空间直角坐标系，根据题意，可得：，，，，，，，设点，，由直线与的夹角为，则有：，，故有：，解得：，为线段上的动点，则有：（），解得：，对选项A，则有：，故选项A正确；对选项B，过点作平面的垂线，垂足为，因为，则易知：，故的最小值等价于求，，故有：，则，当且仅当时成立，结合，可得此时，故选项B错误；对选项C，若，则有：，，又，则有：，则有：， 又，则有：，故对任意点，总存在点，使得，故选项C正确；对选项D，易知平面的法向量为，若直线与平面所成的角为，即直线与平面的法向量成，则有：解得：，矛盾，故选项D错误.故选：AC.【点睛】方法点睛：解决立体几何问题通常有两种方法：一、建立空间直角坐标系，运用空间向量的运算与性质解决立体几何的问题，将问题转化为代数运算，解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量；二、通过传统的几何方法，需要较高的空间想象力.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.复数z满足，则______.【答案】【解析】【分析】利用给定条件，利用复数除法运算，结合复数模的意义求解作答.【详解】依题意，，所以.故答案为：14.已知，则使成立的x的取值范围是_____．【答案】【解析】 【分析】解不等式组或，即得解.【详解】解：∵，∴或，∴或，即，∴使成立的x的取值范围是．故答案为：15.已知各棱长均为1的四面体ABCD中，E是AD的中点，P为直线CE上的动点，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】由题意画出图形，由绕旋转，使在平面内，可知所求最小值即为的长，然后在中，由余弦定理求解即可．【详解】记，在中，，，可得，，．将绕旋转，使在平面内，此时在处．连接，，则，，则，则所求最小值即为的长．，，． 的最小值为．故答案为：．16.已知函数的图象经过三个象限，则实数a的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】讨论时，图像经过一、三象限，不符题意；结合题意，讨论时，的单调性和图像位置，当时，的图像经过一、四象限即可，去绝对值可得在的最小值小于0，解不等式可得的范围【详解】解：若时，，图像经过一、三象限，不合题意；则当时，递增，且位于第三象限，当时，只要的图像经过一、四象限即可，当时，，当时，，则，且，即，因为，解得或，可得， 则的取值范围为，故答案为：【点睛】此题考查分段函数的图像和运用，考查分类讨论思想和数形结合思想，以及运算能力，属于中档题四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G分别在边AB，AD，BC上，且满足AE＝AB，AF＝AD，BG＝BC，设，.（1）用，表示，；（2）若EF⊥EG，，求角A的值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】(1)以，为基底，进行向量加减运算，即得结果；(2)以，为基底，结合EF⊥EG进行数量积运算，再利用，得的关系式，即解得角A. 【详解】（1）由平面向量的线性运算可知，.（2）由题意，因为EF⊥EG，所以，解得，所以，则可化简上式为，解得，又，故.18.已知函数为奇函数，且函数图象的两相邻对称轴之间的距离为.（1）求的值；（2）将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，求函数的单调递增区间.【答案】（1）（2）单调递增区间为【解析】【分析】（1）先化简得，根据已知条件得,即得的值；（2）由题得，解不等式即得函数的单调递增区间.【详解】解：（1）.因为为奇函数，所以， 又，可得.所以，由题意得，所以.故.因此.（2）将的图象向右平移个单位后，得到的图象，所以.当，即时，单调递增，因此的单调递增区间为.【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的解析式的求法，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19.已知函数.（1）若方程在上有且只有一个实数根，求实数m的取值范围；（2）在中，若，内角A的角平分线，，求AC的长度.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）利用诱导公式、辅助角公式化简函数，再探讨在上的性质，画出图象，数形结合求解作答.（2）由（1）求出B，由正弦定理求出，进而求出，再利用等腰三角形性质求解作答.【小问1详解】依题意， ，当时，，则当时，单调递增，函数值从增大到2，当时，单调递减，函数值从减小到，方程在上有且只有一个实数根，即直线与函数在的图象只有一个公共点，在同一坐标系内作出直线与函数在的图象，如图，观察图象，当或时，直线与函数在的图象只有一个公共点，所以实数m的取值范围是或.【小问2详解】由（1）知，，即，在中，，即，则，解得，在中，，，由正弦定理得，则，显然，有，于是，即有，则， 是等腰三角形，所以.20.江门市某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩．经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按照，，，，的分组作出频率分布直方图如图所示．（1）求频率分布直方图中a的值，并估计本次竞赛成绩的第80百分位数：（2）若按照分层随机抽样的方法从成绩在，的两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，求至少有2人的成绩在内的概率．【答案】（1），估计本次竞赛成绩的第80百分位数为85；（2）【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图的性质列式求出的值，然后根据百分位数的定义即可求解第80百分位数；（2）根据分层抽样算出成绩在，的两组分别抽取多少人，然后利用古典概型的概率计算公式即可求解.【小问1详解】解：由频率分布直方图的性质得：，解得，因为，所以成绩在80分以下的频率为，成绩在90分以下的频率为， 所以估计本次竞赛成绩的第80百分位数为；【小问2详解】解：因为成绩在，的两组频率之比为，所以从成绩在中抽人，从成绩在中抽人，所以从这5人中随机抽取3人，至少有2人的成绩在内的概率为.21.如图，四面体ABCD中，等边三角形，，且.（1）记AC中点为M，若面面ABD，求证：面ADC；（2）当二面角的大小为时，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）推导出面,,由此能证明面；（2）过作垂线,与的延长线交于点,连结DE,由,得面,从而是二面角的平面角,进而,过作交于F点,连结,作交于点,连结,由此能求出直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】为等边三角形，中点为，，又面面，面面，面,由，得面,面，,又，平面，面. 【小问2详解】在中，过作的垂线,与的延长线交于点,连结,，，面，面，是二面角的平面角，,过作交于点,连结,作交于点,连结,由面，面，得,又，面，面,面，面面，面面，面，所以面，即面，所以直线与平面所成角即为，由题意:，,则，面，面，，，，直线与平面所成角的正弦值为. 22.已知函数，其中a为实数．（1）当时，求函数的最小值；（2）若在上为严格增函数，求实数a的取值范围；（3）对于，若存在两个不相等的实数使得，求的取值范围．（结果用a表示）【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）分与两种情况，求出最小值；（2）写成分段函数，对分，，与四种情况分类讨论，求出参数的取值范围；（3）研究函数的单调区间及图象特征，分类讨论求出的关系，消去一个变量，再求出取值范围.【小问1详解】当时，，当时，，当时，取得最小值，，当时，在上单调递减，则，综上：最小值为【小问2详解】，当时，当时，，不是严格增函数，不合题意，舍 去；当时，此时对称轴，且分段函数在处函数值相同，故满足在上为严格增函数，符合题意；当时，此时对称轴且，故在区间上单调递减，不合题意，舍去；当时，且，此时在上为严格增函数，符合要求.综上：实数a的取值范围为.【小问3详解】当时，，即在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，且端点处函数值相等，令，解得：，，故要想存在两个不相等的实数使得，则，，且当时，，，此时，当时，在单调递减，在单调递增，故在处取得最小值，为，故取值范围为，当时，在单调递增，在上单调递减，故在取得最大值，为，故取值范围是，当时，，此时，即，从而，其中，当时， ，综上：的取值范围为.【点睛】函数含参值域问题，需要结合题干条件及图象特征，对参数进行分类讨论，在不同取值下的值域求解，用到的工具有基本不等式，对勾函数，导函数等.