浙江省杭州市余杭高级中学等四校2022-2023学年高二数学下学期3月联考试题（Word版附解析）

2022学年第二学期高二年级四校联考数学学科试题卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1.在空间直角坐标系中，点M的坐标是，则点M关于y轴的对称点坐标为A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】试题分析：∵在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为：，∴点关于轴的对称点的坐标为：．考点：空间点的坐标．2.观察数组，，，，，…，根据规律，可得第8个数组为（）A.B.CD.【答案】C【解析】【分析】由题可得数组的第一个数成等差数列，数组的第二个数成等比数列，即得.【详解】由题可知数组的第一个数成等差数列，且首项为2，公差为1；数组的第二个数成等比数列，且首项为2，公比为2．因此第8个数组为，即．故选：C.3.若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数（）．A.B.1C.D.2【答案】C【解析】【分析】函数求导，计算，利用切线与直线垂直，求得a值.【详解】因为， 所以曲线在点处的切线的斜率为，直线l的斜率，由切线与直线l垂直知，即，解得．故选：C．4.已知数列满足则其前9项和等于（）A.150B.180C.300D.360【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的性质和前项和公式求解.【详解】因为所以所以其前9项和等于，故选:B.5.若函数在处有极大值，则实数的值为（）A.1B.或C.D.【答案】D【解析】【分析】利用函数的导数可得，解出的值之后验证函数在处取得极大值.【详解】函数，，函数在处有极大值，可得，解得或，当时，，时，时，在上单调递减，在上单调递增，在处有极小值，不合题意.当时，，时，时，在上单调递增，在上单调递减，在处有极大值，符合题意.综上可得，.故选：D6.将∠B＝60°，边长为1的菱形ABCD沿对角线AC折成二面角，B转到，若，则折 后两条对角线，之间的距离的最小值为（）．A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】作图，找出AC与的公垂线段，计算其长度即可.【详解】依题意作上图，设菱形的对角线交点为O，由菱形的性质可知，，即，，平面，并且，，是以O为顶点的等腰三角形，取的中点G，则有，，，∴OG是AC与的公垂线，在中，，在中，，，，∴OG的最小值为；故选：B.7.已知椭圆的左右焦点分别为，，P为椭圆上异于长轴端点的动点，分别为的重心和内心，则（） A.B.C.D.2【答案】B【解析】【分析】由题意设的内切圆与三边分别相切于，可推出，根据向量的数量积的运算律结合数量积的几何意义，化简求值，可得答案.【详解】由椭圆可得，如图，设的内切圆与三边分别相切与，分别为的重心和内心，则，，，所以,所以，故选：B8.已知和分别是函数的两个极值点，且，则实数的值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求导，将极值点问题转化为 要有两个零点，且在零点两侧，单调性相反，参变分离后得到，构造，求导后得到单调性，极值最值情况，得到，由得到求出，求出.【详解】定义域为R，，要想函数有两个极值点，则要有两个零点，且在零点两侧，单调性相反，令，得，令，定义域为R，则，当时，，当，，故在上单调递增，在上单调递减，故在取得极大值，也是最大值，，且当时，恒成立，当时，恒成立，画出图象如下：故，即，其中，因为，所以，故，解得：， 故，满足要求.故选：C二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．9.下列求导运算正确的是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】根据求导法则以及基本初等函数的求导公式即可结合选项逐一求解.【详解】对于A,,故A错误，对于B，，故B正确，对于C，，故C正确，对于D，，故D错误，故选：BC10.如图所示，在棱长为的正方体中，则下列命题中正确的是（）A.若点在侧面所在的平面上运动，它到直线的距离与到直线的距离之比为2，则动点的轨迹是圆B.若点在侧面所在的平面上运动，它到直线的距离与到面的距离之比为2，则动点的轨迹是椭圆 C.若点在侧面所在的平面上运动，它到直线的距离与到直线的距离相等，则动点的轨迹是抛物线D.若点是线段的中点，分别是直线上的动点，则的最小值是【答案】ACD【解析】【分析】对于选项A，建立如图所示的直角坐标系，由题得，代入坐标化简即得解；对于选项B，代入坐标化简即得解；对于选项C，代入坐标化简即得解；对于选项D，对任意的点，固定点时，当时，最小，即最小，把平面翻起来，使之和平面在同一个平面，当时，最小，即得解.【详解】对于选项A，建立如图所示的直角坐标系，则设因为平面,所以,所以点到直线的距离就是,同理点到直线的距离就是.所以,所以，所以，它表示圆，所以该选项正确；对于选项B，过点作,垂足为,因为平面平面，则点到平面的距离就是.所以,因为，所以，所以动点的轨迹是双曲线，所以该选项错误； 对于选项C，点到直线的距离就是.所以，所以，所以动点的轨迹是抛物线，所以该选项正确；对于选项D，对任意的点，固定点时，过点作平面，垂足为，连接，当时，最小，此时平面,所以,由于.所以，所以.如下图，把平面翻起来，使之和平面在同一个平面，当时，最小，此时.故该选项正确.故选：ACD11.已知等比数则的公比为，前项积为，若，则（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】利用数列的基本性质可得出，，求出的取值范围，可判断AB选项；利用等比 数列的性质可判断CD选项.【详解】因为数列等比数则的公比为且，则，所以，，，又因为，则，所以，，从而，故对任意的，，由可得，A对B错；，，即，C对D错.故选：AC.12.已知函数，，则下列说法正确的是（）A.在上是增函数B.，不等式恒成立，则正实数的最小值为C.若有两个零点，则D.若，且，则的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】A选项中，令，利用导数可求得单调性，根据复合函数单调性的基本原则可知A正确；B选项中，利用导数可求得在上单调递增，由此可将恒成立的不等式化为，令，利用导数可求得，由可知B正确；C选项中，利用导数可求得的单调性，由此确定，若，可等价转化为，令，利用导数可求得单调性，从而得到，知，可得C错误；D选项中，采用同构法将已知等式化为 ，从而可确定，结合单调性得到，由此化简得到，令，利用导数可求得最大值，知D正确.【详解】对于A，当时，，令，则，，，当时，恒成立，在上单调递增；在上单调递增，根据复合函数单调性可知：在上为增函数，A正确；对于B，当时，，又为正实数，，，当时，恒成立，在上单调递增，则由得：，即，令，则，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，，则正实数的最小值为，B正确；对于C，，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增；，则；不妨设，则必有，若，则，等价于，又，则等价于；令，则，，，，，即， 在上单调递增，，即，，可知不成立，C错误；对于D，由，得：，即，由C知：在上单调递减，在上单调递增；，，则，，，即，；令，则，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，即的最大值为，D正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：本题C选项考查了导数中的极值点偏移问题；处理极值点偏移中的类似于（）的问题的基本步骤如下：①求导确定的单调性，得到的范围；②构造函数，求导后可得恒正或恒负；③得到与的大小关系后，将置换为；④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.在数列中，已知，，则的通项公式为______．【答案】 【解析】【分析】已知式取倒数可证得是等差数列，求出的通项公式，从而易得数列的通项公式．【详解】由，两边取倒数得，即，又因为，所以是首项为，公差为的等差数列，所以，故，故答案为：14.在棱长为3的正方体中，P为内一点，若的面积为，则AP的最大值为________．【答案】##【解析】【分析】先证明平面，由条件确定点的轨迹，由此可求AP的最大值.【详解】因为，,平面，，所以，同理可证，又，，所以平面，设与平面相交于点O，连接，因为平面，所以 所以，又，则，即点P的轨迹是以O为圆心，1为半径的圆，因为，平面，所以，又为等边三角形，且,所以，所以AP的最大值为．故答案为：.15.已知函数的导函数满足：，且，则不等式的解集为________．【答案】【解析】【分析】根据题意，设，由条件可求得函数的解析式，即可得到结果.【详解】设，则，所以（为常数），则，且，则，所以，所以，即不等式为，即所以或（舍），当时，即，即，所以不等式的解集为.故答案为： 16.双曲线：的左、右焦点分别为，，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为，，点为圆与轴正半轴的交点，若，则双曲线的离心率为________．【答案】【解析】【分析】根据题意分别求出点，的坐标，然后利用建立方程，进而求解.【详解】画出图形，如图所示，由题意得双曲线在一、三象限的渐近线方程为，以为直径的圆的方程为，由，解得，故点的坐标为，由，解得，故点的坐标为，因为，所以，所以，整理可得，所以，则，因为，所以，故答案为：.四、解答题：（10+12+12+12+12+12=70分）17.圆经过点，和直线相切，且圆心直线上． （1）求圆的方程；（2）求圆在轴截得的弦长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设出圆心坐标，用几何法求解圆的方程即可；（2）利用直线与圆相交的弦长公式求解即可.【小问1详解】设圆心的坐标为,则.化简得，解得,所以点坐标为，半径，故圆的方程为.【小问2详解】圆心到轴的距离为，所以圆在轴截得的弦长为.18.据《九章算术》中记载：将军要在营地到骑马到河边的营地，两营地之间相距50千米．已知马没有在河边补充水分时，速度为；在河边喝完水，速度为．如图所示，营地离河边距离为，河所在的直线为，忽略马在河边喝水的时间．（1）将军先骑马到河边的处，再赶到营地，一共要花多少时间；（2）将军赶到营地所花的最少时间为多少．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据题意，由条件即可得到结果；（2）根据题意，设将军在距离点C的P处饮马，且，表示出所花时间的函数关系式，然后求导，即可得到其最小值.【小问1详解】由题意可得，在中，，则，所以从A营地经过C地到B营地，需要的时间为小时，所以将军先骑马到河边的C处，再赶到B营地，一共要花5小时.【小问2详解】设将军在距离点C的P处饮马，且，，则，，则，；则，令，解得，所以时，，单调递减；时，，单调递增；所以当时，取得极小值，也是最小值，所以，所以将军赶到B营地所花的最少时间是小时.19.在四棱锥中，底面为正方形，平面，．（1）求证：平面平面； （2）若是中点，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用线面垂直与面面垂直的判定定理即可得证；（2）结合题意，将题干图形调整一下位置，建立空间直角坐标系，假设，从而得到各点的坐标，进而求得向量与平面的法向量，由此利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.【小问1详解】因为平面，平面，所以，因为底面为正方形，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面.【小问2详解】将题干图形调整一下位置，记的中点为，的中点为，连接，如图，因为，是的中点，所以，又由（1）知平面，平面，所以，又平面，所以平面，又是的中点，底面为正方形，所以，故以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图，因为平面，平面，所以，不妨设，则在中，， 则，因为是中点，则，故，设平面的一个法向量为，则，取，则，故，记直线与平面所成角为，则，所以，故直线与平面所成角正弦值为.20.数列满足：，，是以为公差的等差数列；数列的前项和为，且，．（1）求数列、的通项公式；（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）求出数列的首项，可求得数列的通项公式，再利用累加法可求得数列的通项公式；求出的值，当时，由可得，两式作差推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式；（2）由结合参变量分离法可得出，令，分析数列的单调性，求出数列最大项的值，即可得出实数的取值范围.小问1详解】 解：由已知，所以，数列是以为首项，公差为的等差数列，所以，，当时，则有，也满足，故对任意的，，当时，，当时，由可得，上述两个等式作差可得，可得，又因为，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，因此，.【小问2详解】解：由可得，可得，令，则,当时，，即；当且时，，则，即，所以，数列中的最大项为，故.因此，实数的取值范围是. 21.椭圆：的上顶点为，圆：在椭圆内．（1）求的取值范围；（2）过点作圆的两条切线，切点为，切线与椭圆的另一个交点为，切线与椭圆的另一个交点为．直线与轴交于点，直线与轴交于点．求的最大值，并计算出此时圆的半径．【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）联立椭圆与圆的方程，消去得到，再利用条件即可求出结果；（2）先利用直线与圆的位置关系得出切线与的斜率间的关系，再联立直线、与椭圆的方程，求出两点坐标，再求出的坐标，再利用直线是圆和以为圆心，为半径的圆的公共弦，从而求出坐标，进而得到，再利用基本不等式即可求出结果.【小问1详解】因为椭圆：，圆：在椭圆内，联立，消得到，所以，解得，所以， 【小问2详解】由题知，切线，的斜率均存在，不妨设过与圆相切的直线方程为，所以，整理得到，易知切线有两条，故，即且，又由（1）知，所以，不妨设切线，的斜率分别为，则由韦达定理知，，由，消，得到，所以，，故，同理可得，则,所以直线的方程为，令，得到，整理得到，又，所以，所以，又因为，，所以，以为圆心，为半径的圆的方程为， 又圆：，两方程相减得，因为是两圆的公共弦，故直线方程为，令得到，所以，所以，令，则，又，当且仅当，即时取等号，由，得到，所以，又，所以，故的最大值为，此时圆的半径为．【点睛】关键点晴，求出以为圆心，为半径的圆的方程，再利用为两圆公共弦，求出直线的方程，得到坐标，再联立直线与椭圆的方程得出坐标，进而求出的坐标，从而得出.22函数，．（1）当时，求的单调区间；（2）对任意，都有，使得成立，求的取值范围．【答案】（1）递减区间是，递增区间是；（2）．【解析】【分析】（1）把代入，求出的导数，再解导数值大于0、小于0的不等式作答. （2）求出函数的值域，再分类讨论求出函数在上的值域，结合包含关系求解作答.【小问1详解】当时，函数的定义域为，求导得，由，得，由，得，所以函数的递减区间是，递增区间是.【小问2详解】函数的定义域为，令，求导得，当时，，当时，，因此函数在上递减，在上递增，当时，，即，，当且仅当时取等号，令，则函数在上单调递增，，即存在，，从而函数，由，得，当时，，当时，，，而当时，函数的取值集合为，因此函数的值域是，当时，，显然，当，即时，，函数在上单调递增，则，因此函数在上的值域为，因为对任意，都有，使得成立，则函数在上的值域包含于函数的值域， 于是，即，解得，因此；当，即时，，函数在上单调递减，则，因此函数在上的值域为，则，即，解得，矛盾；当时，由，得，当时，，当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，，依题意，，整理得，解得，因此，综上得所以的取值范围是．【点睛】知识点睛：一般地，已知函数，（1）若，，总有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，则的值域是值域的子集．