浙江省绍兴市2022-2023学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析）

2022学年第二学期高中期末调测高一数学注意事项：1.请将学校、班级、姓名分别填写在答卷纸相应位置上.本卷答案必须做在答卷相应位置上.2.全卷满分100分，考试时间120分钟.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知复数在复平面内对应的点是，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的几何意义表示出，再根据复数代数形式的除法运算法则计算即可.【详解】复数在复平面内对应的点为，则，所以.故选：B．2.某组数据、、、、、、、、、的第百分位数为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用百分位数的定义可求得该组数据的第百分位数.【详解】数据、、、、、、、、、共个数，因为，因此，该组数据的第百分位数为.故选：C.3.已知向量，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算判断AB；利用共线向量的坐标表示判断C；利用垂直关系的坐标表示判断D作答.【详解】向量，，对于A，，，A错误；对于B，，，B错误；对于C，由于，即与不共线，C错误；对于D，，因此，D正确.故选：D4.已知m，n是两条直线，，是两个平面，下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用空间中线线、线面、面面位置关系逐一判断各个选项作答.【详解】对于A，由知，存在过的平面与平面相交，当为交线时，满足，而，A错误；对于B，当与相交时，令交线为，若，则满足，B错误；对于C，，在平面内存在直线垂直于，为此直线时，满足，而，C错误；对于D，因为，则存在过的平面与平面相交，令交线为，有，又，因此，而，所以.故选：D5.抛掷三枚质地均匀的硬币，有如下随机事件：“正面向上的硬币数为i”，其中i=0，1，2，3，B=“恰有两枚硬币抛掷结果相同”，则下列说法正确的是（）A.与B相互独立B.与B对立CD.【答案】D 【解析】【分析】列出所有基本事件，计算出对应概率，再根据独立事件和对立事件，即可逐一验证.【详解】解：总的可能有:(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正反),(反,反,正),(反,反,反),故,,,,而，,故选项A错误;,故选项B错误;,故选项C错误;{(正,反,反),(反,正反),(反,反,正)},{(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正)},{(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正反),(反,反,正)},所以，故选项D正确;故选:D.6.轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，如图所示，在直角圆锥中，AB为底面圆的直径，C在底面圆周上且为弧的中点，则异面直线PB与AC所成角的大小为（）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用几何法求出异面直线PB与AC所成角的大小作答.【详解】在直角圆锥中，AB为底面圆的直径，C在底面圆周上且为弧的中点，，则，过点作交底面圆于点，连接，如图， 则是异面直线PB与AC所成角或其补角，显然，即是正三角形，所以，即异面直线PB与AC所成角的大小为.故选：C7.已知函数的部分图象如图所示，，是的两个零点，若，则下列为定值的量是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求函数的周期，估计的范围，再求函数的零点，由此确定，结合条件化简可得结论.【详解】函数，的周期为，由图象可得，令，可得，，所以，即，又，所以，，， 又，所以，所以，故选：A.8.在长方体中，底面ABCD是边长为4的正方形，P是棱上的一个动点，若，，则三棱锥外接球的表面积是（）A.144πB.36πC.9πD.6π【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，确定点P的位置，求出的外接圆半径，再求出球心到平面的距离，求出球半径作答.【详解】令长方体的高为，，于是，解得，在中，，则外接圆半径，显然平面，因此三棱锥外接球的球心在线段的中垂面上，球心到平面的距离为，则球半径，所以三棱锥外接球的表面积.故选：B【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分）9.下列等式成立的是（） A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】对于A,逆用二倍角余弦公式，即可求解，对于B,利用辅助角公式，即可求解，对于C,逆用二倍角正弦公式，即可求解，对于D,逆用正切的和差公式即可求解.【详解】解:对于A,,故A错误,对于B,，故B正确，对于C,，故C正确，对于D,，故D正确,故选：BCD.10.5月21日，2023世界珍珠发展论坛在浙江诸暨举办，大会见证了诸暨珍珠开拓创新、追求卓越的坚实步伐.据统计，今年以来，诸暨珍珠线上线下销售总额达250亿元，已超去年全年的60%，真正实现了“生于乡间小湖，远销五洲四海”.某珍珠商户销售A，B，C，D四款珍珠商品，今年第一季度比去年第一季度营收实现翻番，现统计这四款商品的营收占比，得到如下饼图.同比第一季度，下列说法正确的是（）A.今年商品A的营收是去年的4倍B.今年商品B的营收是去年的2倍C.今年商品C的营收比去年减少D.今年商品B，D营收的总和与去年相比占总营收的比例不变【答案】ABD 【解析】【分析】由条件，根据扇形图分别计算四款珍珠商品的营收，由此确定正确选项.【详解】设去年第一季度营收为亿元，则今年第一季度营收为亿元，由扇形图可得款珍珠商品去年第一季度营收为亿元，则今年第一季度营收为亿元，A正确；款珍珠商品去年第一季度营收为亿元，则今年第一季度营收为亿元，B正确；款珍珠商品去年第一季度营收为亿元，则今年第一季度营收为亿元，C错误；因为商品B，D今年第一季度营收的总和占总营收的比例为，商品B，D去年第一季度营收的总和占总营收的比例为，所以今年商品B，D营收的总和与去年相比占总营收的比例不变，D正确；故选：ABD.11.如图，在边长为的正方形中，为的中点，将沿折起，使点到达点的位置，且二面角为.若、分别为、的中点，则（）A.B.平面C.平面平面D.点到平面的距离为【答案】ABD【解析】【分析】连接交于点，连接，取的中点，连接、，推导出平面，利用线面垂直的性质可判断A选项；证明出平面平面，利用面面平行的性质可判断B选项；利用反证法可判断C选项；利用等体积法计算出点到平面的距离，可判断D选项.【详解】连接交于点，连接，取的中点，连接、， 对于A选项，在正方形中，因为，，，所以，，则，所以，，则，即，翻折后，则有，，又因为，、平面，所以，平面，因平面，所以，，A对；对于B选项，因为、分别为、的中点，所以，，因为平面，平面，所以，平面，因为，，则四边形为梯形，又因为、分别为、的中点，所以，，因为平面，平面，则平面，因为，、平面，则平面平面，因为平面，故平面，B对；对于C选项，因为，且，，，所以，，所以，，则，在中，，所以，，因为平面平面，平面平面，， 平面，所以，平面，因为平面，所以，，所以，，且，翻折前，，翻折后，，若平面平面，且平面平面，平面，所以，平面，因为平面，则，事实上，，，，则，即、不垂直，假设不成立，故平面与平面不垂直，C错；对于D选项，因为，且平面，所以，，中，，，由余弦定理可得，所以，，所以，，设点到平面的距离为，由，即，所以，，D对.故选：ABD.【点睛】方法点睛：求点到平面的距离，方法如下： （1）等体积法：先计算出四面体的体积，然后计算出的面积，利用锥体的体积公式可计算出点到平面的距离；（2）空间向量法：先计算出平面的一个法向量的坐标，进而可得出点到平面的距离为.12.在中，D为BC的中点，点E满足.若，则（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式推理判断A；利用向量线性运算计算判断B；作辅助线结合三角形中位线性质判断D；反证法推理判断C作答.【详解】在中，D为BC的中点，，，如图，对于A，，有，A正确；对于B，，B正确；对于D，过作交的延长线于，由D为BC的中点，得是的中位线，则，于是，D正确；对于C，由选项D知，，假定，则，，，与矛盾，因此，C错误.故选：ABD 【点睛】结论点睛：在中，平分交于，则有；若平分的外角交直线于，则有.三、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13.函数的最小正周期是_____________.【答案】【解析】【分析】利用正弦型函数的周期公式计算作答.【详解】函数的最小正周期.故答案为：14.某手机社交软件可以实时显示两人之间的直线距离.已知甲在某处静止不动，乙在点A时，显示与甲之间的距离为400米，之后乙沿直线从点A点走到点B，当乙在点B时，显示与甲之间的距离为600米，若A，B两点间的距离为500米，则乙从点A走到点B的过程中，甲、乙两人之间距离的最小值为_____________米.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用余弦定理求出，进而求出作答.【详解】令甲的位置为点，如图，在中，，由余弦定理得，，过作于，所以所求距离的最小值为（米）.故答案为：15.已知一组样本数据，，，，的方差为5，且满足，则样本数据 的方差为____________.【答案】9【解析】【分析】由条件可求原数据的平均数和方差的表达式，再求新数据的平均数和方差可得结论.【详解】因为，所以数据，，，，的平均数为，方差，由已知，数据的平均数，方差.故答案为：.16.直三棱柱中，，，、分别为线段、的动点，则周长的最小值是____________.【答案】##【解析】【分析】将面、面沿着延展为一个平面，将面、面沿着延展为一个平面，连接，则线段的长即为周长的最小值，利用余弦定理求出线段的长，即为所求.【详解】如下图所示： 将面、面沿着延展为一个平面，将面、面沿着延展为一个平面，连接,此时，线段的长即为周长的最小值，则，，由于，，，则，延展后，则四边形为矩形，因为，，则为等腰直角三角形，所以，，延展后，则，由余弦定理可得.故答案为：.四、解答题（本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.记、、为平面单位向量，且.（1）求；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用平面向量数量积的运算性质可求得的值，结合平面向量夹角的取值范围可得出的值；（2）由平面向量数量积的运算性质可得出的值.【小问1详解】解：由已知，且， 所以，，则，所以，，因为，所以，.【小问2详解】解：由已知可得，且，所以，.18.在正方体中，棱长为3，是上底面的一个动点.（1）求三棱锥的体积；（2）当是上底面的中心时，求与平面ABCD所成角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用等体积，即可求解.(2)根据直线与平面夹角的定义，找到线面角，即可求解.【小问1详解】如图所示，根据题意得：. 【小问2详解】如图所示,过点做平面ABCD的垂线，垂足为G，易知G为AC中点，故为与平面ABCD所成线面角，又,所以与平面ABCD所成角的余弦值为：.19.为了推导两角和与差的三角函数公式，某同学设计了一种证明方法：在直角梯形ABCD中，，，点E为BC上一点，且，过点D作于点F，设，.（1）利用图中边长关系，证明：； （2）若，求.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用直角三角形的边角关系推理作答.（2）利用（1）的信息结合已知，证得，再借助二倍角公式及同角公式计算作答.【小问1详解】在中，，，，则，在中，，，，则，在中，，，则，依题意，四边形是矩形，则，所以.【小问2详解】由及（1）知，，则，而为锐角，即有，，又是锐角，于是，所以.20.第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，而亚运会志愿者的服务工作是举办一届成功的亚运会的重要保障.为配合亚运会志愿者选拔，某高校举行了志愿者选拔面试，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩，绘制成如下频率分布直方图. （1）求的值，并估计这80名候选者面试成绩平均值，众数，中位数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，中位数精确到0.1）（2）乒乓球项目场地志愿服务需要3名志愿者，有3名男生和2名女生通过该项志愿服务选拔，需要通过抽签的方式决定最终的人选，现将3张写有“中签”和2张写有“未中签”字样的字条随机分配给每一位候选人，求中签者中男生比女生多的概率.【答案】（1），，众数为70，中位数为.（2）【解析】【分析】（1）由频率和为1列方程可求出的值，根据平均数的定义可求出，由众数的定义可求得众数，先判断中位数的位置，再列方程求解即可；（2）利用列举法结合古典概型的概率计算公式求解即可.【小问1详解】由频率分布直方图可知，解得，，众数为70，因为前2组的频率和为，前3组的频率和为，所以中位数在第3组，设中位数为，则，解得，所以中位数为.【小问2详解】 记3名男生分别为，记2名女生分别为，则所有抽签的情况有：未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签，共有10种情况，其中中签者中男生比女生多的有：未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签，共7种，所以中签者中男生比女生多的概率为.21.如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，.（1）已知，且（i）当时，求的面积；（ii）若，求.（2）已知，且，求AC的最大值.【答案】（1）（i）；（ii）；（2）.【解析】【分析】（1）（i）利用余弦定理结合已知求出，再借助等腰三角形性质求出面积；（ii）利用等腰三角形性质结合二倍角公式求解作答.（2）连接，由已知结合余弦定理可得， ，再利用余弦定理、二倍角公式、辅助角公式求解作答.【小问1详解】（i）设，在中，由余弦定理得，解得，在中，，则底边上的高，所以面积.（ii）设，依题意，，则，，即，而，所以.【小问2详解】连接，中，，，由余弦定理得，则，，设，在中，，于是，在中，，由余弦定理得：，则 ，当且仅当，即时取等号，所以当时，，所以AC的最大值是.【点睛】思路点睛：求三角形中线段长的最值问题，主要方法有两种，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.22.如图，在正三棱台中，，D，E分别为，的中点.（1）证明：平面；（2）设P，Q分别为棱AB，BC上的点，且，D，P，Q均在平面上，若与的面积比为3:8，（i）证明：（ii）求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）（i）证明见解析；（ii）【解析】分析】（1）延长交于点S，连接SE并延长，分别交BC,于点F、G，连接AG，先证平面SBC，再根据DE//AG，即可求证.（2）（i）根据面积之比，得到Q为BC的中点，即可求解.（ii）根据面面角定义，结合等体积法求点面距，最后求出面面角的正弦值.【小问1详解】 由棱台的性质知：延长交于点S，又，所以三棱锥为正四面体，为的中点，连接SE并延长，分别交BC,于点F、G，则F为中点，且为△的中线，所以G为等边的中心，连接AG，则平面SBC，又D为的中点，综上，，，且，，所以，即；，即，故，所以DE//AG，所以DE⊥平面SBC.【小问2详解】（i）延长交于点H，若均在平面上，则共线，设，则，过A作AM//BC交PQ于点M，，则， 设BQ=k，则，故且则，又所以，所以，即，所以，故Q为BC的中点，所以，即（ii）由（i）知：即为面，连接，易知，且，由面，面，故面，综上，，连接交DP于点N，易知，且，所以，故，所以，又为与平面的交线，，面，设平面与平面所成角为，所以，故平面与平面所成角的正弦值为.