2023九年级数学上册第二十二章二次函数22.2二次函数与一元二次方程课件（人教版）

22.2二次函数与一元二次方程九年级上册RJ初中数学 1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况与判别式Δ的关系.知识回顾Δ=b2-4ac>0时Δ=b2-4ac=0时Δ=b2-4ac<0时∆=b2-4ac≥0时方程有两个不相等的实数根.方程有两个相等的实数根.方程无实数根.方程有两个实数根. 知识回顾a>0a<0开口方向顶点坐标对称轴增减性最值向上向下当x<时，y随着x的增大而减小；当x>时，y随着x的增大而增大.当x<时，y随着x的增大而增大；当x>时，y随着x的增大而减小.x=时，y最小=x=时，y最大=2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质x= 1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式）之间的联系.2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集.3.了解用图象法求一元二次方程的近似根.学习目标 问题1如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系h=20t-5t2.考虑以下问题：h=20t-5t2课堂导入(1)小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？(2)小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？(3)小球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？(4)小球从飞出到落地要用多少时间？ (1)小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？Oht1513当小球飞行1s和3s时，它的飞行高度为15m.解：高度为15m，即在函数h=20t-5t2中，令h=15得15=20t-5t2，即t2-4t+3=0，解得t1=1，t2=3.h=20t-5t2 (2)小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？Oht202当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m.解：高度为20m，即在函数h=20t-5t2中，令h=20得20=20t-5t2，即t2-4t+4=0，解得t1=t2=2. 令h=20.5,得20.5=20t-5t2，t2-4t+4.1=0.因为(-4)2-4×4.1<0，所以方程无实数根.即小球的飞行高度达不到20.5m.(3)小球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？Oht20.5解： (4)小球从飞出到落地要用多少时间？Oht令h=0,得0=20t-5t2,t2-4t=0,解得t1=0，t2=4.当小球飞行0s和4s时，它的高度为0m.即0s时小球从地面飞出，4s时小球落回地面.解：h=20t-5t2 由以上我们发现，已知函数取定值，求自变量x的值时，二次函数问题就转化了一元二次方程问题.y=ax2+bx+c(a≠0)0m=ax2+bx+c(a≠0)0令y=m二次函数一元二次方程转化思想 知识点1新知探究y=ax2+bx+c(a≠0)0ax2+bx+c=0(a≠0)0令y=0已知二次函数y=ax2+bx+c的值为0，求自变量x的值确定抛物线y=ax2+bx+c与x轴公共点的横坐标形数方程观点函数观点求一元二次方程的解 例1不解方程，判断下列一元二次方程根的情况.(1)∵∆=b2-4ac>0,∴方程有两个不相等的实数根.(2)∵∆=b2-4ac=0,∴方程有两个相等的实数根.(3)∵∆=b2-4ac<0,∴方程没有实数根. 例2不画函数图象，你能判断下列函数与x轴交点的个数吗？解：∵方程x2+x-2=0有两个不等的实数根，∴二次函数y=x2+x-2中，y=0时，自变量x有两个不同的取值，故二次函数y=x2+x-2与x轴有2个不同的交点.解：∵方程x2-6x+9=0有两个相等的实数根，∴二次函数y=x2-6x+9中，y=0时，自变量x有两个相同的取值，故二次函数y=x2-6x+9与x轴有1个交点.解：∵方程x2-x+1=0无实数根，∴二次函数y=x2-x+1中，y=0时，x不存在，故二次函数y=x2-x+1与x轴无交点. 1xyOy=x2－6x＋9y=x2－x＋1y=x2＋x－2利用描点法可画出三个函数图象如下抛物线与x轴三种不同的位置关系：有两个公共点，有一个公共点，没有公共点.∆<0∆=0∆>0 由以上图象，可以得到以下性质：抛物线与x轴公共点个数公共点横坐标相应的一元二次方程的根y=x2－x＋1y=x2－6x＋9y=x2＋x－20个1个2个x2-x+1=0无实数根3x2-6x+9=0，x1=x2=3-2,1x2+x-2=0，x1=-2,x2=1 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的公共点一元二次方程ax2+bx+c=0的根b2-4ac有两个公共点有两个不相等的实数根b2-4ac>0有一个公共点有两个相等的实数根b2-4ac=0没有公共点没有实数根b2-4ac<0二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴公共点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根的关系 1.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点分别是(－1，0)，(－5，0)，那么一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根为_________________．2.抛物线y＝x2＋2x－3与y轴的交点坐标是_________，与x轴的交点坐标是________________.跟踪训练新知探究x1＝－1，x2＝－5(0，－3)(1，0)(－3，0) 3．抛物线y＝－x2＋bx＋c的部分图象如下图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋bx＋c＝0的解为_____________________．x1＝－3，x2＝1． 4．二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是()A．k＜3B．k＜3且k≠0C．k≤3D．k≤3且k≠0Dk≠0b2-4ac≥0 利用二次函数的图象解一元二次方程的基本步骤：1.在平面直角坐标系内画出二次函数的图象；2.观察图象，确定抛物线与x轴的公共点的坐标；3.公共点的横坐标就是对应的一元二次方程的解.知识点2新知探究 当函数图象与x轴有两个公共点，且公共点的横坐标不是整数时，可通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的解：①观察函数图象与x轴的一个公共点的横坐标在哪两个连续整数之间，从而确定这个公共点的横坐标的取值范围. ②由①可确定方程ax2+bx+c=0的一个根在整数m和n(m<n)之间，再通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围，直到得出的根满足题目要求为止，具体过程如下：取m和n的平均数，计算出当时的函数值y2，将y2与自变量分别为m和n时的函数值ym，yn比较，若函数值y2，ym异号，说明所求根在m和之间，再取m和的平均数，计算函数值； 若函数值y2，yn异号，说明所求的根在和n之间，再取和n的平均数，计算函数值.重复前面的步骤，直到得出的数达到所需精确的数位为止.③按照①②的方法估计出方程的另一个根. 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(结果保留小数点后一位)．画出函数y=x2-2x-2的图象(如图)，解：跟踪训练新知探究它与x轴的交点的横坐标大约是-0.7，2.7.所以方程x2-2x-2=0的实数根为x1≈-0.7，x2≈2.7.3yO-33x 例1函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么方程ax2+bx+c=0的根是；不等式ax2+bx+c>0的解集是；不等式ax2+bx+c<0的解集是.3-1Oxyx1=-1，x2=3x<-1或x>3-1<x<3知识点3新知探究 例2函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么方程ax2+bx+c=2的根是______________;不等式ax2+bx+c>2的解集是___________;不等式ax2+bx+c<2的解集是________.(4,2)(-2,2)x1=-2，x2=4x<-2或x>4-2<x<43-1Oxy根据函数图象解不等式的方法总结见初中教材帮数学RJ九上第22.2节方法帮. 例3如果不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集是x≠2的一切实数，那么函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有____个公共点，坐标是______.方程ax2+bx+c=0的根是______.1(2,0)x=22Oxy 例4如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根，那么函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有______个公共点；不等式ax2+bx+c<0的解集是多少？0解：①当a>0时,ax2+bx+c<0无解；②当a＜0时,ax2+bx+c<0的解集是一切实数.3-1Oxy抛物线的开口方向不确定，注意分类讨论. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的公共点a＞0a＜0有两个公共点x1,x2（x1＜x2）有一个公共点x0没有公共点二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴公共点的坐标与一元二次不等式的关系y＜0，x1＜x＜x2.y＞0，x2＜x或x＜x1.y＞0，x1＜x＜x2.y＜0，x2＜x或x＜x1.y＞0，x0之外的所有实数；y＜0，无解.y＜0，x0之外的所有实数；y＞0，无解.y＞0，所有实数；y＜0，无解.y＜0，所有实数；y＞0，无解. 已知二次函数y=x2-x-2.(1)当x取什么值时，函数值小于0？(2)当x取什么值时，函数值大于0？作出函数y=x2-x-2的图象如图所示，观察图象可知：(1)当-1<x<2时，抛物线上的点位于x轴的下方，即函数值小于0.(2)当x<-1或x>2时，抛物线上的点位于x轴的上方，即函数值大于0.解：跟踪训练新知探究 1.若函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是()AA.b<1且b≠0B.b>1C.0<b<1D.b<1解：因为函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点，所以抛物线与x轴有两个交点，与y轴有一个交点，且与x轴、y轴的交点不为(0，0)，所以(-2)2-4b＞0且b≠0，解得b＜1且b≠0，故选A．随堂练习 2.下表是一组二次函数y=x2+3x-5的自变量x与函数值y的对应值：那么方程x2+3x-5=0的一个近似值是()CA.1B.1.1C.1.2D.1.3x11.11.21.31.4y-1-0.490.040.591.16 3.函数y=x2+bx+c与函数y=x的图象如图所示，有以下结论：①b2-4c>0；②b+c=0；③b<0；④方程组的解为⑤当1<x<3时，x2+(b-1)x+c>0，其中正确的是()BA.①②③B.②③④C.③④⑤D.②③⑤ 解：因为函数y=x2+bx+c的图象与x轴无交点，所以b2-4c＜0，故①错误；当x=1时，y=1+b+c=1，则b+c=0，故②正确；对称轴在y轴的右侧，a、b异号，则b＜0，故③正确；根据抛物线与直线y=x的交点知，方程组的解为故④正确；因为当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，所以x2+bx+c＜x，所以x2+(b-1)x+c＜0，故⑤错误．故选B． 二次函数y=ax2+bx+c（a>0）的图象一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根不等式ax2+bx+c>0（a>0）的解集不等式ax2+bx+c<0（a>0）的解集x2x1xyOOx1=x2xyxOy>0＝0＜0x1;x2x1=x2＝－没有实数根x<x1或x>x2x≠x1的一切实数所有实数x1<x<x2无解无解课堂小结 对接中考1.（2020.贵州中考）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m=0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是（　　）A．﹣2或0B．﹣4或2C．﹣5或3D．﹣6或4解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(﹣3，0)与(1，0)两点，∴当y＝0时，ax2+bx+c=0的两个根为﹣3和1，∴函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴是直线x＝﹣1.又∵关于x的方程ax2+bx+c+m=0有两个根，其中一个根是3,∴方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）的另一个根为﹣5. 对接中考1.（2020.贵州中考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是（　　）A．﹣2或0B．﹣4或2C．﹣5或3D．﹣6或4∵0＜n＜m，∴关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）的两个整数根的范围应是-5~-3和1~3，∴这两个整数根是﹣4或2.B 2.(2020•荆门中考)若抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过第四象限的点(1，﹣1)，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是（　）A．有两个大于1的不相等实数根B．有两个小于1的不相等实数根C．有一个大于1另一个小于1的实数根D．没有实数根解：由抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过第四象限的点（1，﹣1），画出函数的图象如图：由图象可知：关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是有一个大于1另一个小于1的实数根，故选C．C 3.（2020•武汉中考）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，下列四个结论：①一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝2，x2＝﹣4；②若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＜y2；③对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b；④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则p的值只有两个．其中正确的结论是（填写序号）．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c(a，b，c为常数，a＜0)经过A(2，0)，B(﹣4，0)两点，∴ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝2，x2＝﹣4，故①正确； 3.（2020•武汉中考）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，下列四个结论：①一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝2，x2＝﹣4；②若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＜y2；③对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b；④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则p的值只有两个．其中正确的结论是（填写序号）．因为抛物线的对称轴为直线x=-1，函数图象开口向下，所以若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＞y2，故②错误；当x＝﹣1时，y最大＝a﹣b+c，故对于任意实数t，总有at2+bt+c≤a﹣b+c，即at2+bt≤a﹣b，故③正确； 3.（2020•武汉中考）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，下列四个结论：①一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝2，x2＝﹣4；②若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＜y2；③对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b；④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则p的值只有两个．其中正确的结论是（填写序号）．对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则两个根为﹣3和1或﹣2和0或﹣1和﹣1，故p的值有三个，故④错误.①③