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四川省绵阳市三台中学2023届高三数学(理)一诊模拟考试试题(四)(Word版附解析)
四川省绵阳市三台中学2023届高三数学(理)一诊模拟考试试题(四)(Word版附解析)
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三台中学2020级一诊模拟试题(四)理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.注意事项:1.答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚,同时用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内.2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上,如需改动,用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案:非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效.3.考试结束后将答题卡收回.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知,,则=()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法,先求出集合,再根据交集的定义即可求解.【详解】因为集合,又集合,所以,故选:D.2.已知a,b,c满足c<b<a,且ac<0,那么下列选项中一定成立的是()A.ab>acB.c(b-a)<0C.cb2<ab2D.ac(a-c)>0【答案】A【解析】【分析】根据已知条件,求得的正负,再结合,则问题得解.【详解】由c<b<a且ac<0,知c<0且a>0. 由b>c,得ab>ac一定成立,即正确;因为,故,故错误;若时,显然不满足,故错误;因为,故,故错误.故选:.【点睛】本题考查不等式的基本性质,属简单题.3.若等比数列满足,,().A.B.C.8D.64【答案】A【解析】【分析】根据条件先求出数列的首项和公比,即可求出.【详解】设数列的公比为,,解得,,.故选:A.4.下列命题正确的是()A.命题“”为假命题,则命题与命题都是假命题B.命题“若,则”的逆否命题为真命题C.若使得函数的导函数,则为函数的极值点;D.命题“,使得”的否定是:“,均有”【答案】B【解析】【分析】根据复合命题的真假判断A,根据四种命题的关系判断B,根据极值的定义判断C,根据命题的否定判断D.【详解】对于A:命题“”为假命题,则命题与命题至少有一个假命题,故A错误; 对于B:命题“若,则”显然为真命题,又原命题与逆否命题同真同假,故B正确;对于C:若使得函数的导函数,如果两侧的导函数的符号相反,则为函数的极值点;否则,不是函数的极值点,故C错误;对于D:命题“存在,使得”的否定是:“对任意,均有”.故D错误.故选:B.5.设,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的性质计算可得;【详解】解:因为,,所以因为所以,所以.故选:B6.若向量,满足,,则在方向上的投影为()A.1B.C.D.-1【答案】B【解析】【分析】先利用向量数量积的运算求得,再利用投影的定义求解即可.【详解】因为,,所以,即,则,故在方向上的投影. 故选:B.7.函数的大致图象是()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用排除法,先判断函数的奇偶性,再取特殊值验证即可【详解】因为,所以为奇函数,所以函数图象关于原点对称,所以排除CD,因为,,所以排除B,故选:A8.已知菱形的对角线相交于点,点为的中点,若,,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意,以对角线交点为坐标原点,对角线所在直线为轴建立直角坐标系,利用坐标法求解.【详解】解:如图,以点为坐标原点,所在直线为轴建立平面直角坐标系,由,, 所以,,,,所以,所以.故选:B【点睛】本题考查向量的数量积运算,解题的关键在于根据题意建立平面直角坐标系,利用坐标法求解,考查运算求解能力,是中档题.9.函数的部分图象如图所示,为了得到的图象,只需将函数的图象 A.向左平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向右平移个单位长度【答案】B【解析】【详解】,,,,,解得:,所以,,,根据平移原则,可知函数向左平移个单位,故选B.10.已知各项都为正数的等比数列,满足,若存在两项,,使得,则最小值为()A2B.C.D.1【答案】B【解析】【分析】先利用等比数列通项公式求得公比,从而推得的值,由此利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【详解】因为正项等比数列满足,设其公比为,则,,所以,得,解得,因为,所以,则,即,故,所以,当且仅当,即时,等号成立,故的最小值为.故选:B.11.已知函数的最小正周期为,若在上有两个实根, ,且,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题设可得,将问题转化为在上与有两个交点且交点横坐标之差,应用数形结合确定的取值范围.【详解】由题设,,则,即,又在上有两个实根,,且,上,,则的图象如下:∴要使,则对应,∴当时,有两个交点且.故选:D12.已知直线是曲线与曲线的一条公切线,与曲线切于点,且是函数的零点,则的解析式可能为()A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】设公切线在曲线上的切点坐标为,在曲线上的切点坐标为,利用导数的几何意义可得出,消去可得出关于的等式,即可得出函数可能的解析式.【详解】由,可得.由,可得.设公切线在曲线上的切点坐标为,在曲线上的切点坐标为,则,整理可得①.曲线在点处的切线方程为,即,曲线在点处的切线方程为,即,所以,,即②,将①代入②中整理可得.因为是函数的零点,所以的解析式可能为.故选:B.第Ⅱ卷(共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.若,满足约束条件,则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】先作出可行域,将目标函数化为,要求的最小值,则需求直线在轴上的截距的最大值,由图可得答案. 【详解】由,满足约束条件作出可行域,如图由,解得由,解得由,解得将目标函数化为,则表示直线在轴上的截距的倍.要求的最小值,则需求直线在轴上的截距的最大值.由图可知,当目标函数过点时,直线在轴上的截距的最大值.此时的最小值为故答案为:14.当时,函数的值域为________.【答案】【解析】【分析】由,求得,化简,结合二次函数的性质,即可求解.【详解】因为,可得, 又由,当,取得最小值;当或,取得最大值,即函数的值域为.故答案为:.【点睛】本题主要考查了函数的值域的求解,其中解答中熟记三角函数的基本关系式和正弦函数的性质,以及二次函数的图象与性质是解答的关键,属于基础题.15.已知函数,则不等式的解集为______.【答案】【解析】【分析】分别在和的情况下,结合指数和对数函数单调性可解不等式求得结果.【详解】当,即时,,,解得:(舍);当,即时,,,解得:,;综上所述:不等式的解集为.故答案为:.16.数列前项和为,,数列满足,则数列的前10项和为______.【答案】65【解析】【分析】由的递推式可得,结合已知条件有,即可求数列的前10项和. 【详解】由知:,则,得,∴,而,∴,故数列的前10项和为,故答案为:65.【点睛】关键点点睛:递推式的应用求条件等式中因式的表达式,进而求数列的通项,最后求前10项和.三、解答题:本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中,角A,B,C对边分别为a,b,c,向量,,且.(1)求角B的大小;(2)若点M为BC中点,且,求.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)利用向量共线的坐标表示,再利用正弦定理边化角及和角的正弦公式求解作答.(2)取CM中点D,连接AD,利用直角三角形边角关系及正弦定理求解作答.【小问1详解】向量,,且,于是,在中,由正弦定理,得,即,整理得,又,因此,而,所以.【小问2详解】取CM中点D,连接AD,由,得,令,而点M为BC中点,则, 由(1)知,于是,,在中,由正弦定理知,所以.18.已知数列是公差不为零的等差数列,,其前n项和为,数列前n项和为,从①,,成等比数列,,②,,这两个条件中任选一个作为已知条件并解答下列问题.(1)求数列,的通项公式;(2)求数列的前n项和.【答案】(1)条件选择见解析;,;(2).【解析】【分析】(1)选条件①:设数列的公差为d,根据等比中项的性质建立方程,解之可求得公差d,由等差数列的通项公式求得,再由,两式相减得数列是首项为1,公比为的等比数列,根据等比数列的通项公式求得;选条件②:由已知得等差数列的公差为,由等差数列的通项公式求得,再由求得,注意时是否满足;(2)由(1)可得:,由错位相减法可求得.【详解】解:(1)选条件①:设数列的公差为d, 由,,成等比数列,可得:,即,解得:或(舍),所以,∵,∴,,两式相减整理得:,,又当时,有,解得:,∴数列是首项为1,公比为的等比数列,∵;选条件②:∵,∴等差数列的公差为,又,∴,又∵,∴当时,有,又当时,有,也适合上式,∵;(2)由(1)可得:,∴·,又,两式相减得:整理得:.19.设. (Ⅰ)求的单调区间;(Ⅱ)在锐角中,角的对边分别为,若,求面积的最大值.【答案】(Ⅰ)单调递增区间是;单调递减区间是(Ⅱ)面积的最大值为【解析】【详解】试题分析:(Ⅰ)首先利用二倍角公式化简函数的解析式,再利用正弦函数的单调性求其单调区间;(Ⅱ)首先由结合(Ⅰ)的结果,确定角A的值,然后结合余弦定理求出三角形面积的最大值.试题解析:解:(Ⅰ)由题意知由可得由可得所以函数的单调递增区间是;单调递减区间是(Ⅱ)由得 由题意知为锐角,所以由余弦定理:可得:即:当且仅当时等号成立.因此所以面积的最大值为考点:1、诱导公式;2、三角函数的二倍角公式;3、余弦定理;4、基本不等式.20.已知.(Ⅰ)若在时有极值,求,的值;(Ⅱ)若,求的单调区间.【答案】(Ⅰ),;(Ⅱ)答案见解析.【解析】【分析】(Ⅰ)求出导函数,由题意可得,解方程组求出,的值,再验证是否在是否取得极值即可.(Ⅱ)由题意求出,讨论、或,利用导数与函数单调性之间的关系即可求解.【详解】解:(Ⅰ)由题意得,则,解得:或,经检验当,时,函数在处无极值,而,满足题意,故,;(Ⅱ) 故,故时,,函数在上递增,当时,函数在递增,在递减,在递增,当时,函数在递增,在递减,在递增.21.已知函数.(1)求证:;(2)若函数有两个零点,求a的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)求出,讨论其符号后可得函数的单调性,结合原函数的最值可得不等式成立.(2)求出,讨论其符号后可得函数的单调性,根据零点的个数可得最值的符号,从而可得a的取值范围,注意利用零点存在定理验证.【小问1详解】,则当时,,当时,,故在上为增函数,在上减函数,故即.【小问2详解】,故,因为,故,所以当时,,当时,,故在上为增函数,在上减函数, 因为函数有两个零点,故即,又当时,对任意,有:,故此时在上有且只有一个零点.下证:当时,总有成立,设,则,故在上为增函数,故,即成立.故当时有由(1)可得,故当时,,故此时在上有且只有一个零点.综上,当有两个零点时,.选考题:请考生在第22、23两道题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.选修4-4:坐标系与参数方程22.数学中有许多寓意美好的曲线,在极坐标系中,曲线被称为“三叶玫瑰线”(如图所示).(1)当,求以极点为圆心,为半径的圆与三叶玫瑰线交点的极坐标;(2)设点P是由(1)中的交点所确定的圆M上的动点,直线,求点P到直线l 的距离的最大值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)由可得,然后解出的值即可;(2)将圆和直线l的极坐标方程转化为直角坐标方程,然后可求出答案.【详解】(1)由可得,所以或所以或因为,所以所以交点的极坐标为(2)由(1)可得圆M的极坐标方程为,转化为直角坐标方程为直线的直角坐标方程为所以点P到直线l的距离的最大值为选修45:不等式选讲23.已知函数.(1)求不等式的解集;(2)若不等式的解集包含,求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)分类讨论,求解不等式即可; (2)将问题转化为二次函数在区间上恒成立的问题,列出不等式组即可求得.【详解】(1)当时,等价于,解得;当时,等价于,恒成立,解得;当时,等价于,解得;综上所述,不等式的解集为.(2)不等式的解集包含,等价于在区间上恒成立,也等价于在区间恒成立.则只需满足:且即可.即,解得.
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