安徽省合肥市第六中学2021-2022学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析）

2021级高一下学期期末考试数学试题注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知平面向量，则与同向的单位向量为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先根据求得，再根据结论：与同向的单位向量为，运算求解．【详解】∵，则∴与同向的单位向量为∴故选：C．2.如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）为纯虚数，那么z的虚部为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据复数除法运算化简复数z，结合纯虚数即可求解结果． 【详解】∵z为纯虚数，∴，∴∴z的虚部为故选：A3.如图，已知正方体的棱长为2，则下列四个结论中错误的是（）A.直线与为异面直线B.平面C.平面平面D.三棱锥的体积为【答案】D【解析】【分析】对于A：根据异面直线定义理解判断；对于B：根据平行四边形的判断和性质可证，结合线面平行的判断定理理解判断；对于C：可证平面，平面，结合面面平行的判定定理理解判断；对于D：根据锥体体积公式运算判断．【详解】根据异面直线的定义易知直线与为异面直线，A正确；∵且，则为平行四边形∴平面，平面∴平面，B正确； 同理可证：平面，平面平面，C正确，D错误故选：D．4.甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，这些小球除颜色外完全相同，从甲、乙两袋中各任取1个球，则下列结论错误的是（）A.2个球颜色相同的概率为B.2个球不都是红球的概率为C.至少有1个红球概率为D.2个球中恰有1个红球的概率为【答案】B【解析】【分析】根据相互独立事件和对立事件的概率的计算公式依次求出每个选项对应的概率即可.【详解】从甲袋中任取1个球，该球为白球的概率为，该球为红球的概率为，从乙袋中取1个球，该球为白球的概率为，该球为红球的概率为．对于A选项，2个球颜色相同的概率为，A对；对于B选项，2个球不都是红球的概率为，B错；对于C选项，至少有1个红球的概率为，C对；对干D选项，2个球中恰有1个红球的概率为，D对．故选：B5.在中，角所对的边分别为，若，则（） A.B.或C.D.或【答案】D【解析】【分析】根据，利用正弦定理得到求解.【详解】因为在中，，所以因为，所以，因为则,或故选：D6.已知在三棱锥M-ABC中，MA⊥平面ABC，，且为直角三角形，则该三棱锥的外接球的体积为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得，又由为直角三角形，可得，于是有BC⊥平面MAB，所以MC的中点O到M，A，B，C四点距离相等，即为四面体M-ABC外接球球心，求出的长度即可知球半径，再根据球的体积公式计算即可.【详解】解：因为MA⊥平面ABC，平面ABC，所以，同理，又，且为直角三角形，所以，又，AB，平面MAB，所以BC⊥平面MAB，又平面MAB，所以，所以MC的中点O到M，A，B，C四点距离相等，即为四面体M-ABC外接球球心，又由已知得，， 所以该三棱锥的外接球的半径为，所以该三棱锥的外接球体积为．故选：B.7.如图所示，在同一个平面内，向量，，满足：，与的夹角为，且，与的夹角为45°，若，则（）A.1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由向量加法的平行四边形法则可得，结合正弦定理可得，根据题意运算求解．【详解】如图根据向量加法的平行四边法则可设：则∴在△中，由正弦定理可得：∵且为锐角，则 ∴故选：C．8.等边的边长为，过点的直线与过的平面交于点．将平面绕转动（不与平面重合），且三条直线、、与平面所成的角始终相等．当三棱锥体积最大时，与平面所成角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设点在平面内的射影为点，连接、、，推导出，为的外心，分析可知当平面时，三棱锥的体积最大，利用正弦定理求出的长，即可求得与平面所成角的余弦值.【详解】如下图所示：设点在平面内的射影为点，连接、、，由题意可知平面，则，又因为，，所以，，所以，，，则为的外心，当平面时，三棱锥的体积最大，、平面，，， 所以，，由余弦定理可得，则，所以，，易知直线与平面所成角为，且，因此，当三棱锥体积最大时，与平面所成角的余弦值为.故选：D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．9.如下四个命题中，说法正确的是（）A.向量长度与向量的长度相等；B.两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；C.两个公共终点的向量，一定是共线向量；D.向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上．【答案】AB【解析】【分析】根据平面向量的相关概念判断即可.【详解】向量与向量是互为相反向量，所以A选项正确，选项B显然正确，选项C显然错误，选项D，也有可能直线AB与直线CD平行；故选：AB10.口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，从中不放回的依次取出两个球，事件“取出的两球同色”，“第一次取出的是红球”，“第二次取出的是红球”，“取出的两球不同色”，下列判断中正确的（）A.A与B相互独立.B.A与D互为对立.C.B与C互斥.D.B与D相互独立；【答案】ABD【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式求出所对应的事件的概率，再根据相互独立事件的定义判断AD，根据对立事件，互斥事件的定义可判断BC.【详解】由题可得，，，，，所以，，所以A与B相互独立，B与D相互独立，故AD正确；对于B，由题意知，取出两个球要么颜色相同，要么颜色不同，即A与D互为对立事件，故B正确；对于C，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，C与D可能同时发生，故C错误.故选：ABD.11.在锐角三角形ABC中，A，B，C为三个内角，a，b，c分别为A，B，C所对的三边，则下列结论成立的是（）A.若，则B.若，则B取值范围是C.D.【答案】ACD【解析】【分析】由正弦定理判断A；由角形为锐角三角形，，所以，即有，根据可得的范围，从而判断B；由，可得，进而得，从而判断C；由，可得，从而判断D.【详解】解：对于选项A，因为A>B，所以有,所以，故正确；对于选项B，因为，则，所以，由可得的取值范围是，故错误； 对于选项C，锐角三角形ABC中，，，∴，同理，，所以故正确；对于选项D，锐角三角形ABC中，因为，即，，又∵，∴，故正确．故选：ACD．12.正方体中，下列说法正确的是（）A.在空间中，过作与夹角都为60°的直线可以作4条B.在空间中，过作与夹角都为45°的直线可以作4条C.棱的中点分别为E，F，在空间中，能且只能作一条直线与直线，，都相交D.在空间中，过与直线，，夹角都相等的直线有4条【答案】AD【解析】【分析】对于选项A、B、D，通过直线在空间中位置关系进行判断；对于选项C，可以找到不止一条直线与都相交.【详解】记过且与夹角都相等的角为，则，夹角都为60°的直线有4条，A正确；夹角都为45°的直线有2条，所以B错误；过与直线，CD，夹角都相等的直线有4条，所以D正确；如图所示，直线分别延长之后与，，都相交；事实上，可以在直线CD上任取一点，都可以作出一条直线与，EF都相交的直线，所以可以作无数条，故C错误．故选：AD.【点睛】本题借助正方体考查空间中直线与直线所成的角和直线与直线的位置关系，解答此类题目时，可以从以下两个角度思考： (1)在正方体（或其它特殊几何体）中，找到符合要求的直线，即可对选项作出判断；(2)空间中与两条直线所形成的角度相等的直线，构成两个平面，在这两个平面上寻找符合要求的直线即可.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.研究下列问题：①合肥市今年“八一”前后的气温；②某种新型电路元件使用寿命的测定；③“安徽新闻联播”的收视率；④近年来我国大学生入学人数的相关数据．其中，通过试验获取数据的是__________．（填写问题对应的序号）【答案】②【解析】【分析】根据获取数据的途径：调查获取数据、通过观察获取数据、通过试验获取数据和通过查询获得数据，对①②③④作出判断即可.【详解】①通过观察获取数据，③通过调查获取数据，④通过查询获得数据，只有②通过试验获取数据．故答案为：②.14.锐角中，内角的对边分别为，若，则的面积的取值范围是________【答案】【解析】【分析】根据余弦定理，求得角A，进而可得面积S表达式，当时，可得，当时，可得，结合条件，即可得答案.【详解】由余弦定理得，因为，所以，所以，当时，，当时，，因为锐角，所以， 所以.故答案为：15.已知圆O的半径为2，A为圆内一点，，B，C为圆O上任意两点，则的取值范围是_________．【答案】【解析】【分析】将转化为，结合三角函数的有界性得到取值范围.【详解】如图，连接，设为和的夹角．则，且，，由，当时，有最小值；当时，有最大值为10．所以的取值范围为.故答案为： 【点睛】向量的数量积问题，通常处理思路：（1）建立平面直角坐标系，利用坐标进行求解；（2）利用向量基本定理对向量进行转化求解；（3）利用极化恒等式求解16.在侧棱长为，底面边长为2的正三棱锥P-ABC中，E，F分别为AB，BC的中点，M，N分别为PE和平面PAF上的动点，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】取中点,连接交于点,,易证得面,要求的最小,即求最小,可得平面，又可证明∥,再把平面绕旋转,与面共面,.结合数据解三角形即可.【详解】解：取中点,连接交于点,,易证得面,要求的最小,即求最小,可得平面，又可证明∥,再把平面绕旋转,与面共面,又可证得.因为，，又因为,，所以,所以，即，所以,所以,可得，. 故答案为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知复数，，其中．（1）当时，求；（2）若，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用复数的乘法运算即得；（2）利用复数的运算，复数的模即二次不等式即得.【小问1详解】当时，．【小问2详解】∵，于是，又，所以，即，解得．18.已知向量，，，．（1）若，且，求x的值；（2）是否存在实数，使得？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）或；（2）存在；.【解析】【分析】（1）根据平面向量平行的坐标表示可得答案；（2）根据平面向量垂直的坐标表示可得答案. 【小问1详解】∵，又，∴，即．又，∴或；【小问2详解】∵，，若，则，即，∴．由得，得．∴当时，．19.（1）树人中学高一（1）班50名同学期中考试（100分制）数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是，，，，，，试求数学成绩的分位数（保留一位小数）；（2）树人中学组建足球队备战全市高中生足球联赛．队员分别来自高一、高二两个年级，且高一年级队员占队员总数的．已知高一年级队员体重（单位：kg）的平均数为70，方差为300；高二年级队员体重的平均数为60，方差为200．求足球队全体队员体重的平均数及方差．【答案】（1）；（2）平均数为；方差为．【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图，每个长方形的面积之和为，求出的值，进而根据百分位数的求解方法得出分位数；（2）根据各个样本的平均数与方差求解总的样本平均数与方差，直接代入公式即可.【详解】（1）由频率分布直方图可知：，解得：，于是，占比，占比，占比，故数学成绩的80%分位数为；（2）由题意知：高一队员在所有队员中所占权重为，，高二年级队员在所有队员中所占权重为，，全部队员体重的平均数为．全部队员的体重的方差为：．20.在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C所对边，．（1）求A；（2）若，求BC边上的高．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用三角恒等变换或正、余弦定理即可.(2)利用余弦定理以及三角形的面积公式求解.【小问1详解】由可得，则， 方法一：，即．因为在中，，，且，同号，所以，即．方法二：同上，得，由正弦定理得由余弦定理得整理得，则，则，又，故．【小问2详解】由（1）知，．由余定理得，即，所以．于是，．设BC边上的高为h，则，即，，即BC边上的高为．21.一个盒中装有红、白两种颜色的玻璃球，其中红球3个，白球2个．（1）若一次从盒中随机取出2个玻璃球，求至少取到一个白色球的概率；（2）依次从盒中随机取球，每次取一个，取后不放回．当某种颜色的球全部取出后即停止取球．求最后一次取出的是红色玻璃球的概率．【答案】（1）；（2）.【解析】 【分析】（1）给5个球编号，利用古典概率公式结合列举法求解作答.（2）求出最后取出红球和取出白球的不同取法数，再利用古典概率公式计算作答.【小问1详解】记3个红球为，2个白球为，从盒中一次取出2个玻璃球，不同结果有：，共10个，至少取到一个白色球的不同结果有：，共7个，所以至少取到一个白色球的概率.【小问2详解】依题意，红球全部取出后停止取球有：取球三次有1种方法；取球四次，则前三次取白球一次，有3种方法，因此，红球全部取出后停止取球的不同方法有4种，白球全部取出后停止取球有：取球两次有1种方法；取球三次，则前两次取红球一次，有2种方法；取球四次，则前三次取红球两次，有3种方法，因此，白球全部取出后停止取球的不同方法有6种，从而，当某种颜色的球全部取出后即停止取球的不同取法数是10，所以，最后一次取出的是红色玻璃球的概率.22.如图，在三棱台中，与、都垂直，已知，．（1）求证：平面平面；（2）直线与底面所成的角的大小为多少时，二面角的余弦值为？（3）在（2）的条件下，求点C到平面的距离．【答案】（1）证明见解析； （2）；（3）.【解析】【分析】（1）证明平面平面面面垂直，即证平面线面垂直，即证，线线垂直；（2）根据面面垂直的性质定理作出，根据二面角的定义作出为二面角的平面角，根据解三角形以及，得，进而表示出，再利用三角恒等变换公式求出；（3）点C到平面的距离即为点C到平面的距离．注意到，并结合可知，点C到平面的距离即点到平面ABC的距离，再利用第（2）问求的长即可.【小问1详解】∵与、都垂直，又由棱台的性质，∴，，又，∴平面，又平面．故平面平面．【小问2详解】由（1）知，平面平面．如图所示，过作于D，则平面，∴是与平面所成的角，即．作于E，则为二面角的平面角．在中，易得．中，，，，． 由，得．∵，∴，即，于是，，，注意到，故．【小问3详解】点C到平面的距离即为点C到平面的距离．，，，，又由可知，点C到平面的距离即点到平面ABC的距离，由（2）知，平面ABC，且，于是，C到平面的距离为．