第19章矩形、菱形与正方形19.3正方形课件

19.3正方形第19章矩形、菱形与正方形 观察下面图形，正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在.情景引入你还能举出其他的例子吗？ 矩形〃〃问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？问题引入正方形正方形的性质 问题2菱形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么发现？正方形 一组邻边相等矩形〃〃正方形〃〃菱形一个角是直角正方形∟正方形的定义：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.归纳总结 已知：如图，四边形ABCD是正方形.求证：正方形ABCD四边相等，四个角都是直角.ABCD证明：∵四边形ABCD是正方形.∴∠A=90°，AB=AD(正方形的定义).又∵正方形是平行四边形，∴正方形是矩形(矩形的定义)，正方形是菱形(菱形的定义).∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD.证一证 已知：如图，四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO，AC⊥BD.ABCDO证明：∵正方形ABCD是矩形，∴AO=BO=CO=DO.∵正方形ABCD是菱形，∴AC⊥BD. 矩形菱形正方形平行四边形平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：性质：1.正方形的四个角都是直角，四条边相等；2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.归纳总结正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质，正方形都有.四边形 正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴.由于正方形既是菱形，又是矩形，因此：知识要点ABCD 例1求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.ADCBO已知:如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O.求证:△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.证明:∵四边形ABCD是正方形，∴AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO.∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.典例精析 例2如图，在正方形ABCD中，△BEC是等边三角形，求证：∠EAD=∠EDA=15°.证明：∵△BEC是等边三角形，∴BE=CE=BC，∠EBC=∠ECB=60°.∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD，∠ABC=∠DCB=90°.∴AB=BE=CE=CD，∠ABE=∠DCE=30°.∴△ABE，△DCE是等腰三角形.∴∠BAE=∠BEA=∠CDE=∠CED=75°.∴∠EAD=∠EDA=90°-75°=15°. 【变式题1】四边形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一边为边作等边△ADE，求∠BEC的大小．解：当点E在正方形ABCD外部时，如图①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.∴∠AEB＝15°.同理可得∠DEC＝15°.∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°； 当点E在正方形ABCD内部时，如图②，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，∴∠AEB＝75°.同理可得∠DEC＝75°.∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.综上所述，∠BEC的大小为30°或150°.易错提醒：因为等边△ADE与正方形ABCD有一条公共边，所以它们的边相等．本题分点E在正方形的外部和在正方形的内部两种情况． 【变式题2】如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连结AC、PD．（1）求证：△APB≌△DPC；证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠DCB=90°．∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB．∴∠ABC-∠PBC=∠DCB-∠PCB，即∠ABP=∠DCP．又∵AB=DC，PB=PC，∴△APB≌△DPC． 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=∠DAC=45°．∵△APB≌△DPC，∴AP=DP．又∵AP=AB=AD，∴DP=AP=AD，即△APD是等边三角形．∴∠DAP=60°．∴∠PAC=∠DAP-∠DAC=15°，∠BAP=∠DAB-∠DAP=30°．∴∠BAP=2∠PAC．（2）求证：∠BAP=2∠PAC． 例3如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F.试说明：AP=EF.ABCDPEF解：连结PC，AC.又∵PE⊥BC，PF⊥DC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠FCE=90°，BD垂直平分AC.∴四边形PECF是矩形.∴PC=EF.∴AP=PC.∴AP=EF.在正方形的背景下证明两条线段相等：通常连结对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线、角平分线、等腰三角形等图形的性质来推导.归纳 1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是()A.四个角相等B.对角线互相垂直平分C.对角互补D.对角线相等2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（）A.四条边相等B.对角线互相垂直平分C.对角线平分一组对角D.对角线相等BD练一练 3.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，OA＝2，求该正方形的周长与面积．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OD＝2.在Rt△AOD中，由勾股定理，得∴该正方形的周长为4AD＝，面积为AD2＝8. 活动1准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.正方形猜想满足怎样条件的矩形是正方形？矩形正方形一组邻边相等/对角线互相垂直正方形的判定 已知：如图，在矩形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC⊥DB.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=CO=BO=DO，∠ADC=90°.∵AC⊥DB，∴AD=AB=BC=CD.∴四边形ABCD是正方形.证一证对角线互相垂直的矩形是正方形.ABCDO 活动2把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状，量量看是不是正方形.正方形菱形猜想满足怎样条件的菱形是正方形？正方形一个角是直角/对角线相等 已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC=DB.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，AC⊥DB.∵AC=DB，∴AO=BO=CO=DO.∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC是等腰直角三角形.∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°.∴四边形ABCD是正方形.证一证对角线相等的菱形是正方形.ABCDO 正方形判定的几条途径：正方形正方形++先判定菱形先判定矩形矩形条件(二选一)菱形条件(二选一)一个直角/一组邻边相等/总结归纳对角线相等对角线垂直平行四边形正方形一组邻边相等，且一内角是直角 在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（）A．AC=BD，AB∥CD，AB=CDB．AD∥BC，∠BAD=∠BCDC．AO=BO=CO=DO，AC⊥BDD．AO=CO，BO=DO，AB=BC练一练CABCDO 例4在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．求证：四边形EFMN是正方形．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵AE=BF=CM=DN，∴AN=BE=CF=DM.分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，得四边形EFMN是菱形，再证有一个角是直角即可.典例精析 在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，AE=BF=CM=DN，∠A=∠B=∠C=∠D，AN=BE=CF=DM，∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM.∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF.∴四边形EFMN是菱形.又∠NEF=180°-(∠AEN+∠BEF)=180°-(∠AEN+∠ANE)=180°-90°=90°.∴四边形EFMN是正方形. 证明：∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠DEC=∠DFC=90°.又∵∠C=90°，∴四边形CEDF是矩形.过点D作DG⊥AB于点G.∵AD是∠CAB的平分线，∴DE=DG.同理，DG=DF，∴DE=DF.∴四边形CEDF为正方形.例5如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F.求证：四边形CEDF为正方形.ABCDEFG 例6如图，EG，FH过正方形ABCD的对角线交点O，且EG⊥FH.求证：四边形EFGH是正方形.证明：∵四边形ABCD为正方形，∴OB=OC，∠ABO=∠BCO=45°，∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.∵EG⊥FH，∴∠BOE+∠BOH=90°.∴∠COH=∠BOE.∴△CHO≌△BEO.∴OE=OH.同理可证：OE=OF=OG.BACDOEHGF ∴OE=OF=OG=OH，即EG与FH互相垂直平分.∴四边形EFGH为菱形.∵EO+GO=FO+HO，即EG=HF，∴四边形EFGH是正方形.BACDOEHGF 例7如图，正方形ABCD中，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE．（1）求证：BF=DE；（2）当点E运动到AC中点时(其他条件都保持不变)，问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°.∵AF⊥AC，∴∠EAF=∠BAD=90°.∴∠BAF=∠DAE.在△ABF和△ADE中，AB=AD，∠BAF=∠DAE，AF=AE，∴△ABF≌△ADE(S.A.S.).∴BF=DE. （2）解：当点E运动到AC的中点时，四边形AFBE是正方形.理由：∵点E运动到AC的中点，AB=BC，∴BE⊥AC，BE=AE=AC.∵AF=AE，∴BE=AF=AE.又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90°，∴BE∥AF.∵BE=AF，∴四边形AFBE是平行四边形.∵∠FAE=90°，AF=AE，∴四边形AFBE是正方形． 思考前面学菱形时我们探究了顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.顺次连结矩形各边中点能得到菱形，那么顺次连结正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？ABCDABCD矩形正方形平行四边形菱形正方形EFGHEFGHABCDEFGH平行四边形 2.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是（　）A.2cm2B.4cm2C.6cm2D.8cm2A1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（　）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．对角线互相垂直且相等A 3.在正方形ABCD中，∠ADB=°，∠DAC=°，∠BOC=°.4.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是°.ADBCOADBCOE459022.5第3题图第4题图45 5.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，请添加一个条件____________________，可得出该四边形是正方形．AB=BC(答案不唯一)ABCDO6.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是_____________（只填写序号）．②③或①④ 7.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长．解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm.∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.又∵∠ECF＝45°，∴△EFC是等腰直角三角形.∴EF＝FC.∵∠B＝∠EFA＝90°，∠BAE＝∠FAE，AE＝AE，∴△ABE≌△AFE.∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF.∴FC＝BE.在Rt△ABC中，∴FC＝AC－AF＝(－1)cm.∴BE＝(－1)cm． 8.如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.解：BE=DF，且BE⊥DF.理由如下：∵四边形ABCD是正方形.∴BC=DC，∠BCE=90°.∴∠DCF=180°-∠BCE=90°.∴∠BCE=∠DCF.又∵CE=CF.∴△BCE≌△DCF.∴BE=DF.ABDCFE 延长BE交DF于点M，∵△BCE≌△DCF,∴∠CBE=∠CDF.∵∠DCF=90°，∴∠CDF+∠F=90°，∴∠CBE+∠F=90°，∴∠BMF=90°.∴BE⊥DF.ABDFECM 9.如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分ABC，P是BD上一点，过点P作PMAD，PNCD，垂足分别为M、N.(1)求证：ADB=CDB；(2)若ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形.CABDPMN证明：(1)∵BD平分∠ABC.∴∠1=∠2.又∵AB=BC，BD=BD，∴△ABD≌△CBD(S.A.S.).∴∠ADB=∠CDB.12 （2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD=∠PND=90°.又∵∠ADC=90°，∴四边形MPND是矩形.∵∠ADB=∠CDB，∴∠ADB=45°.∴∠MPD=45°.∴DM=PM.∴四边形MPND是正方形.CABDPMN 10.如图，△ABC中，D是BC上任意一点，点E，F分别在AB，AC上，且DE∥AC，DF∥AB．（1）试说明四边形AEDF的形状，并说明理由；（2）连结AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形？为什么？解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形.（2）AD平分∠BAC.理由如下：当AD平分∠BAC时，∠EAD=∠FAD.∵DE∥AC，∴∠EDA=∠FAD.∴∠EAD=∠EDA.∴EA=ED.∴□AEDF为菱形. （3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形？不必说明理由．解：在（2）的条件下，四边形AEDF为菱形，故只需△ABC满足∠BAC为直角即可使四边形AEDF为正方形． 1.四个角都是直角2.四条边都相等3.对角线相等且互相垂直平分正方形的性质性质定义有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 5种判定方法三个角是直角四条边相等一个角是直角或对角线相等一组邻边相等或对角线垂直一组邻边相等或对角线垂直一个角是直角或对角线相等一个角是直角且一组邻边相等平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结