安徽省滁州市定远中学2023届高三数学下学期第二次模拟试卷（Word版附解析）

2023届高三数学第二次模拟检测试卷第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合，则（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】解得集合，与集合取交集.【详解】，即，由，得.故选:B.2.已知，其中为虚数单位，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的运算法则求出，再根据共轭复数定义求.【详解】因为所以故．故选：B．3.中，点M是BC的中点，点N为AB上一点，AM与CN交于点D，且，.则（）.A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据向量基本定理得到，结合平面向量共线定理得推论得到，求出.【详解】因为点M是BC的中点，所以，故，则，故，因为三点共线，所以存在使得，即，则，所以，解得：.故选：A4.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，是指在下雨时可以用圆台形的盆接雨水来测量降雨量．若一个圆台形盆的上口直径为40cm，盆底直径为20cm，盆深20cm，某次下雨盆中积水9cm，则这次降雨量最接近（注：降雨量等于盆中水的体积除以盆口面积）（）A.5cmB.5.3cmC.5.5cmD.5.8cm【答案】B【解析】【分析】根据圆台的体积公式求出水的体积，再除以盆口面积即可.【详解】根据题意，盆中水的体积约为，降雨量等于．故选：B．5.从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】利用古典概率模型求解.【详解】从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字构成一个两位数，共有种方法，这个两位数大于40的共有共8种，故这个两位数大于40的概率为，故选:B.6.将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数在区间上单调递增，则的最大值为A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】将函数的图象向左平移个单位，可得函数，求得其单调递增区间为，令，可得函数的单调递增区间为，进而根据函数在区间上单调递增，即可求解.【详解】由题意，将函数的图象向左平移个单位，可得函数，令，解得即函数的单调递增区间为，令，可得函数的单调递增区间为，又由函数在区间上单调递增，则的最大值为，故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象变换得到函数的解析式，再根据三角函数的性质，求得其单调递增区间是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题.7.已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，， ，则球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，证明平面，再确定球心O的位置，求出球半径作答.【详解】在三棱锥中，如图，，则，同理，而平面，因此平面，在等腰中，，则，，令的外接圆圆心为，则平面，，有，取中点D，连接OD，则有，又平面，即，从而，四边形为平行四边形，，又，因此球O的半径，所以球的表面积.故选：A8.设，，，则（）A.a＜b＜cB.c＜b＜aC.c＜a＜bD.a＜c＜b 【答案】D【解析】【分析】构造函数，根据导数探究单调性，即可判断和的大小；构造函数，再令，通过二次求导探究单调性，即可判断和的大小.【详解】由，，，得，，，构造函数，则，当时，x＝1，时，，单调递减；时，，单调递增，在x＝1处取最小值，时，，即，取，得，，，即；设，则，令，，因为当时，令，，单调递减， 又时，，则，即，所以，因为当时，，所以当时，，函数单调递增，又，所以，即，所以当时，函数单调递增，所以，即，，即，.故选：D【点睛】关键点睛：本题考查构造函数，利用导函数探究单调性来比较大小，考查求导运算，属于中档题.二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）9.已知函数则（）A.没有极值点B.当时，函数图像与直线y＝m有三个公共点C.点是曲线的对称中心D.直线是曲线的切线【答案】CD【解析】【分析】证明函数为奇函数即可判断C，由导数判断函数的单调性，得到函数的大致图像，即可判断AB，然后根据导数的几何意义即可判断D.【详解】因为，时， ，所以为奇函数，则关于点对称，故选项C正确；当时，，令，解得，∴在上单调递增，在上单调递减，，又为奇函数，画出的大致图像，由图知选项A错误，选项B错误；假设是曲线的切线，设切点为，则，解得，或；当时，直线是曲线的切线，故选项D正确．故选：CD．10.已知正方体的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱上运动，N在底面ABCD内（N可以在正方形ABCD边上）运动，线段MN中点的轨迹为Ω，Ω与平面ABCD、平面和平面围成的区域内有一个小球，球心为O，则（）A.球O半径的最大值为B.Ω被正方体侧面截得曲线的总长为C.Ω的面积为D.Ω与正方体的表面所围成的较小的几何体的体积为【答案】ABD【解析】【分析】根据直角三角形的几何性质可以确定MN中点的轨迹Ω是以D为球心，1 为半径的球面在正方体内部的部分，由此判断出B、C、D；球O半径取最大值时与Ω与平面ABCD、平面和平面相切，根据几何关系判断A.【详解】连接DN，当M不在底面ABCD内时△MND为直角三角形，所以MN中点到D的距离为1，所以MN中点的轨迹Ω是以D为球心，1为半径的球面在正方体内部的部分，设球O半径最大值为r，当球O半径最大时，球O与平面ABCD、平面、平面和轨迹Ω都相切，因为球D半径为1，两球的球心距离为1－r，，所以，，所以A正确；因为Ω被正方体一个侧面截得曲线的长度是1为半径的圆的，所以Ω被正方体侧面截得曲线总长为，B正确；因为Ω是半径为1球面的，所以Ω的面积为，C错误；因为Ω与正方体的表面所围成的较小的几何体的体积为球体积的，所以体积等于，D正确；故选：ABD．11.已知是抛物线的焦点，，是抛物线上的两点，为坐标原点，则（）A.若，则的面积为 B.若垂直的准线于点，且，则四边形的周长为C.若直线过点，则的最小值为1D.若，则直线恒过定点【答案】ACD【解析】【分析】利用抛物线焦点弦的性质，可判定A，C正确；利用拋物线的定义，数形结合求解四边形的周长，可判定判断B不正确；设直线的方程为，联立方程组，结合根与系数的关系，求得的值，可判定D正确．【详解】对于选项A中，设，由焦半径公式得，解得，所以，所以，所以A正确；对于选项B中，由题意知，根据抛物线的定义可知，设与轴的交点为，易知，，故，所以四边形的周长为，所以B错误；对于选项C中，若直线过点，则当轴时，最小，且最小值为1，所以C正确；对于选项D，设直线，，，联立直线与抛物线方程得，则，所以，由可得，即，解得，故直线的方程为，即直线恒过定点，选项D正确．故选ACD．【点睛】对于抛物线的焦点弦的性质的结论拓展：若是一条过抛物线焦点的弦，当所在直线的倾斜角为，设， ，可得，则，弦长；同时通径是指过抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的弦，弦长等于，且通径是过焦点的最短的弦．12.已知奇函数，恒成立，且当时，，设，则（）A.B.函数为周期函数C.函数在区间上单调递减D.函数的图像既有对称轴又有对称中心【答案】BCD【解析】【分析】由与的关系式及的周期性、奇偶性，即可求和判断的周期，进而判断A和B；利用奇函数性质求在上的解析式，结合的周期性及求上的解析式判断C，利用对称性判断、是否成立判断D.【详解】因为，所以，，又为奇函数，故，利用，可得，故的周期为4；因为周期为4，则的周期为4，又是奇函数，所以，A错误，B正确；当时，，因为为奇函数，故时，，因为恒成立，令，此时，，则，，故时，，令，即，则，即；令，即，则，即； 令，即，，所以，根据周期性在上的图像与在相同，所以，当，即时，，故在上单调递减，C正确；由是周期为4的奇函数，则且，所以，故关于对称，，所以关于对称，D正确.故选：BCD第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.在的展开式中含的项为第5项，设，则的值为____________．【答案】255【解析】【分析】利用给定条件，求出n的值，再利用赋值法求解作答.【详解】展开式的通项为，依题意，时，，解得，令，，，所以. 故答案为：25514.已知圆：和圆：的公共弦所在直线横过定点P，若过点P的直线l被圆上截得的弦长为，则直线l的方程为_____________．【答案】x＝2或y＝1【解析】【分析】两圆方程相减，可得公共弦所在直线方程，从而得定点的坐标，由题意知圆心到直线l的距离为1，设直线l的方程为，利用点到直线的距离公式求出m，然后验证直线x＝2也满足题意，即可得出答案.【详解】两圆方程相减，可得公共弦所在直线为，令，则，所以该直线过定点，过点P的直线l被圆上截得的弦长为时，圆心到直线l的距离为1，设直线l的方程为，所以，∴m＝0，直线l的方程为y＝1，显然直线l的方程为x＝2时也满足题意，故答案为：x＝2或y＝1．15.若曲线在在，两点处的切线互相垂直，则的最小值为________．【答案】##【解析】【分析】化简可得，求出导数可得切线斜率在范围内，即可得出切线斜率必须一个是1，一个是，即可求出.【详解】， 曲线的切线斜率在范围内，又曲线在两点处的切线互相垂直，故在，两点处的切线斜率必须一个是1，一个是.不妨设在A点处切线的斜率为1，则有，，则可得，所以.故答案为：.16.已知曲线C：，点M与曲线C的焦点不重合．已知M关于曲线C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在曲线C上，若m＝1时，的值为a，m＝－1时，的值为b，则的值为_____________．【答案】或【解析】【分析】根据中位线的性质和椭圆的定义求，根据中位线的性质和双曲线的定义求，由此可求.【详解】设曲线C的左右焦点分别为，，若m＝1，则曲线C为椭圆，由中位线及椭圆定义知，，所以；若m＝－1，则曲线C为双曲线，由中位线及双曲线定义知，，所以，，a＋b＝或．故答案为：或. 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.设数列的前n项和，数列满足．（1）求数列和的通项公式；（2）若数列的前n项和，，求数列的前n项和．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据求得的通项公式，再代入即可；（2）根据裂项相消求得，代入，再用错位相减法求得.【小问1详解】当n＝1时，；由得（n≥2）， ∴（n≥2），又也符合，∴，．【小问2详解】，∴．∴，①∴，②①，②两式相减得：，所以．18.在中，角，，的对边分别为，，，．（1）求；（2）再从条件①、条件②这两组条件中选择一组作为已知，使存在且唯一确定，求．条件①：，；条件②：；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据已知条件代入二倍角的余弦公式，化简可得，即可求解； （2）若选条件①：根据余弦定理得到，则，无解；若选条件②：根据，，得到，又根据正弦定理得到，解得，后代入正弦定理即可求解．【小问1详解】解：因为，所以，所以，则，又，；【小问2详解】若选条件①：因为，所以，所以，则，故无解；若选条件②：因为，又，所以，由正弦定理得：，所以，所以，又，所以，，因为，所以.19.2022年1月初，某市爆发了一种新型呼吸道传染疾病，该疾病具有较强的传染性，为了尽快控制住该传染病引起的疫情，该市疫情监控机构统计了1月12日到15日每天新增病例的情况，统计数据如表： 1月x日12131415新增病例y人26292831（1）已知在1月12日新增的26人病例中有16人年龄在60岁以上，工作人员从这26人中任选2人研究病人的感染情况，若这2人中60岁以上的人数为X，试求X的分布列；（2）疫情监控机构对题中的统计数据作线性回归分析，可以根据表格中的数据建立y关于x的线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；（3）根据（2）中的线性回归方程，预测到哪一天新增病例人数将超过36人⋅附：对于一组组数据，，，…，，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．参考数据：．【答案】（1）分布列见解析（2）y＝1.4x＋9.6（3）1月19日新增病例人数将超过36人．【解析】【分析】（1）由条件确定随机变量的可能取值，再求取各值的概率，由此可得分布列；（2）由所给数据，利用最小二乘法结论求即可；（3）根据回归方程预测即可.【小问1详解】X可能的值为，，，，∴X的分布列为X012 P【小问2详解】，∴，∴回归直线方程为y＝1.4x＋9.6；【小问3详解】由，，解得．所以1月19日新增病例人数将超过36人．20.如图，在以为顶点，母线长为的圆锥中，底面圆的直径长为，是圆所在平面内一点，且是圆的切线，连接交圆于点，连接．（1）求证：平面平面；（2）若是的中点，连接，，当二面角的大小为时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）．【解析】 【分析】（1）由条件证明，，根据线面垂直判定定理证明平面，再由面面垂直判定定理证明平面平面；（2）根据二面角的定义证明为二面角的平面角，建立空间直角坐标系，求平面与平面的法向量，结合向量夹角余弦公式锐二面角的余弦值.【小问1详解】∵是圆的直径，与圆切于点，∴，∵底面圆，底面圆，∴，∵，平面，∴平面，又平面，∴，在中，，则，∴，∵，平面，∴平面，又平面，∴平面平面；【小问2详解】∵底面圆，底面圆，∴，，∴为二面角的平面角，∴，如图以为原点，在底面圆内过点作的垂线为轴，分别为轴建立空间直角坐标系， 易知，则，，，，，，由（1）知为平面的一个法向量，设平面的法向量为，，，∵，，∴，，∴，令，得，故平面ODE的一个法向量为，∴．∴平面与平面所成锐二面角余弦值为．21.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为4，A，B是上关于原点对称的两个动点，当垂直于x轴时，的周长为．（1）求的方程；（2）已知的离心率，直线与交于点M（异于点A），直线与交于点N（异于点B），证明：直线MN过定点．【答案】（1）或（2）证明过程见详解【解析】 【分析】(1)根据椭圆的对称性可知：，则的周长为，由题意知，则，从而得到，再根据即可求出的值，从而求出方程；(2)设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，再设直线的方程为，设直线的方程为，联立直线方程，消元列出韦达定理，即可表示出，然后利用两点关于原点对称，纵坐标之间的关系建立等量关系，化简整理进而得出结果.【小问1详解】由题意可知：，又因为A，B是上关于原点对称的两个动点，所以，则的周长为，因为，即，又因为，所以或，故的方程为或.【小问2详解】由题，的方程为，当A，B为椭圆的左右顶点时，直线与轴重合；当A，B为椭圆的上下顶点时，则，所以直线的方程为，与椭圆方程联立可得点，同理可得点，此时直线的方程为； 当A，B不是顶点时，设直线的方程为，，由，整理可得：，，，设直线的方程为，其中，，，由，整理可得：，，所以设直线的方程为，其中，，，由，整理可得：，，所以，所以，整理可得：，所以，因为，则， 整理可得：，将代入上式可得：，也即，因为，所以，所以直线的方程为，恒过定点，综上：直线恒过定点.【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．22.已知函数，，m∈R．（1）设的导函数为，试讨论的零点个数；（2）设，当时，若恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）．【解析】【分析】（1）分离参数得，将零点问题转换为交点问题，求得的导数，根据其单调性画出大致函数图象，分类讨论m的取值与函数交点个数的关系即可；（2）简化不等式，根据不等式特征构造函数，求导新函数的导数判断其单调性，根据新函数单调性将外函数的大小比较简化成内函数的大小比较，再求解内函数的大小关系即可求得实数m的取值范围.【小问1详解】，令，函数的零点即为的方程的根，令，，当x＜－3或x＞1时，，单调递增， 当－3＜x＜1时，，单调递减，且，，x→∞时，，x→＋∞时，，且当或时，当时，则的大致图象如图所示：由数形结合可知，当m＝－2e或时，有一个零点；当－2e＜m≤0或时，有两个零点；当时，有三个零点；当m＜－2e时，无零点．小问2详解】当时，若成立，即对恒成立，即对恒成立，亦即对恒成立，设函数，∴对恒成立，又， 设，∴，∴当时，，此时点在上单调递减，当时，，此时在上单调递增，∴，∴在R上单调递增，又，∴在上恒成立，令，则， ①当m≤1时，在上恒成立，∴，此时满足已知条件， ②当m＞1时，由，解得x＝m，当时，，此时在上单调递减；当时，，此时在上单调递增；∴的最小值，解得1＜m≤e，综上，m的取值范围是．【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．