湖北省荆门市龙泉中学、 、宜昌一中三校2022-2023学年高三数学下学期5月联考试题（Word版附答案）

2023年高三下学期5月三校联考高三数学试卷命题学校：宜昌一中命题教师：高三数学备课组审题学校：荆州中学、龙泉中学考试时间：2023年5月18日下午15:00—17:00试卷满分：150分★祝考试顺利★一、选择题：本大题共8小题，每一小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，若中恰有两个元素，则实数的取值范围为A．B．C．D．2．已知复数是关于的方程（）的一个解，则复数在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知平面向量，，满足，，且．若，则A．B．C．D．4．由经验可知，某种质地的沙子堆放成圆锥的形状，若要使沙堆上的沙子不滑落，其母线与底面的最大夹角为．现有一堆该质地的沙子堆成的沙堆，该沙堆的底面半径为，高为．现在为了节省该沙堆的占地，需要用一个无盖的圆柱形容器盛放这些沙子，沙子可以超出该容器，且超出部分呈圆锥形．已知该容器的底面半径为，则该容器的高至少为A．B．C．D．5．若，，则等于A．B．C．D．6．某同学喜爱球类和游泳运动．在暑假期间，该同学上午去打球的概率为．若该同学上午不去打球，则下午一定去游泳；若上午去打球，则下午去游泳的概率为．已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为A．B．C．D．7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于点，．直线为在点处的切线，点关于的对称点为．由椭圆的光学性质知，，，三点共线．若，，则A．B．C．D． 8．设函数，若正实数使得存在三个两两不同的实数，，满足，，，恰好为一个矩形的四个顶点，则的取值范围为A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知正四棱锥的所有棱长相等，，分别是棱，的中点，则A．B．面C．D．面10．某学校一同学研究温差与本校当天新增感冒人数(人)的关系，该同学记录了5天的数据：5689121720252835经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则A．样本中心点为B．C．时，残差为D．若去掉样本点，则样本的相关系数增大11．已知函数在上有最大值，则A．的取值范围为B．在区间上有零点C．在区间上单调递减D．存在两个，使得 12．在平面直角坐标系中，已知点是圆上的一个动点，直线与圆交于另一点，过点作直线的一条垂线，与圆交于点，则下列说法正确的是A．B．C．若，则D．的最大正切值为 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．已知的展开式的第7项为常数项，则正整数的值为________．14．若函数在区间上单调递增，则的取值范围为________．15．科拉茨是德国数学家，他在1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半（即）；如果是奇数，则将它乘3加1（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．这是一个很有趣的猜想，但目前还没有证明或否定．如果对正整数（首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现），则满足条件的的所有不同值的和为 ________．16．在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，，是其准线上的两个动点，且，线段，分别与抛物线交于，两点．记的面积为，的面积为．当时，________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列的各项均不为0，其前项和满足，，且．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．18．（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，面积为，已知．（1）若，求；（2）若，，求的面积．19．（12分）如图，在三棱柱中，平面，点为棱的中点，．（1）求证：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦的最大值． 20．（12分）某手机APP公司对喜欢使用该APP的用户年龄情况进行调查，随机抽取了100名喜欢使用该APP的用户，年龄均在周岁内，按照年龄分组得到如下所示的样本频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，估计使用该视频APP用户的平均年龄的第分位数（小数点后保留2位）；（2）若所有用户年龄近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，试估计喜欢使用该APP且年龄大于61周岁的人数占所有喜欢使用该APP的比例；（3）用样本的频率估计概率，从所有喜欢使用该APP的用户中随机抽取8名用户，用表示这8名用户中恰有名用户的年龄在区间岁的概率，求取最大值时对应的值．附：若随机变量服从正态分布，则：，，．21．（12分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线，与轴交于点，与双曲线的一条渐近线交于点，且，．（1）求双曲线的方程；（2）设过点与轴不重合的直线交双曲线于，两点，直线，分别交于点，，求证：．22．（12分）设函数，．（1）若函数在处的切线的斜率为2．①求实数的值；②求证：存在唯一极小值点且．（2）当时，若在上存在零点，求实数的取值范围． 2023年高三下学期5月三校联考高三数学试卷参考答案一、选择题：题号12345678答案ADABDCCD二、选择题：题号9101112答案BCACDABCABD三、填空题：13．14．15．16．四、解答题：17．【解析】（1）因为，所以．两式相减，得．因为，所以．2分所以是以1为首项，4为公差的等差数列，是以3为首项，4为公差的等差数列．所以，．4分故．5分（2）因为，6分所以．8分因为，所以．10分18．【解析】（1）因为，所以，1分因为，代入上式可解得，即，3分所以，，4分所以．6分（2）因为，所以，即，因为，，所以，8分 由余弦定理知，所以，解得，10分所以.12分19．【解析】（1）因为点为棱的中点，，所以．1分因为平面，平面，所以．又因为，平面，所以平面．3分因为平面，所以．4分（2）设．以为轴，为轴，过点与垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则．5分所以，6分设平面的法向量为，所以令，则，．所以．8分所以10分（当且仅当，即时，等号成立）．所以直线与平面所成角的正弦的最大值为．12分20．【解析】（1）第85%分位数=（岁）．3分（2）因为，5分所以，所以，所以使用该APP且年龄大于61周岁的人数占左右喜欢使用该APP的2.275%．7分（3）根据题意，要使取得最大值，则9分所以解得，因为，所以．12分21．【解析】（1）设双曲线的焦距为，其中，则．所以，．1分 由，有，得．所以，．2分因为双曲线的渐近线方程为，有，所以，．由，有，即，得．4分所以．所以的方程为．5分（2）设的方程为，，．联立方程组得．所以，，，．7分所以．10分所以，即．因为，所以．12分22．【解析】（1）①因为，所以．所以切线的斜率．又因为切线的斜率为2，所以．解得．2分②由①得，所以，．因为恒成立，所以单调递增．3分又，，所以存在，使．-+极小值所以存在唯一的极小值点，．5分因为，所以．所以．所以．6分（2）．令，即，所以． 令，则．令，得．7分所以当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以当时，取得极小值．即当时，取得极小值．9分又因为，，所以．又因为在上单调递减，所以．10分当时，取得极大值，即当时，取得极大值．又因为，，所以．所以．11分当时，．所以．因为，所以时，在上有零点．所以实数的取值范围为．12分