湖北省武汉市武昌区2022-2023学年高三数学下学期5月质量检测试卷（Word版附答案）

武昌区2023届高三年级5月质量检测数学本试卷共6页，共22题．满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）．A．B．C．D．2．已知复数z满足，则（）．A．1B．C．2D．3．已知不重合的平面，及不重合的直线m，n，则（）．A．若，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则4．把1，2，3，4，5这5个数排成一列，则满足先增后减（例如：1，3，5，4，2）的数列的个数是（）．A．6B．10C．14D．205．如图，在中，M为线段的中点，G为线段上一点，，过点G的直线分别交直线，于P，Q两点，，，则的最小值为（）． A．B．C．3D．96．已知，，，则（）．A．B．C．D．7．已知，分别为双曲线的左，右焦点，直线l过点，且与双曲线右支交于A，B两点，O为坐标原点，，的内切圆的圆心分别为，，则面积的取值范围是（）．A．B．C．D．8．设，，，，则a，b，c，d间的大小关系为（）．A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知实数数列的前n项和为，下列说法正确的是（）．A．若数列为等差数列，则恒成立B．若数列为等差数列，则，，，…为等差数列C．若数列为等比数列，且，，则D．若数列为等比数列，则，，，…为等比数列10．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，角的终边与圆心在坐标原点，半径为2的圆交于点，射线绕点O按逆时针方向旋转弧度后交该圆于点B，记点B的纵坐标y关于的函数为．则下列说法正确的是（）． A．B．函数的图象关于直线对称C．函数的单调递增区间为D．若，，则11．如图，已知正方体的棱长为2，P为底面内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（）．A．三棱锥的体积为定值B．存在点P，使得C．若，则P点在正方形底面内的运动轨迹长为D．若点P是的中点，点Q是的中点，过P，Q作平面平面，则平面截正方体的截面面积为12．已知非常数函数及其导函数的定义域均为R，若为奇函数，为偶函数，则（）．A．B． C．D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知点，，动点M满足，则点M到直线的距离可以是__________．（写出一个符合题意的整数值）14．已知函数，，则函数的最小值为__________．15．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”。即：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图（1）．卡塔尔世界杯球形金碗，它可以看成半球的一部分，若金碗碗口的直径为8，高为2，其直观图如图（2）所示，则利用祖暅原理可求得该球形金碗的体积为__________．16．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，C在A处的切线与C的准线交于P点，连接．若，则的最小值为__________．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．（1）求；（2）若，求的面积．18．（12分）记为数列的前n项和，已知，．（1）求数列的通项公式；（2）设单调递增等差数列满足，且，，成等比数列．（ⅰ）求数列的通项公式；（ⅱ）设，试确定与的大小关系，并给出证明．19．（12分）如图，四棱锥中，底面是平行四边形，侧面是等边三角形，平面平面，，． （1）证明：；（2）点Q在侧棱上，，过B，Q两点作平面，设平面与，分别交于点E，F，当直线时，求二面角的余弦值．20．（12分）某考生在做高考数学模拟题第12题时发现不会做．已知该题有四个选项，为多选题，至少有两项正确，至多有3个选项正确．评分标准为：全部选对得5分，部分选对得2分，选到错误选项得0分．设此题正确答案为2个选项的概率为．已知该考生随机选择若干个（至少一个）．（1）若，该考生随机选择2个选项，求得分X的分布列及数学期望；（2）为使他此题得分数学期望最高，请你帮他从以下三种方案中选一种，并说明理由．方案一：随机选择一个选项；方案二：随机选择两个选项；方案三：随机选择三个选项．21．（12分）已知椭圆过点，左焦点为．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线与椭圆C交于A，B两点，点M为椭圆C外一点，直线，分别与椭圆C交于点C，D（异于点A，B），直线，交于点N，求证：直线的斜率为定值．22．（12分）已知函数，．（1）讨论函数的单调性； （2）若关于x的方程有两个不相等的实数根，，（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）求证：．武昌区2023届高三年级5月质量检测数学参考答案及评分细则选择题：题号123456789101112答案CCBCBDBBBDBDABDBCD填空题：13．0或114．15．16．解答题：17．（10分）解：因为，所以，又因为，所以，故，所以．（5分）（2）由正弦定理可知：，代入已知条件得，解得，所以的面积为．（10分）18．（12分）解：（1）因为，所以，所以，整理得．又因为，所以当时，， 所以，当时，不满足．所以，．（4分）（2）（ⅰ）设数列的公差为．因为，，成等比数列，且，，，所以，即．又因为，所以．所以数列的通项公式为，．（8分）（ⅱ）．证明如下：由（ⅰ）知，，，所以．当时，；当时，，综上：，．（12分）19．（12分）（1）证明证明：在中，设，因为，由余弦定理可知：，解得．所以，所以．又因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面．（4分）（2）连交于点M，连接，，设交于点H． 在中，过P作直线直线交的延长线于N，易得：，所以点H为线段中点．在中，因为直线平面，平面平面，所以直线直线，且直线过点H，所以点E为线段中点．以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设．则，，，．因为点E为线段中点，所以，由，得．设平面（平面）的法向量为，因为，，由，得，令，则．设平面（平面）的法向量为，因为，，由，得．令，则．所以，所以二面角的余弦值为0．（12分）20．（12分）解：设多选题正确答案是“选两项”为事件，正确答案是“选三项”为事件，则． 考生得0分，2分，5分为事件，，，，．（1）当时，，则正确答案是“选两项”时，考生选2项，全对得5分，有选错得0分；正确答案是“选三项”时，考生选2项，选出了2个正确选项得2分，有选错得0分．因为，所以．因为，所以，．所以，得分X的分布列为：X025P得分X的数学期望．（4分）（2）方案一：随机选择一个选项正确答案是“选两项”时，考生选1项，选对得2分，选错得0分；正确答案是“选三项”时，考生选1项，选对得2分，选错得0分．因为，所以 ．因为，所以所以，随机选择一个选项得分的数学期望．方案二：随机选择两个选项；，，．所以，随机选择两个选项得分的数学期望．方案三：随机选择三个选项．正确答案是“选两项”时，考生选3项，得0分；正确答案是“选三项”时，考生选3项，选对得5分，有选错得0分．，，所以，随机选择三个选项得分的数学期望． 因为，．所以选择方案一．（12分）21．（12分）解：（1）由已知得，解得，．即椭圆C的方程为．（4分）（2）由，得，．设，，则，同理．设，，则由直线过点得：．①由直线过点N得：．②①×②得：．③同理，由直线过点M得：．④由直线过点N得：．⑤ ③×④得：．⑥③－⑥得：，进而．所以直线的斜率为定值．（12分）22．（12分）解：（1）因为，所以，①当时，，所以函数在上单调递减；②当时，由得，所以函数在上单调递增，在上单调递减．综上：当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减．（4分）（2）（ⅰ）方程可化为，即．令．因为函数在上单调递增，结合题意，关于t的方程（*）有两个不等的实根．又因为不是方程（*）的实根，所以方程（*）可化为．令，则．易得函数在和上单调递减，在上单调递增．结合函数的图象可知，实数a的取值范围是．（8分） （ⅱ）要证，只需证．因为，所以只需证．由（ⅰ）知，不妨设．因为，所以，即，．所以只需证，即只需证．令，只需证．令，，则，所以在上单调递增，故，即在上恒成立．所以原不等式得证．（12分）