浙江省杭州市六县九校联考2022-2023学年高一数学下学期期中试题（Word版附答案）

2022-2023学年浙江省杭州市六县九校联盟高一（下）期中数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合㜈ࣙ껸ʀ蓨ʀ灰ʀ࣓ᷠ，㜈ࣙ蓨ʀ灰ʀǡ࣓，则㜈()A.ࣙ껸ʀ࣓ᷠB.ࣙ껸ʀ蓨࣓C.ࣙ蓨ʀ灰࣓D.ࣙ껸ʀ蓨ʀ灰ʀǡ࣓2.设㜈蓨th，，㜈蓨t灰，则()A.൐൐B.൐൐C.൐൐D.൐൐3.设，则“蓨蓨ݔ껸“是“ݔ蓨”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.如图，一个水平放置平面图形的直观图̵̵̵̵是边长为껸的菱形，且̵̵㜈껸，则原平面图形的面积为()A.蓨B.껸C.蓨蓨D.蓨5.下列命题中正确的是()A.如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行B.平面内有不共线的三个点，，到平面的距离相等，则C.，，则D.，，，则6.圣索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，껸‴‴⸰年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点，其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美t小明为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点ሺʀʀ三点共线处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是껸ᷠ和⸰，在楼顶处测 得塔顶的仰角为灰，则估算索菲亚教堂的高度为()A.蓨䁥B.蓨灰䁥C.蓨⸰䁥D.껸灰䁥7.正方体껸껸껸껸的棱长为蓨，点，，分别是棱껸껸，껸껸，中点，则过点，，三点的截面面积是()灰A.蓨B.灰C.蓨灰D.灰灰8.已知蓨蓨灰蓨㜈껸，且，则的取值范围是()ᷠᷠA.껸ʀB.껸ʀC.ሺʀ껸D.灰ǡ二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.下列命题为真命题的是()A.复数蓨蓨的虚部为蓨B.若为虚数单位，则蓨蓨灰㜈C.复数蓨在复平面内对应的点在第三象限ᷠD.复数的共轭复数为蓨蓨䁘10.在中，角，，的对边分别是，，，下列说法正确的是()A.若൐，则݋ݔ݋B.若㜈灰，㜈ᷠ，㜈蓨，则有两解C.若݋݋݋൐，则为锐角三角形D.若，则为等腰三角形或直角三角形11.已知向量，㜈ሺʀ껸，，，则() A.若㜈껸，则䁘蓨在方向上的投影向量为蓨ᷠᷠB.与共线的单位向量为ሺʀᷠᷠC.若，则hᷠD.的最小值为ᷠ12.如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，㜈㜈蓨，则下列结论正确的是()A.圆锥的侧面积为蓨B.三棱锥体积的最大值为灰C.的取值范围是ሺʀǡ灰D.若㜈，为线段上的动点，则䁘的最小值为蓨ሺ灰䁘껸第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.复数ሺ蓨䁘㜈蓨，为虚数单位，则㜈______．14.如图，在单位圆中，ሺ껸ʀ，、分别在单位圆的第一、二象限内运动，若，为等边三角形，则sin㜈______．15.已知菱形的边长为蓨，㜈껸蓨，点，分在边，上，㜈，蓨㜈t若䁘㜈，则的最小值为______．灰16.已知圆锥底面圆的直径为蓨，高为灰，在该圆锥内放置一个棱长为的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则的最大值为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.ሺ本小题껸t分已知㜈ǡ，㜈，与的夹角是껸蓨． ሺ껸计算：䁘；ሺ蓨当为何值时，ሺ䁘蓨ሺ䁘t18.ሺ本小题껸t分已知向量㜈ሺ蓨݋ʀ껸，，ʀt蓨ሺ껸若，求的值；ሺ蓨记ሺ㜈，若对于任意껸，蓨ʀ，恒成立，求实数蓨的最小值．19.ሺ本小题껸蓨t分如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径：一种是从处沿直线步行到处；另一种是先从处沿索道乘缆车到处，然后从处沿直线步行到处，现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为，在甲出发蓨䁥ㄮ后，乙从处乘缆车到处，再从处匀速步行到处，假设缆车的速度为，껸蓨灰山路长为껸蓨⸰䁥，经测量݋㜈，݋㜈．껸灰ᷠሺ껸从处到处，乙乘坐缆车的时间是多少䁥ㄮ？ሺ蓨乙出发多长时间后，乙在缆车上与甲的距离最短？20.ሺ本小题껸蓨t分如图，斜三棱柱껸껸껸中，，껸分别为，껸껸上的点．ሺ껸当时，求证껸平面껸껸；ሺ蓨若平面껸平面껸껸，求的值，并说明理由．21.ሺ本小题껸蓨t分在䁘݋㜈灰ㄮ，ሺ䁘䁘ሺ䁘㜈灰，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答． 已知在中，角，，的对边分别是，，，_____．ሺ껸求角的值；ሺ蓨若角的平分线交于点，且㜈蓨灰，求蓨䁘的最小值．22.ሺ本小题껸ǡt分已知ሺ㜈䁘蓨ሺ蓨．ሺ껸当㜈蓨时，解不等式ሺ；ሺ蓨若ሺ㜈ሺ，且函数㜈ሺ的图像与直线㜈灰有灰个不同的交点，求实数的取值范围；蓨灰ሺ灰在ሺ蓨的条件下，假设灰个交点的横坐标分别为껸，蓨，灰，且껸ݔ蓨ݔ灰，若൐껸恒成立，求实数的取值范围． 答案和解析1.【答案】【解析】解：由题设．故选：．利用集合的交运算即可求解．本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．2.【答案】【解析】解：因为㜈蓨th，，㜈蓨t灰，所以ݔ，，所以൐൐．故选：．利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．3.【答案】【解析】解：由蓨蓨ݔݔ得，ݔ蓨，由껸ݔݔ껸即，蓨ݔ껸ݔ蓨得，蓨ݔ灰，，“蓨蓨ݔ껸“是“ݔ蓨”的充分不必要条件．故选：．分别求解一元二次不等式与绝对值的不等式，再结合充分必要条件的判定可得答案．本题主要考查了一元二次不等式与绝对值不等式的解法，考查充分必要条件的判断，属于基础题．4.【答案】【解析】解：根据题意，把直观图还原出原平面图形为平行四边形，如图所示：其中㜈蓨̵̵㜈蓨，㜈㜈̵̵㜈껸，所以原平面图形的面积为㜈蓨껸㜈蓨．故选：．把直观图还原出原平面图形，是平行四边形，计算原平面 图形的面积即可．本题考查了直观图与原平面图形的关系应用问题，是基础题．5.【答案】【解析】解：对于：若一条直线与一个平面平行，这条直线与平面内的无数条直线平行，但不是任意一条，A错误；对于：由题意可得：或与相交，B错误；对于：根据题意可得：或，C错误；对于：，则䁥，使得䁥，则䁥，䁥，，䁥，，D正确；故选：．根据线面平行的判断和性质理解辨析．本题主要考查空间直线、平面位置关系的判定，命题真假的判断，考查逻辑推理能力，属于基础题．6.【答案】【解析】解：由题意知：㜈ǡᷠ，㜈껸ᷠ所以㜈灰，在中，㜈㜈，sinㄮ껸ᷠ在中，由正弦定理得ㄮ灰㜈ㄮǡᷠ，ㄮǡᷠㄮǡᷠ所以㜈ㄮ灰㜈ㄮ껸ᷠㄮ灰，在中，．故选：．由正弦得出，再结合正弦定理得到，进而能求．本题考查解三角形的实际应用，考查正弦定理的应用，考查数学运算和直观想象的核心素养，属于中档题．7.【答案】【解析】解：如图，设的中点为，连接并延长，交延长线于，交延长线于，连接交껸于， 连接交껸于，连接，，则六边形为过点，、三点的截面，由题意可知，≌，则，故≌，可知，即为껸的中点，同理可证为껸的中点，故可知六边形为正六边形，且边长为蓨，故其面积为，即过点、t三点的截面面积是灰灰，故选：．作图作出过点、，三点的截面，说明截面为正六边形，求得边长即可求得截面面积．本题考查了正方体的结构特征，考查了平面被正方体截得的图形问题，主要考查空间想象能力和计算能力，属于基础题．8.【答案】【解析】解：蓨蓨灰蓨㜈ሺ灰ሺ䁘㜈껸，，，设䁘㜈䁥，灰㜈ㄮ，则䁥ㄮ㜈껸，껸껸껸껸껸则㜈ሺ䁘䁘ሺ灰㜈ሺ䁥䁘ㄮ㜈ሺ䁥䁘，䁥ʀ蓨，蓨蓨蓨䁥蓨껸껸㜈䁥䁘在ʀ껸单调递减，在ሺ껸ʀ蓨上单调递增，䁥蓨껸ᷠᷠ，䁥㜈时，㜈；䁥㜈蓨时，㜈，蓨蓨蓨ᷠ的取值范围为：껸ʀ．ǡ故选：．可得出蓨蓨灰蓨㜈ሺ灰ሺ䁘㜈껸，根据条件得出，设䁘㜈䁥，껸灰㜈ㄮ，䁥ㄮ㜈껸，从而得出，，然后根据函数㜈䁥䁘䁥的单调性可得出的取值范围，进而得出的取值范围．껸本题考查了对数函数的单调性，对数的运算性质，对勾函数㜈䁘的单调性，考查了计 算能力，属于中档题．9.【答案】【解析】解：复数蓨蓨的虚部为蓨，故A错误；蓨蓨灰㜈ሺǡᷠᷠ灰㜈，故B正确；复数蓨在复平面内对应的点ሺ껸ʀ껸在第三象限，故C正确；，其共轭复数为蓨䁘，故D错误．故选：．根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数虚部，共轭复数的定义，复数的几何意义，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，以及复数虚部，共轭复数的定义，复数的几何意义，属于基础题．10.【答案】【解析】解：对于，൐，ㄮ൐ㄮ，根据同角三角函数基本关系式可知݋ݔ݋，故A正确；对于，由正弦定理可得：㜈，ㄮㄮ，此时无解，故B错误；对于，݋݋݋൐，݋൐݋൐，可知，，均为锐角，故为锐角三角形，故C正确；݋൐对于：，，，，，㜈或，故D正确．故选：．利用正、余弦定理对每项逐一判断即可得解．本题考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．11.【答案】 【解析】解：t㜈껸时，㜈ሺ껸ʀ껸，䁘蓨㜈ሺ껸ʀǡ，䁘蓨在方向上的投影向量为：，A正确；蓨ᷠᷠB.与共线的单位向量为：㜈ሺʀ或，B错误；ᷠᷠC.，，，，C错误；D.，，hᷠ的最小值为：，D正确．ᷠ故选：．A.㜈껸时，㜈ሺ껸ʀ껸，得出䁘蓨㜈ሺ껸ʀǡ，然后根据投影向量的计算公式即可求出䁘蓨在方向上的投影向量，从而判断出的正误；B.与共线的单位向量为，从而判断的正误；C.根据得出ሺ灰ʀ蓨㜈ሺ蓨䁘ʀ껸，进而得出，然后即可判断的正误；D.可求出，然后配方即可判断的正误．本题考查了投影向量的计算公式，向量坐标的加法、数乘和数量积的运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，单位向量的定义及求法，配方求二次函数最值的方法，考查了计算能力，属于基础题．12.【答案】【解析】【分析】本题考查旋转体及其特征，考查剪展问题中最值的求法，考查棱锥体积的求法，考查空间想象能力及思维能力，考查运算求解能力，是中档题．由已知求出圆锥侧面积判断；求出三棱锥体积的最大值判断；由极限观点求解的取值范围判断；利用剪展问题求得䁘的最小值判断．【解答】 解：在中，㜈㜈蓨，㜈蓨蓨，껸则圆锥的侧面积为㜈蓨蓨蓨蓨㜈ǡ蓨，故A错误；蓨껸当位于中点时，面积取最大值，为ǡ蓨㜈ǡ，蓨껸此时三棱锥体积的最大值为ǡ蓨㜈，故B正确；灰灰当点与点重合时，㜈，为最小角，当点与点重合时，㜈，为最大蓨角，又因为点与，不重合，故ʀ，蓨又蓨䁘㜈，可得的取值范围是ሺʀ，故C错误；ǡ蓨若㜈，以为轴把平面旋转至与平面共面，连接，交于，如图所示，在此平面图中，易得为等边三角形，，且㜈㜈蓨蓨，则㜈껸ᷠ，在中，㜈㜈蓨蓨，由余弦定理可得，㜈ሺ蓨蓨蓨䁘ሺ蓨蓨蓨蓨蓨蓨蓨蓨݋껸ᷠ灰㜈䁘蓨蓨蓨蓨蓨ሺ㜈蓨ሺ灰䁘껸，即䁘的最小值为蓨ሺ灰䁘껸，蓨故D正确．故选：．13.【答案】껸【解析】解：由题意，，灰ǡ则㜈ሺ蓨䁘ሺ蓨㜈껸．ᷠᷠ故答案为：껸．先化简复数，再由复数的模长公式计算即可．本题考查复数的运算，考查复数的模长公式，属于基础题． ᷠ灰14.【答案】껸ǡ【解析】解：，解得，而点在第二象限，则，㜈，灰．ᷠ灰故答案为：．껸ǡ根据三角形面积公式求出，然后结合两角和与差的正弦公式，即可求解．本题主要考查任意角的三角函数的定义，以及正弦函数的两角差公式，属于中档题．ǡ15.【答案】‴【解析】解：如图，蓨㜈ʀ㜈，且䁘㜈，灰㜈ሺ䁘ሺ䁘㜈ሺ䁘ሺ䁘㜈ሺ䁘ሺ䁘㜈ሺ껸䁘䁘蓨䁘蓨껸㜈ሺ껸䁘蓨蓨ሺ䁘ǡሺ䁘㜈蓨ሺ껸䁘䁘，蓨灰由题意可得，，൐，蓨䁘㜈，灰䁘蓨껸蓨㤳ሺ㜈，则蓨ሺ껸䁘，蓨‴‴ǡ껸蓨ሺ껸䁘䁘ሺ当且仅当㜈㜈时等号成立，灰‴灰ǡ的最小值为．‴ǡ故答案为：．‴ 蓨由题意画出图形，把用ʀ表示，最后转化为含有，的代数式，再结合䁘㜈及灰基本不等式求得的最小值．本题考查平面向量的数量积，考查学生的运算能力，属于中档题．蓨蓨16.【答案】灰【解析】解：四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为，球的半径为，下底面半径为，轴截面上球与圆锥母线的切点为，圆锥的轴截面如图：则㜈㜈껸，，．三角形为等边三角形，故是的中心，连接，则平分，㜈灰．ㄮ灰㜈，即，灰即四面体的外接球的半径为㜈．灰另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为时，截得它的蓨正方体的棱长为，蓨而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，，蓨蓨即的最大值为．灰蓨蓨故答案为：．灰根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，然后利用分割补形法求得的最大值．本题考查正四面体的外接球，考查化归与转化思想，训练了分割补形法的应用，是中档题．17.蓨蓨껸【答案】解：ሺ껸䁘㜈ሺ䁘蓨㜈䁘䁘蓨㜈껸⸰䁘⸰ǡ蓨ǡ㜈蓨ǡ灰．ሺ蓨ሺ䁘蓨ሺ䁘，ሺ䁘蓨ሺ䁘㜈， 蓨蓨䁘ሺ蓨껸蓨㜈，即껸⸰껸⸰ሺ蓨껸蓨⸰ǡ㜈，解得㜈h，故当㜈h时，ሺ䁘蓨ሺ䁘成立．【解析】ሺ껸䁘㜈ሺ䁘蓨，再结合数量积的运算公式，即可求解．ሺ蓨根据已知条件，结合数量积的运算公式，即可求解．本题主要考查数量积的运算公式，属于基础题．18.【答案】解：ሺ껸由，则，即ㄮ㜈灰݋，即ㄮ㜈灰，又ʀ，蓨则㜈；灰，又ʀ，蓨ᷠ则蓨ʀ，⸰⸰⸰껸则ሺʀ껸，蓨又对于任意껸，蓨ʀ，而恒成立，蓨则，灰故实数的最小值为．蓨【解析】ሺ껸由，则，再求解即可；껸ሺ蓨由，又ʀ蓨，则ሺʀ껸，又对于任意껸，蓨蓨ʀ，恒成立，等价于，得解．蓨本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了三角函数恒等变换及三角函数最值的求法，属中档题．껸蓨灰ᷠǡ19.【答案】解：ሺ껸在中，因为݋㜈，݋㜈t所以ㄮ㜈，ㄮ㜈，껸灰ᷠ껸灰ᷠ从而 ，由正弦定理㜈，得，乙乘缆车的时间是ㄮㄮ；ሺ蓨假设乙出发ሺ分钟后，甲、乙距离为，此时，甲行走了，乙距离处껸灰䁥，所以由余弦定理得蓨㜈ሺ껸䁘ᷠ蓨䁘ሺ껸灰蓨蓨껸灰ሺ껸䁘껸蓨蓨ᷠ㜈蓨ሺ灰hh䁘ᷠ，껸灰因为，故当时，甲、乙两游客距离最短．【解析】ሺ껸先利用两角和的正弦公式求得ㄮ，再根据正弦定理求出的长，从而可求乙乘坐缆车的时间；ሺ蓨设乙出发分钟后，甲、乙两游客距离为，此时，甲行走了ሺ껸䁘ᷠ䁥，乙距离处껸灰䁥，由余弦定理可求，进而可求的最小值；本题考查了正余弦定理的应用，锐角三角函数定义，属中档题．껸껸20.【答案】解：ሺ껸证明：如图，当㜈껸时，껸为线段껸껸껸껸的中点，连接껸交껸于点，连接껸．由棱柱的性质，知四边形껸껸为平行四边形，所以点为껸的中点．在껸껸中，点、껸分别为껸B、껸껸的中点，껸껸．又껸平面껸껸，껸平面껸껸，껸平面껸껸．ሺ蓨由已知，平面껸平面껸껸，且平面껸껸平面껸㜈껸，平面껸껸平面껸껸㜈껸t因此껸껸，同理껸껸．껸껸껸껸껸㜈，㜈．껸껸껸껸껸又㜈껸，㜈껸，即㜈껸． 【解析】ሺ껸欲证껸平面껸껸，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证껸与껸껸平面껸껸内一直线平行，当㜈껸时，껸为线段껸껸的中点，连接껸交껸于点，껸껸连接껸，껸껸，껸平面껸껸，껸平面껸껸，满足定理所需条件；ሺ蓨根据平面껸与平面껸껸平行的性质定理可知껸껸，同理껸껸，根据比例关系即可求出所求．本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及平面与平面平行的性质，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．21.【答案】解：ሺ껸选择条件：，由正弦定理得，ݔݔ，ㄮ൐，蓨껸䁘݋㜈灰ㄮ，灰ㄮ݋㜈껸，即，，ݔݔ，蓨，㜈；灰选择条件：ሺ䁘䁘ሺ䁘㜈灰，ሺ䁘蓨蓨㜈蓨䁘蓨䁘蓨蓨㜈灰，蓨蓨蓨蓨䁘蓨蓨껸䁘㜈，݋㜈㜈㜈．蓨蓨蓨ݔݔ，㜈；蓨灰选择条件：䁘䁘㜈，䁘㜈，ሺsinሺ䁘䁘ㄮ㜈ㄮ，ሺㄮ䁘ㄮ㜈ㄮ，蓨蓨蓨蓨蓨蓨䁘蓨蓨껸ሺ䁘㜈，即䁘㜈，݋㜈㜈㜈．蓨蓨蓨ݔݔ，㜈；蓨灰ሺ蓨在中，在中，，在中，，㜈䁘，，， 当且仅当㜈蓨䁘蓨，㜈蓨䁘蓨蓨时等号成立，蓨䁘的最小值为⸰䁘ǡ蓨．【解析】ሺ껸选择条件：根据已知条件，结合正弦定理，以及三角函数的恒等变换公式和角的取值范围，即可求解；选择条件：根据已知条件，结合余弦定理，以及角的取值范围，即可求解；选择条件：根据已知条件，结合正弦定理，以及余弦定理，即可求解；ሺ蓨由㜈䁘，可得，，进而利用均值不等式可求蓨䁘的最小值．本题考查了解三角形，重点考查了正弦定理及余弦定理，考查三角形的面积公式，属中档题．蓨22.【答案】解：ሺ껸当㜈蓨时，ሺ㜈蓨ሺ껸䁘，又ሺ，蓨껸䁘或蓨㜈，不等式的解集为ሺʀ蓨ሺ，䁘；蓨䁘蓨ʀݔ蓨且ሺ蓨由题设得ሺ㜈ሺ㜈蓨䁘蓨蓨ʀ蓨，蓨蓨ʀ൐可得函数㜈ሺ的大致图象，所以ሺ在ሺʀ单调递增，在ሺʀ蓨单调递减，在ሺ蓨ʀ䁘单调递增，要使函数㜈ሺ的图像与直线㜈灰有灰个不同的交点， 则ሺ蓨ݔ灰ݔ蓨，所以蓨ǡݔ灰ݔ蓨，灰h解得ݔݔ，又蓨，蓨蓨所以的取值范围为；hሺ灰由ሺ蓨可知，当蓨ݔ时，껸，蓨为方程的两根，蓨蓨则껸䁘蓨㜈，即㜈껸，껸又ሺ在ሺʀ上单调递增，在ሺʀ蓨上单调递减，在ሺ蓨ʀ上单调递增，在ሺʀ䁘单调递增，ሺ㜈蓨蓨㜈ሺ껸蓨껸，h(ⅰ)当，即灰ݔ时，灰是方程的较小根，蓨，在上单调递减，则灰ሺ蓨ʀ灰，；(ⅱ)当ሺݔݔ蓨即，灰ݔ灰时，灰是方程的正根，，，则灰，综上，的取值范围为ሺʀ灰．蓨【解析】ሺ껸由题可得껸䁘或蓨㜈，进而即得；ሺ蓨根据分类讨论可得函数ሺ㜈ሺ的解析式，然后利用数形结合即得；蓨灰ሺ灰由题可得ݔሺ，分，ㄮ䁥灰ሺ㜈ㄮ䁥ሺݔ灰讨论，结合条件求灰的取껸值范围即得．本题主要考查函数零点与方程根的关系，考查函数性质的综合运用，考查分类讨论思想，数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．