湖北省重点高中智学联盟2022-2023学年高一数学下学期5月联考试题（Word版附答案）

湖北省重点高中智学联盟2023年春季高一年级5月联考数学试题一、单项选择题：（每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.复平面内复数所对应的点为，则（）A.2B.C.D.2.已知点，，，若与共线，则在上的投影向量的坐标为（）A.B.C.D.3.已知，，，则，的夹角为（）A.B.C.D.4.某广场内供休闲人员休息的石凳是由一个正方体石块截去8个相同的四面体得到的，如下图所示，若被截正方体石块棱长为，则该石癹的体积为：（单位）（）A.180000B.160000C.140000D.1200005.在中，角、、的对边分别是，，，已知，且，则（）A.9B.6C.3D.186.如右图，现有，，三点在同一水平面上的投影分别为，，，且，，由点测得点的仰角为，与的差为10，由点测得点的仰角为，则，两点到水平面的高度差为（） A.15B.16C.17D.187.在中，，，为的中点，于，是线段上的动点，则（）A.B.8C.D.68.在中，已知，，点在边上，且，，则（）A.B.C.或D.或二、多项选择题：每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.将向量替换为复数，以下是向量的性质类比到复数中，其中在复数中结论仍然成立的是（）A.由，类比为：B.由，类比为：C.由，类比为D.由，类比为：10.在中，角、、的对边分别是，，，下列说法正确的是（）A.“”是“是等腰三角形”的充分不必要条件B.“”是“”的充要条件C.若，，则面积的最大值为D.若，，则周长的最大值为611.矩形中，，，动点满足，，，则下列说法正确的是（）A.若，则的最小值为4B.若，则的面积为定值 C.若，则满足的点不存在D.若，，则的面积为12.已知圆锥的母线长为6，侧面积为，则下列说法正确的是（）A.该圆锥的体积为B.该圆锥的内切球的体积为C.该圆锥的外接球的表面积为D.该圆锥的内接正方体的棱长为三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知复数为纯虚数，则复数的虚部为______.14.中，，，，则______.15.将边长为1的正方形纸片绕着它的一条边所在的直线旋转弧度，则纸片扫过的区域形成的几何体的表面积为______.16.如右图所示，中，，，以的中点为圆心，为直径在三角形的外部作半圆弧，点在半圆弧上运动，设，，则当取最大值时，______.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分10分）已知，，，.（1）若，且方向相反，求实数的值；（2）若与的夹角为，求实数的值.18.（本小题满分12分）某种建筑使用的钢筋混凝土预制件模型如下图所示，该模型是由一个正四棱台从正中间挖去一个圆柱孔而成，已知该正四棱台上底和下底的边长分别为和，棱台的高为，中间挖去的圆柱孔的底面半径为.计算时取3.14. （1）求浇制一个这样的预制件大约需要多少立方厘米混凝土；（2）为防止该预制件风化腐蚀，需要在其表面涂上一层保护液，若每升保护液大约可以涂，请计算涂一个这样的预制件大约需要购买保护液多少升？（结果取整数）19.（本小题满分12分）已知，是夹角为的两个单位向量.（1）若，求实数的值；（2）若两向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围.20.（本小题满分12分）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足.（1）求角；（2）若为的中点，且，的角平分线交于点，且，求边长.21.（本小题满分12分）在正三棱柱中，，，为线段上的动点，设，.（1）当时，求三棱锥的体积；（2）求的最小值，并求取最小值时的值.22.（本小题满分12分） 已知在中，为边上的点，且，.（1）若，，求边的长；（2）若，设，，试将的面积表示为的函数，并求函数最大值.湖北省重点高中智学联盟2023年春季高一5月联考数学参考答案1.C2.D3.B4.A5.B6.A7.C8.C9.AB10.BCD11.BCD12.AC13.14.2或415.16.7.法一：法二：将特殊到，则8.设，∴，，，则，中，中， 故，又，，∴或，则或，选择C12.对于A：设圆锥底面半径为，则侧面积为，则圆锥高为，故圆锥体积为，故A对；对于B：内切球半径，故内切球的体积为，故B错；对于C：外接球的半径满足：，∴，故C对；对于D：内接正方体的棱长满足：，故D错.故选：AC16.法一：如图建立平面直角坐标系，得，，，∴，此时：. 法二：，同上.17.（1）由与平行得：∴或当时，，，与平行，且方向相反，满足要求；当时，，，方向相同，不满足要求；故（2），即（※），平方得：∴或经检验是（※）的增根，舍去；∴满足要求18.（1）正四棱台的体积；圆柱的体积；故该预制件的体积故浇制一个这样的预制件大约需要混凝土.（2）该正四棱台侧面梯形的高为：，故该预制件的表面积，∴，，所以涂一个这样的预制件大约需要购买保护液4升.19.（1）， ∴，∴或（2）当向量与平行时，，实数的取值范围是且20.（1）由，∴由正弦定理得：，∴，∵，∴，∴，∵，∴，（2），故，∴，又，∴，则∴，由余弦定理得：，故21.（1）当时，得出为的中点，则 （2）将矩形沿展开，与共面，如图所示，，∴，故的最小值为7中，由正弦定理得：，∴，∴，则22.（1）由，，则，在中，，∵，∴，∴，（2）在中，由余弦定理得：由，设，则，∵，∴ 在中，由余弦定理得：，的面积，∴，法一：（※），∴∴，当时，（※）式为：，，∴，取到最大值。故函数最大值为法二：∴，当且仅当，即，即取最大值，故函数最大值为