北京市海淀区2023届高三数学二模试题（Word版附答案）

海淀区2022-2023学年第二学期期末练习高三数学本试卷共6页，150分．考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．已知集合，则（）A．B．C．D．2．在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边经过点，则（）A．B．C．2D．3．若的展开式中常数项为32，则（）A．5B．6C．7D．84．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（）A．B．C．D．5．已知等差数列的前n项和为，，则的最大值为（）A．7B．6C．5D．46．已知抛物线，经过点P的任意一条直线与C均有公共点，则点P的坐标可以为（）A．B．C．D．7．芯片是科技产品中的重要元件，其形状通常为正方形．生产芯片的原材料中可能会存在坏点，而芯片中出现坏点即报废，通过技术革新可以减小单个芯片的面积，这样在同样的原材料中可以切割出更多的芯片，同时可以提高芯片生产的产品良率．在芯片迭代升级过程中，每一代芯片的面积为上一代的．图1是一块形状为正方形的芯片原材料，上面有4个坏点，若将其按照图2的方式切割成4个大小相同的正万形，得到4块第3代芯片，其中只有一块无坏点，则由这块原材料切割得到第3代芯片的产品良率为．若将这块原材料切割成16个大小相同的正方形，得到16块第5代芯片，则由这块原材料切割得到第5代芯片的产品良率为（） A．B．C．D．8．已知正方形ABCD所在平面与正方形CDEF所在平面互相垂直，且，P是对角线CE的中点，Q是对角线BD上一个动点，则P，Q两点之间距离的最小值为（）A．1B．C．D．9．已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．已知动直线l与圆交于A，B两点，且．若l与圆相交所得的弦长为t，则t的最大值与最小值之差为（）A．B．1C．D．2第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．在复平面内，复数z所对应的点为，则___________．12．已知双曲线C经过点，渐近线方程为，则C的标准方程为___________．13．如图，在中，D是边BC上一点，，则__________；的面积为___________．14．设函数． ①若，则不等式的解集为___________；②若，且不等式的解集中恰有一个正整数，则m的取值范围是___________．15．在数列中，．设向量，已知，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是___________．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。16．（本小题13分）已知函数，且．（I）求a的值和的最小正周期；（Ⅱ）求在上的单调递增区间．17．（本小题14分）某大学A学院共有学生1000人，其中男生640人，女生360人．该学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，按性别分层抽样，从该学院所有学生中抽取若干人作为样本，对样本中的每位学生在5月份的累计跑步里程进行统计，得到下表．跑步里程s（）男生a12105女生6642（I）求a的值，并估计A学院学生5月份累计跑步里程s（）在中的男生人数；（Ⅱ）从A学院样本中5月份累计跑步里程不少于的学生中随机抽取3人，其中男生人数记为X，求X的分布列及数学期望；（Ⅲ）该大学B学院男生与女生人数之比为，B学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，也按性别进行分层抽样．已知A学院和B学院的样本数据整理如下表．5月份累计跑步里程平均值（单位：）学院性别AB男生5059女生4045设A学院样本中学生5月份累计跑步里程平均值为，B学院样本中学生5月份累计跑步里程平均值为 ，是否存在，使得?如果存在，求的最大值；如果不存在，说明理由．18．（本小题13分）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为菱形，E，F分别为AB，PD的中点．（I）求证：EF∥平面PBC；（Ⅱ）若，二面角的大小为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．求PD的长．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．19．（本小题15分）已知椭圆的左顶点为A，上、下顶点分别为，直线的方程为.（I）求椭圆E的方程及离心率；（Ⅱ）P是椭圆上一点，且在第一象限内，M是点P关于x轴的对称点．过P作垂直于y轴的直线交直线于点Q，再过Q作垂直于x轴的直线交直线于点N．求的大小．20．（本小题15分）已知函数（I）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）若函数在区间上无零点，求a的取值范围．21．（本小题15分）设为整数．有穷数列的各项均为正整数，其项数为m（）．若满足如下两个性质，则称 为数列：①，且；②（I）若为数列，且，求m；（Ⅱ）若为数列，求的所有可能值；（Ⅲ）若对任意的数列，均有，求d的最小值．