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浙江省义乌市2022-2023学年高三数学下学期5月适应性考试(三模)试题(Word版附解析)

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义乌市2023届高三适应性考试数学试卷一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合,则()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先根据集合,求出,最后由补集概念求解运算即可.【详解】因为,所以,.故选:A.2.若复数,则复数的模()A.3B.5C.9D.25【答案】B【解析】【分析】先化简求出,再根据模长公式求解即得.【详解】因为,所以,所以.故选:B.3.双曲线的渐近线方程为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据双曲线方程,可直接写出渐近线方程. 【详解】双曲线焦点在轴上,所以渐近线斜率为,则其渐近线方程为:.故选:C.4.学校举行德育知识竞赛,甲、乙、丙、丁、戊5位同学晋级到了决赛环节,通过笔试决出了第1名到第5名.甲、乙两名参赛者去询问成绩,回答者对他们说:“决赛5人的成绩各不相同,但你们俩的名次是相邻的”,丙、丁两名参赛者也去询问成绩,回答者对丙说:“很遗憾,你和丁都未拿到冠军”,又对丁说:“你当然不会是最差的”.从这个回答分析,5人的名次排列共有()种不同的可能情况.A.14B.16C.18D.20【答案】B【解析】【分析】分冠军为甲乙两人中的一人;冠军为戊,丁为第二名;冠军为戊,丁为第三名;冠军为戊,丁为第四名,四种情况,结合相邻问题及特殊元素法分别求解即可.【详解】解:由题意可知,冠军不会是丙、丁且丁不是第5名,当冠军为甲乙两人中的一人时,由于甲乙两人名次相邻,所以第二名一定两人中的另一人,丁就只能是第三(四)名,丙和戊两个人就只能是第四(三)和第五名了,此时共有种情况;当冠军为戊,丁为第二名时,将甲乙捆绑在一起,内部排列共种,此时甲,乙,丙三个人的只能是第三、四、五名了,共有种,所以此时共有种情况;当冠军为戊,丁为第三名时,由于甲乙两人名次相邻,所以第二名只能是丙,第四名和第五名只能是甲乙,所以此时共有种情况;当冠军为戊,丁为第四名时,由于甲乙两人名次相邻,所以第五名只能是丙,第二名和第三名只能是甲乙,所以此时共有种情况;所以共有种.故选:B.5.为了得到函数的图象,只要把图象上所有的点()A.向右平行移动个单位长度B.向左平行移动个单位长度 C.向右平行移动个单位长度D.向左平行移动个单位长度【答案】A【解析】【分析】根据函数图象平移的性质即可求解.【详解】为了得到函数的图象,只要把图象上所有的点向右平行移动个单位长度,故选:A6.在中,,,则()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】选用基底,利用向量的线性运算表示向量.【详解】中,,,如图所示,.故选:C7.在半径为的实心球中挖掉一个圆柱,再将该圆柱重新熔成一个球,则球的表面积的最大值为() A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由已知求出球的半径,设圆柱的底面半径为,则高为,写出圆柱的体积,利用基本不等式求最值,即可得到满足条件的值,结合球的体积以及表面积公式即可求解.【详解】由球的半径为,如图,设圆柱的底面半径为,则高为,.当且仅当,即,时,上式取等号,此时圆柱的体积为,(或者令,当,所以在单调递增,在单调递减,故当取最大值4,故当时,取最大值4)要使熔成一个球的表面积最大,则半径最大,则体积最大即可,因此熔成的球的体积也是,故球的半径为,所以球的表面积为故选:D.8.已知定义域为的函数满足,且在区间上还满足:①当时,都有;②;③ .则等于()A.B.C.1D.【答案】B【解析】【分析】由,结合,分别取和可求和,在中分别取和和可求,.利用,又结合非减函数的概念求,代入后答案可求.【详解】由,,令,所以有,令,所以有,由得故,,由;令,有,令,有,令,有.由时,都有,,有,.,故选:B 二、多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.)9.下列说法正确的是()A.若随机变量,则B.样本相关系数的绝对值越接近,成对样本数据线性相关程度越强C.数据的第百分位数为D.抛掷一枚质地均匀的骰子所得的样本空间为,令事件,,则事件不独立【答案】ABC【解析】【分析】对于A,由已知得,根据对称性即可判断;对于B,根据样本相关系数r的绝对值越接近1,成对样本数据线性相关程度越强即可判断;对于C,利用百分位数定义求解即可;对于D,利用独立事件的概率公式判断即可.【详解】对于A,由已知得,根据正态曲线的对称性,故A正确;对于B,样本相关系数r的绝对值越接近1,成对样本数据线性相关程度越强,故B正确;对于C,因为,所以第40百分位数为第位数和第位数的平均数,即为,故C正确;对于D,因为,,,则,所以,故,所以事件相互独立,故D错误.故选:ABC.10.古希腊数学家欧几里得在《几何原本》卷11中这样定义棱柱:一个棱柱是一个立体图形,它是由一些平面构成的,其中有两个面是相对的、相等的,相似且平行的,其它各面都是平行四边形.显然这个定义是有缺陷的,由于《几何原本》作为“数学圣经”的巨大影响,该定义在后世可谓谬种流传,直到1916年,美国数学家斯顿(J.C.Stone)和米利斯(J.F.Millis)首次给出欧氏定义的反例.如图1,八面体的每一个面都是边长为2的正三角形,且4个顶点A,B,C,D在同一平面内,取各棱的中点,切割成欧氏反例(如图2),则该欧氏反例() A.共有12个顶点B.共有24条棱C.表面积为D.体积为【答案】BC【解析】【分析】对于AB,以图1中平面为分界面进行数数即可;对于CD,根据题意到得图2中的棱长均为,再利用面积公式与体积公式即可得解.【详解】对于A,以图1中平面为分界面进行数数,易知欧氏反例(即图2)在平面上方的顶点有个,在平面中的顶点有个,在平面下方的顶点有个,共有个顶点,故A错误;对于B,易知欧氏反例在平面上方的棱有条,根据对称性可知在平面下方的棱有条,共有条棱,故B正确;对于C,由题意与中位线定理易得欧氏反例的表面是由个棱长为,其中一个角为的菱形,与个棱长为的正方形组成,所以其表面积为,故C正确;对于D,由题意可知,欧氏反例的体积可由两个棱长为2的正四棱锥减掉四个棱长为1的正四棱锥而得,对于棱长为的正四棱锥,其底面面积为,其底面对角线长为,所以其高为,故其体积为,所以欧氏反例的体积为,故D错误.故选:BC.【点睛】关键点睛:本题解决的关键发挥空间想象能力,理解欧氏反例的结构特征,从而得解. 11.已知拋物线,点均在抛物线上,点,则()A.直线的斜率可能为B.线段长度的最小值为C.若三点共线,则存在唯一的点,使得点为线段的中点D.若三点共线,则存在两个不同的点,使得点为线段的中点【答案】BD【解析】【分析】根据两点斜率公式,结合一元二次方程的根可判断A,由两点距离公式,结合导数求单调性确定最值可判断B,根据中点坐标公式,由一元二次方程根的个数可判断CD.【详解】设在抛物线上,且满足,对于A,假如直线的斜率可以为,则由于,则该方程无解,所以直线的斜率不可能为,故A错误,对于B,,记,记单调递增,由于,因此单调递增,当时,单调递减,故当时,取最小值5,因此的最小值为,故B正确,对于C,若三点共线,为线段的中点,则,将代入抛物线方程中得 ,故有两个不相等的实数根,所以满足条件的点不唯一,故C错误,D正确,故选:BD12.当且时,不等式恒成立,则自然数可能为()A.0B.2C.8D.12【答案】BC【解析】【分析】构造函数利用导数确定单调性进而最值,将问题转化成,进一步由对数运算得恒成立,即可代入选项逐一求解.【详解】由于且,所以,所以,构造函数,当,且时,故当当,因此在单调递减,在单调递增,故当时,取最小值,当时,单调递增,当时,单调递减,故当时,取最大值,当时,不妨取,则而,不满足 ,故A错误,当时,,,显然,故满足题意,B正确,要使恒成立,则需要,即恒成立即可由于,因此当时,,C正确,当时,,不满足题意,错误,故选:BC【点睛】处理多变量函数最值问题的方法有:(1)消元法:把多变量问题转化单变量问题,消元时可以用等量消元,也可以用不等量消元.(2)基本不等式:即给出的条件是和为定值或积为定值等,此时可以利用基本不等式来处理,用这个方法时要关注代数式和积关系的转化.(3)构造函数,利用导数求解最值.三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.的展开式中的系数是___________.(用数字作答).【答案】【解析】【分析】求出展开式的通项,再分别令的指数等于和,即可得解.【详解】展开式的通项为,令,则,令,则, 所以的展开式中的系数是.故答案为:.14.若,则_________.【答案】####【解析】【分析】利用弦化切可求得所求代数式的值.【详解】.故答案为:.15.若存在直线既是曲线的切线,也是曲线的切线,则实数的最大值为___________.【答案】【解析】【分析】设切线与两曲线的切点分别为,,根据导数的几何意义分别求出切线方程,可得,由题意可知有解,故令,利用导数求得其最值,即可求得答案.【详解】由题意知两曲线与存在公切线,时,两曲线与,不合题意;则的导数,的导数为,设公切线与相切的切点为,与曲线相切的切点为,则切线方程为,即,切线方程也可写为,即,故,即,即, 即有解,令,则,令可得,当时,,当时,,故在增函数,在是减函数,故的最大值为,故,所以,即实数的最大值为,故答案为:16.已知三点在圆上,的重心为坐标原点,则周长的最大值为___________.【答案】【解析】【分析】根据已知条件发现,且点到圆与轴的正半轴交点的距离为4,正好是的关系,而三角形的重心是中线的三等分点,所以不妨认为圆与轴的正半轴交点是三角形的一个顶点,从而可知另两个顶点正好是圆的直径的两个端点,从而可以得到三角形三边的关系,进而借助基本不等式求出结果.【详解】由圆得圆心,半径圆,如图,不妨设点在轴的正半轴上,由于的重心为坐标原点,且,所以为圆的直径,所以,所以 ,当且仅当时取等号,所以周长的最大值为.故答案为:.四、解答题(本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.设正项等比数列的前项和为,若,.(1)求数列的通项公式;(2)在数列中是否存在不同的三项构成等差数列?请说明理由.【答案】(1)(2)不存在,理由见详解【解析】【分析】(1)设的公比为,根据题意列方程组,从而求得,,进而即可求得数列的通项公式;(2)结合(1)可得到,假设存在三项构成等差数列,从而根据条件得到,进而即可得到结论.【小问1详解】设的公比为,由,两式相除并整理得,解得或(舍去),即,,所以.【小问2详解】由(1)有,,所以,假设存在三项构成等差数列,则有,即,左右两边除以,,等式左边为偶数,右边为奇数,该等式显然无解, 所以在数列中不存在不同的三项构成等差数列.18.为迎接“五一小长假”的到来,某商场开展一项促销活动,凡在商场消费金额满200元的顾客可以免费抽奖一次,抽奖规则如下:在不透明箱子中装有除颜色外其他都相同的10个小球,其中,红球2个,白球3个,黄球5个,顾客从箱子中依次不放回地摸出2个球,根据摸出球的颜色情况分别进行兑奖.将顾客摸出的2个球的颜色分成以下四种情况::1个红球1个白球,:2个红球,:2个白球,:至少一个黄球.若四种情况按发生的概率从小到大的顺序分别对应一等奖,二等奖,三等奖,不中奖.(1)求顾客在某次抽奖中,第二个球摸到为红球的概率(2)求顾客分别获一、二、三等奖时对应的概率;(3)若三名顾客每人抽奖一次,且彼此是否中奖相互独立.记中奖的人数为,求的分布列和期望.【答案】(1)(2)顾客分别获一、二、三等奖的概率分别为、、(3)分布列答案见解析,【解析】【分析】(1)根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得;(2)根据古典概型的概率公式及组合数公式计算可得;(3)由(2)可知,顾客抽奖一次获奖的概率为,则,利用二项分布的概率公式求出分布列与数学期望.【小问1详解】设顾客第次摸到红球为,则;小问2详解】由题意知,,,,,因此,顾客分别获一、二、三等奖的概率分别为、、; 【小问3详解】由(2)可知,顾客抽奖一次获奖的概率为,则,所以,,,,则分布列为:123数学期望.19.在四棱锥中,底面为梯形,为上点,且.(1)证明:面:(2)若面,面面,求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)根据三角形相似可得线线平行,进而可得线面平行,(2)建立空间直角坐标系,由法向量的夹角即可求解面面角.【小问1详解】 设,连,,,且,又,,又面面面;【小问2详解】连,过点作,垂足,平面平面,平面平面,平面,平面平面,又平面平面,,平面,从而平面,,,令,则.以为原点,为轴,为轴,为轴建立空间直角坐标系.,, 设面的法向量为,令,则,,,设面的法向量为,,令,则,,所以二面角的正弦值为.20.在锐角中,内角的对边分别为,已知.(1)证明:;(2)求的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)由和差角公式化简得,由正弦定理边角化即可求解,(2)由锐角三角形满足,根据基本不等式即可求解.【小问1详解】,, ,由正弦定理得:.【小问2详解】锐角,,当且仅当时等号成立,当时,,当时,,所以.21.在平面直角坐标系中,已知点,点的轨迹为.(1)求的方程;(2)设点在直线上,为的左右顶点,直线交于点(异于),直线交于点(异于),交于,过作轴的垂线分别交、于,问是否存在常数,使得.【答案】(1)(2)存在常数,使得.【解析】【分析】(1)根据椭圆的定义判断出点的轨迹为椭圆,根据题意得,求出,可得椭圆的方程;(2)设,与椭圆方程联立,求出的坐标,设,与椭圆方程联立,求出的坐标,再求出,,的坐标,由此可得的值.【小问1详解】因为、,,所以点的轨迹以为焦点的椭圆,这里,,,所以, 所以椭圆的方程为.【小问2详解】设,代入,得,即,得:,设,代入,得,即,得:,,由得,得,得.代入,得,代入,得,因为,所以.所以存在常数,使得.【点睛】难点点睛:设出直线,,联立直线与椭圆方程,用表示出的坐标,难点是字母运算较复杂,需要仔细运算.22.已知函数. (1)若恒成立,求的取值范围;(2)当时,若,其中,证明:.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】(1)利用导数与函数的性质的关系,分类讨论与即可得解;(2)构造函数,利用导数分析其性质,再利用导数证得,从而利用的图像性质即可得解.【小问1详解】因为,所以,当时,,显然恒成立,当时,易得,不合题意;当时,令,得;令,得;在上单调递减,在上单调递增,故,所以;综上:.【小问2详解】当时,令,由(1)知,令,由于与在上单调递增,所以在上单调递增且,由此令,得;令,得; 故在上单调递减,在上单调递增,故,已知,则,且下证:,即证,设,则,令,则,当时,;当时,;所以上单调递减,在上单调递增,故,即,则,设,则,当且仅当,即时,等号成立,于是在上单调递增,且,所以当时,,当时,,故在上单调递减,在上单调递增,,故.设方程的两个不等根为,由,可得,故,由,可知,结论成立.【点睛】方法点睛:导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系.(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数.(3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题. (4)考查数形结合思想的应用.

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发布时间:2023-05-29 04:18:03 页数:22
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文章作者:随遇而安

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