安徽省庐巢七校联考2022-2023学年高二数学下学期3月月考试题（Word版附解析）

2022-2023学年度高二数学试卷第I卷（选择题）一、单选题1.设函数在处的导数为2，则（）A.B.2C.D.6【答案】D【解析】【分析】根据极限的运算法则和导数的定义，即可求解.【详解】根据导数的定义，可得.故选：D．2.某小组有8名男生，6名女生，要求从中选1名当组长，不同的选法共有（）A.12种B.14种C.24种D.48种【答案】B【解析】【分析】根据组合性质即可求解.详解】依题意，小组有8名男生，6名女生，要求从中选1名当组长，则有种选法.故选：B.3.已知某物体在平面上做变速直线运动，且位移（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系可用函数：表示，则该物体在秒时的瞬时速度为（）A.米/秒B.米/秒C.米/秒D.米秒【答案】A【解析】【分析】直接对位移关于时间的函数求导，代入即可.【详解】由题得，当时，，故瞬时速度为米/秒，故选；A. 4.函数的单调递增区间是（）A.B.和C.D.【答案】A【解析】【分析】确定函数定义域，求出函数的导数，根据导数大于0，即可求得答案.【详解】函数的定义域为，，当时，解得，故函数单调递增区间是，故选：A5.设函数，已知，，，，则（）A.－2B.－1C.D.3【答案】B【解析】【分析】先求出函数的导函数，再代入已知条件计算即可.【详解】由已知，.故选：B.6.已知上的函数满足，且，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】令，从而求导可判断导数 恒成立，从而可判断函数的单调性，从而可得当时，，从而得到不等式的解集．【详解】解：令，则，又的导数在上恒有，恒成立，是上的减函数，又，当时，，即，即不等式的解集为；故选：C．7.若是的切线，则的取值范围为（）AB.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用导数的几何意义可求得在处的切线方程，由此可用表示，得到，设，利用导数可求得的值域，由此可得所求范围.【详解】设切点坐标为，，，又，，，令，则，则当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，，又当时，，，即的取值范围为.故选：A. 8.已知函数，直线，若有且仅有一个整数，使得点在直线l上方，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由定义域得为正整数，由导数法研究的图象，直线l过定点，由数形结合可判断的值，进而列不等式组确定参数范围.【详解】点在直线l上方，即，因为，所以有且仅有一个正整数解.设，则单调递增；单调递减，所以.又，故可得图象如下图，直线过定点，当，有无数个正整数解，不合题意，故，又有且仅有一个正整数解，故2是唯一的正整数解，即 .故选：C.【点睛】关键点点睛：直线l过定点，则原命题可转化为直线l绕定点旋转，从而满足条件，可由导数法研究的图象，由数形结合列式求解.二、多选题9.函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的有（）A.为函数的一个零点B.为函数的一个极大值点C.函数在区间上单调递增D.是函数的最大值【答案】BC【解析】【分析】利用导函数的图象分析函数的单调性，由此可判断各选项的正误.【详解】由的导函数的图象可知，函数在、上单调递减，在、上单调递增，故当或时，取得极小值；当时，取得极大值，故BC正确，AD错误.故选：BC.10.为了贯彻常态化疫情防控工作，动员广大医护人员抓细抓实各项防疫工作，人民医院组织护理、感染、儿科、疾控、药剂、呼吸六位专家进行“防疫有我，健康同行”知识讲座，每天一人，连续6天. 则下列结论正确的是（）A.从六位专家中选两位的不同选法共有20种B.“呼吸类专家”不排在最后一天的不同排法共有600种C.“护理、感染类专家”排在相邻两天的不同排法共有240种D.“护理、感染、儿科类专家”排在都不相邻的三天的不同排法共有72种【答案】BC【解析】【分析】由组合知识判断A；从前5天中任选一天排“呼吸类专家”，再排其他专家，从而判断B；由捆绑法判断C；由插空法判断D.【详解】对于A：从六位专家中选两位的不同选法共有种，故A错误；对于B：从前5天中任选一天排“呼吸类专家”，再排其他专家共有种，故B正确；对于C：将“护理”，“感染类专家”视为一个元素，不同的排法共有种，故B正确；对于D：先排疾控、药剂、呼吸，再用插空法排护理、感染、儿科类专家，共有种，故D错误；故选：BC11.已知函数的图像关于直线对称，则（）A.函数的图像关于点对称B.函数在有且仅有2个极值点C.若，则的最小值为D.若，则【答案】ABD【解析】【分析】利用函数图象的对称性求出，再结合正弦函数的图象与性质逐项分析、计算判断作答.【详解】依题意，，即，而，则，， 对于A，因为，于是函数的图像关于点对称，A正确；对于B，当时，，而正弦函数在上有且只有两个极值点，所以函数在有且仅有2个极值点，B正确；对于C，因为，又，因此中一个为函数的最大值点，另一个为其最小值点，又函数的周期为，所以的最小值为，C错误；对于D，依题意，，则，因此，D正确.故选：ABD12.已知函数，是的导数，则（）A.函数在上单调递增B.函数有唯一极小值C.函数在上有且只有一个零点，且D.对于任意的，，恒成立【答案】ABD【解析】【分析】对函数求导，利用二次导函数的正负判断导函数函数的单调性，进而判断选项；构造函数，利用导数求解函数的单调性并证明不等式，进而判断选项.【详解】，，则，设， ，则函数在上单调递增，，因此对任意的恒成立，所以在上单调递增，故选项正确；又，所以，则存在，使得．在时，；时，；所以函数在单调递减，在单调递增，故有唯一极小值，故选项正确；令，，则，所以函数在单调递减，在单调递增，且，则有．又，因此存在，使得，当时，，当时，，于是得函数在上单调递增，在上单调递减，则．又，从而存在唯一，使得．显然当时，，当时，．又，令，， 因此函数在上单调递减，，有，，则，即，从而函数在上有唯一零点，函数在上有且只有一个零点，且，故选项C错误；，，，设，，则由选项知，在上单调递增，而，则，即有，因此函数在上单调递增，，即有，所以对任意的，，总满足，故选项正确．故选：.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结论构造辅助函数.第II卷（非选择题）三、填空题13.有男女共名学生被分派去三个公司实习,每个公司至少人,且公司要且只要个女生,共有________种不同的分派方法.(用数字作答)【答案】 【解析】【分析】按照分步乘法计数原理,先分派公司的人选,再分派公司的人选,然后方法数相乘即可.【详解】解:公司只要个女生,有种分派方案,则公司分派人数可以为或者或者共3种分派方案,共种,所以一共有种分派方案.故答案为:.14.函数在区间上的最大值为______．【答案】【解析】【分析】利用导数，判断函数的单调性，可得结果.【详解】由，所以，当时，，所以，则在单调递减，所以.故答案为：.15.若，则______.【答案】6【解析】【分析】由排列数和组合数的计算公式，解方程求解即可.【详解】因为，，所以.由，得（舍去）或.故答案为：.16.函数的定义域为，其导函数为，若，且当时， ，则不等式的解集为__________．【答案】【解析】【分析】构造，得到其在上为偶函数，且在上单调递增，变形得到，从而得到，求出答案.【详解】令，则，又，所以得，即，所以为上的偶函数，又时，，所以在上单调递增，又为上的偶函数，所以在上单调递减，由，得，所以，即，所以得，解得：，所以不等式的解集为．故答案为：.【点睛】利用函数与导函数的相关不等式构造函数，然后利用所构造的函数的单调性解不等式，是高考常考题目，以下是构造函数的常见思路：比如：若，则构造，若，则构造，若，则构造，若，则构造. 四、解答题17.已知函数.（1）求函数在处切线方程；（2）求函数在上的最大值与最小值.【答案】（1）（2）最大值为2，最小值为【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）求导分析函数在的单调性与极值再求最值即可【小问1详解】因为，所以.则所求切线的斜率为，且，故所求切线方程为，即；【小问2详解】因为，，所以.令，得（舍去），当，，函数单调递减，当，，函数单调递增，所以的极小值为.又，，所以的最大值为2，最小值为.18.已知数列，，，且，是与的等差中项．（1）求数列的通项公式；（2）若，，求的最大值．【答案】（1）；（2）36﹒ 【解析】【分析】(1)通过，可知，进而得出是等比数列且求出公比，再结合是与的等差中项求出首项，进而得到的通项公式；(2)结合(1)计算出，判断{}为单调递减的等差数列，从而可得的最大值．【小问1详解】由题可知，即，则，∴数列是公比为2的等比数列，∵是与的等差中项，∴，即，解得，∴数列的通项公式为；【小问2详解】由(1)知，∴，∴，∴数列是一个公差为－2的递减等差数列，且，，故的最大值为.19.已知函数在时有极值0（1）求的值；（2）求函数的单调区间与极值.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由导数与极值的关系得，解出即可； （2）由（1）得，分别令和，解出即可得到其单调区间.【小问1详解】由题可得，由可得，，解得，经检验，符合题意，所以.【小问2详解】由（1）知，，，当时，解得；当时，解得或，列表如下：00增极大值减极小值增所以函数的单调减区间为，单调增区间为和，极大值为，极小值为.20.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系：，设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（1）求的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．【答案】（1）（2）当隔热层修建5cm厚时，总费用最小，最小值为70万元．【解析】【分析】（1）根据已给模型确定函数解析式； （2）利用导数求得最小值．【小问1详解】每年能源消耗费用为，建造费用为，．．【小问2详解】，令得或（舍．当时，，当时，．在，上单调递减，在，上单调递增．当时，取得最小值（5）．当隔热层修建厚时，总费用最小，最小值为70万元．21.已知函数，（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在区间上存在两个不同零点，求实数的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）求导后，讨论和0的大小关系，然后利用导数和函数单调性的关系即可；（2）分离参数后，把零点转化为函数图像的交点，然后根据的图像判断即可.【小问1详解】①当时，，此时函数在上单调递增；②当时，令，得，当时，，此时函数在上单调递减； 当时，，此时函数在上单调递增．【小问2详解】由题意知：在区间上有两个不同实数解，即直线与函数的图象在区间上有两个不同的交点，因为，令，得，所以当时，，函数上单调递减；当时，，函数在上单调递增；则，而，且．所以要使直线与函数的图象在区间上有两个不同的交点，则所以的取值范围为．22.已知函数．（1）若恒成立，求实数的取值范围；（2）求证：当时，成立．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出导函数可知,当时不合题意,当时求出函数的单调区间,进一步求出函数的最大值,由最大值小于等于0求解a的范围;（2）由(1)可得在上恒成立，令,则，进而累加得，另一方面由得，即，再根据不等式的性质即可证明. 【详解】解：（1），若,则,则在上是增函数，而,不成立,故，若,则当时,；当时,，在上是增函数,在上是减函数，的最大值为，要使恒成立,只需,解得.所以实数的取值范围(2)由(1)知,当时,有在上恒成立,恒成立，令,则,令,则有，以上各式两边分别相加,得，即,又因为，所以，即，所以，所以，证毕.【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，证明不等式，考查运算求解能力，推理论证能力，化归转化思想，分类讨论思想，是难题.本题第二问解题的关键在于结合（1）得，进而令，进而累加法求解证明，此外根据对数不等式得 ，进而得.