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安徽省庐巢七校联考2022-2023学年高二数学下学期3月月考试题(Word版附解析)

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2022-2023学年度高二数学试卷第I卷(选择题)一、单选题1.设函数在处的导数为2,则()A.B.2C.D.6【答案】D【解析】【分析】根据极限的运算法则和导数的定义,即可求解.【详解】根据导数的定义,可得.故选:D.2.某小组有8名男生,6名女生,要求从中选1名当组长,不同的选法共有()A.12种B.14种C.24种D.48种【答案】B【解析】【分析】根据组合性质即可求解.详解】依题意,小组有8名男生,6名女生,要求从中选1名当组长,则有种选法.故选:B.3.已知某物体在平面上做变速直线运动,且位移(单位:米)与时间(单位:秒)之间的关系可用函数:表示,则该物体在秒时的瞬时速度为()A.米/秒B.米/秒C.米/秒D.米秒【答案】A【解析】【分析】直接对位移关于时间的函数求导,代入即可.【详解】由题得,当时,,故瞬时速度为米/秒,故选;A. 4.函数的单调递增区间是()A.B.和C.D.【答案】A【解析】【分析】确定函数定义域,求出函数的导数,根据导数大于0,即可求得答案.【详解】函数的定义域为,,当时,解得,故函数单调递增区间是,故选:A5.设函数,已知,,,,则()A.-2B.-1C.D.3【答案】B【解析】【分析】先求出函数的导函数,再代入已知条件计算即可.【详解】由已知,.故选:B.6.已知上的函数满足,且,则不等式的解集为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】令,从而求导可判断导数 恒成立,从而可判断函数的单调性,从而可得当时,,从而得到不等式的解集.【详解】解:令,则,又的导数在上恒有,恒成立,是上的减函数,又,当时,,即,即不等式的解集为;故选:C.7.若是的切线,则的取值范围为()AB.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用导数的几何意义可求得在处的切线方程,由此可用表示,得到,设,利用导数可求得的值域,由此可得所求范围.【详解】设切点坐标为,,,又,,,令,则,则当时,;当时,;在上单调递减,在上单调递增,,又当时,,,即的取值范围为.故选:A. 8.已知函数,直线,若有且仅有一个整数,使得点在直线l上方,则实数a的取值范围是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由定义域得为正整数,由导数法研究的图象,直线l过定点,由数形结合可判断的值,进而列不等式组确定参数范围.【详解】点在直线l上方,即,因为,所以有且仅有一个正整数解.设,则单调递增;单调递减,所以.又,故可得图象如下图,直线过定点,当,有无数个正整数解,不合题意,故,又有且仅有一个正整数解,故2是唯一的正整数解,即 .故选:C.【点睛】关键点点睛:直线l过定点,则原命题可转化为直线l绕定点旋转,从而满足条件,可由导数法研究的图象,由数形结合列式求解.二、多选题9.函数的导函数的图象如图所示,则下列说法正确的有()A.为函数的一个零点B.为函数的一个极大值点C.函数在区间上单调递增D.是函数的最大值【答案】BC【解析】【分析】利用导函数的图象分析函数的单调性,由此可判断各选项的正误.【详解】由的导函数的图象可知,函数在、上单调递减,在、上单调递增,故当或时,取得极小值;当时,取得极大值,故BC正确,AD错误.故选:BC.10.为了贯彻常态化疫情防控工作,动员广大医护人员抓细抓实各项防疫工作,人民医院组织护理、感染、儿科、疾控、药剂、呼吸六位专家进行“防疫有我,健康同行”知识讲座,每天一人,连续6天. 则下列结论正确的是()A.从六位专家中选两位的不同选法共有20种B.“呼吸类专家”不排在最后一天的不同排法共有600种C.“护理、感染类专家”排在相邻两天的不同排法共有240种D.“护理、感染、儿科类专家”排在都不相邻的三天的不同排法共有72种【答案】BC【解析】【分析】由组合知识判断A;从前5天中任选一天排“呼吸类专家”,再排其他专家,从而判断B;由捆绑法判断C;由插空法判断D.【详解】对于A:从六位专家中选两位的不同选法共有种,故A错误;对于B:从前5天中任选一天排“呼吸类专家”,再排其他专家共有种,故B正确;对于C:将“护理”,“感染类专家”视为一个元素,不同的排法共有种,故B正确;对于D:先排疾控、药剂、呼吸,再用插空法排护理、感染、儿科类专家,共有种,故D错误;故选:BC11.已知函数的图像关于直线对称,则()A.函数的图像关于点对称B.函数在有且仅有2个极值点C.若,则的最小值为D.若,则【答案】ABD【解析】【分析】利用函数图象的对称性求出,再结合正弦函数的图象与性质逐项分析、计算判断作答.【详解】依题意,,即,而,则,, 对于A,因为,于是函数的图像关于点对称,A正确;对于B,当时,,而正弦函数在上有且只有两个极值点,所以函数在有且仅有2个极值点,B正确;对于C,因为,又,因此中一个为函数的最大值点,另一个为其最小值点,又函数的周期为,所以的最小值为,C错误;对于D,依题意,,则,因此,D正确.故选:ABD12.已知函数,是的导数,则()A.函数在上单调递增B.函数有唯一极小值C.函数在上有且只有一个零点,且D.对于任意的,,恒成立【答案】ABD【解析】【分析】对函数求导,利用二次导函数的正负判断导函数函数的单调性,进而判断选项;构造函数,利用导数求解函数的单调性并证明不等式,进而判断选项.【详解】,,则,设, ,则函数在上单调递增,,因此对任意的恒成立,所以在上单调递增,故选项正确;又,所以,则存在,使得.在时,;时,;所以函数在单调递减,在单调递增,故有唯一极小值,故选项正确;令,,则,所以函数在单调递减,在单调递增,且,则有.又,因此存在,使得,当时,,当时,,于是得函数在上单调递增,在上单调递减,则.又,从而存在唯一,使得.显然当时,,当时,.又,令,, 因此函数在上单调递减,,有,,则,即,从而函数在上有唯一零点,函数在上有且只有一个零点,且,故选项C错误;,,,设,,则由选项知,在上单调递增,而,则,即有,因此函数在上单调递增,,即有,所以对任意的,,总满足,故选项正确.故选:.【点睛】方法点睛:利用导数证明不等式问题,方法如下:(1)直接构造函数法:证明不等式(或)转化为证明(或),进而构造辅助函数;(2)适当放缩构造法:一是根据已知条件适当放缩;二是利用常见放缩结论;(3)构造“形似”函数,稍作变形再构造,对原不等式同解变形,根据相似结论构造辅助函数.第II卷(非选择题)三、填空题13.有男女共名学生被分派去三个公司实习,每个公司至少人,且公司要且只要个女生,共有________种不同的分派方法.(用数字作答)【答案】 【解析】【分析】按照分步乘法计数原理,先分派公司的人选,再分派公司的人选,然后方法数相乘即可.【详解】解:公司只要个女生,有种分派方案,则公司分派人数可以为或者或者共3种分派方案,共种,所以一共有种分派方案.故答案为:.14.函数在区间上的最大值为______.【答案】【解析】【分析】利用导数,判断函数的单调性,可得结果.【详解】由,所以,当时,,所以,则在单调递减,所以.故答案为:.15.若,则______.【答案】6【解析】【分析】由排列数和组合数的计算公式,解方程求解即可.【详解】因为,,所以.由,得(舍去)或.故答案为:.16.函数的定义域为,其导函数为,若,且当时, ,则不等式的解集为__________.【答案】【解析】【分析】构造,得到其在上为偶函数,且在上单调递增,变形得到,从而得到,求出答案.【详解】令,则,又,所以得,即,所以为上的偶函数,又时,,所以在上单调递增,又为上的偶函数,所以在上单调递减,由,得,所以,即,所以得,解得:,所以不等式的解集为.故答案为:.【点睛】利用函数与导函数的相关不等式构造函数,然后利用所构造的函数的单调性解不等式,是高考常考题目,以下是构造函数的常见思路:比如:若,则构造,若,则构造,若,则构造,若,则构造. 四、解答题17.已知函数.(1)求函数在处切线方程;(2)求函数在上的最大值与最小值.【答案】(1)(2)最大值为2,最小值为【解析】【分析】(1)根据导数的几何意义求解即可;(2)求导分析函数在的单调性与极值再求最值即可【小问1详解】因为,所以.则所求切线的斜率为,且,故所求切线方程为,即;【小问2详解】因为,,所以.令,得(舍去),当,,函数单调递减,当,,函数单调递增,所以的极小值为.又,,所以的最大值为2,最小值为.18.已知数列,,,且,是与的等差中项.(1)求数列的通项公式;(2)若,,求的最大值.【答案】(1);(2)36﹒ 【解析】【分析】(1)通过,可知,进而得出是等比数列且求出公比,再结合是与的等差中项求出首项,进而得到的通项公式;(2)结合(1)计算出,判断{}为单调递减的等差数列,从而可得的最大值.【小问1详解】由题可知,即,则,∴数列是公比为2的等比数列,∵是与的等差中项,∴,即,解得,∴数列的通项公式为;【小问2详解】由(1)知,∴,∴,∴数列是一个公差为-2的递减等差数列,且,,故的最大值为.19.已知函数在时有极值0(1)求的值;(2)求函数的单调区间与极值.【答案】(1)(2)答案见解析【解析】【分析】(1)由导数与极值的关系得,解出即可; (2)由(1)得,分别令和,解出即可得到其单调区间.【小问1详解】由题可得,由可得,,解得,经检验,符合题意,所以.【小问2详解】由(1)知,,,当时,解得;当时,解得或,列表如下:00增极大值减极小值增所以函数的单调减区间为,单调增区间为和,极大值为,极小值为.20.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用(单位:万元)与隔热层厚度(单位:cm)满足关系:,设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求的表达式;(2)隔热层修建多厚时,总费用达到最小,并求最小值.【答案】(1)(2)当隔热层修建5cm厚时,总费用最小,最小值为70万元.【解析】【分析】(1)根据已给模型确定函数解析式; (2)利用导数求得最小值.【小问1详解】每年能源消耗费用为,建造费用为,..【小问2详解】,令得或(舍.当时,,当时,.在,上单调递减,在,上单调递增.当时,取得最小值(5).当隔热层修建厚时,总费用最小,最小值为70万元.21.已知函数,(1)讨论函数的单调性;(2)若函数在区间上存在两个不同零点,求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)【解析】【分析】(1)求导后,讨论和0的大小关系,然后利用导数和函数单调性的关系即可;(2)分离参数后,把零点转化为函数图像的交点,然后根据的图像判断即可.【小问1详解】①当时,,此时函数在上单调递增;②当时,令,得,当时,,此时函数在上单调递减; 当时,,此时函数在上单调递增.【小问2详解】由题意知:在区间上有两个不同实数解,即直线与函数的图象在区间上有两个不同的交点,因为,令,得,所以当时,,函数上单调递减;当时,,函数在上单调递增;则,而,且.所以要使直线与函数的图象在区间上有两个不同的交点,则所以的取值范围为.22.已知函数.(1)若恒成立,求实数的取值范围;(2)求证:当时,成立.【答案】(1);(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)求出导函数可知,当时不合题意,当时求出函数的单调区间,进一步求出函数的最大值,由最大值小于等于0求解a的范围;(2)由(1)可得在上恒成立,令,则,进而累加得,另一方面由得,即,再根据不等式的性质即可证明. 【详解】解:(1),若,则,则在上是增函数,而,不成立,故,若,则当时,;当时,,在上是增函数,在上是减函数,的最大值为,要使恒成立,只需,解得.所以实数的取值范围(2)由(1)知,当时,有在上恒成立,恒成立,令,则,令,则有,以上各式两边分别相加,得,即,又因为,所以,即,所以,所以,证毕.【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题,证明不等式,考查运算求解能力,推理论证能力,化归转化思想,分类讨论思想,是难题.本题第二问解题的关键在于结合(1)得,进而令,进而累加法求解证明,此外根据对数不等式得 ,进而得.

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2023-05-28 17:24:05 页数:19
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文章作者:随遇而安

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