河南省名校青桐鸣2023届高三数学（文）下学期4月联考试题（Word版附解析）

2023届普通高等学校招生全国统一考试大联考(高三)数学(文科)全卷满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合nsana㈱则n()A.{1,2}B.{1,2,3}C.{1,2,3,4}D.{1,2,3,4,5}2.复数满足쳌쳌,则||=()A.1B.C.2D.3.已知命题ǣ݈a,命题ǣa则是的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件a4.已知正实数,点M(1,4)在直线+上，则+的最小值为()A.4B.6C.9D.125.已知tantancos+则݈㐠쳌=()....aa6.函数aasinaa的图象大致是()7.若执行下面的程序框图，则输出的㐠() A.有6个值,分别为6,10,28,36,66,78B.有7个值,分别为6,10,28,36,66,78,91C.有7个值,分别为6,10,28,36,66,78,120D.有8个值,分别为6,10,28,36,66,78,120,1368.已知圆O为△ABC的外接圆,∠0∘则⋅()A.2B.-2C.4D.-49.函数asina++cosa+的最大值为()A.1B.C.D.10.在长方体中2,.为的中点,⊥平面,则与所成角的余弦值为()....11.已知数列{}满足++n∗则₀₃().¹⁰¹².¹⁰¹².²⁰²².²⁰²²12.已知抛物线²a上有三点,a쳌a),点的纵坐标为2,+-4,且,则△面积的最大值为()....二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知a쳌a+ta的一条切线是a,则实数=.14.已知一个球的表面上有四点，，，，∠0∘∠0∘平面⊥平面,则该球的表面积为.15.已知数列{}满足++⋯+tt则⋅+⋅+⋯+t⋅t.16.已知双曲线a的左、右焦点分别为，，点位于双曲线的右支上，交左支于点n,△n的内切圆的半径为1,与n,n分别切于点㐶,则݈㐠∠㐶n=.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。17.(12分)cos已知锐角三角形的内角，，的对边分别为a,tan+tan.coscos(1)求;(2)若求b+c的取值范围.18.(12分) 为巩固拓展脱贫攻坚成果，全面推进乡村振兴，在国家产业扶贫政策的大力支持下，某贫困村利用当地自然条件，在南、北两山上种植苹果，现已开始大量结果，苹果成熟时，将苹果分为“一级”“二级”“三级”，价格从高到低，有一水果商人要收购这里的苹果，收购前，将南山和北山上的苹果各随机摘取了200千克，按等级分开后得到的数据为：南山上的“一级”苹果40千克，“二级”苹果150千克；南、北山上的“三级”苹果共40千克；北山上的“一级”苹果50千克.(假设两山上的苹果总产量相同，以样本的频率估计概率)(1)若种植苹果的成本为5元/千克，苹果收购价格如下表：等级“一级”“二级”“三级”价格（元／千克）1281①分别计算南山和北山各随机摘取的200千克苹果的平均利润；②若按个数计算，“一级”苹果平均每千克有3个，“二级”苹果平均每千克有4个，“三级”苹果平均每千克有6个，以此计算该村南山上的200千克苹果的个数，并按各等级苹果个数以分层抽样的方式从中抽取13个苹果，分别放在13个外形完全一样的包装内，水果商人在这13个苹果中随机取2个，求恰有1个“三级”苹果的概率.(2)判断能否有99%的把握认为“三级”苹果的多少与南、北山有关.t݀附ǣt+++݀.++݀++݀²₀쳌0.10.050.010.005₀2.7063.8416.6357.87919.(12分)在四棱锥P-ABCD中,AB=4,BC=CD=2,AB//CD,∠ABC=90°,PA=PD=2,PD⊥BD.(1)证明:平面PAB⊥平面PBD;(2)求点C到平面PAB的距离.20.(12分)a已知点在椭圆+㌮0쳌上，，分别是椭圆的左、右顶点，直线MA和MB的斜率之和满足：+.(1)求椭圆的标准方程；(2)斜率为1的直线交椭圆于，两点，椭圆上是否存在定点，使直线和的斜率之和满足+0与均不重合)?若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.21.(12分)设函数aaˣ≠0.(1)求a쳌的单调区间;(2)若函数a쳌+a²+a有三个零点aaa₃,且a证明：a+a₃㌮a.(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)asin+sin在直角坐标系a中，曲线的参数方程为为参数且0쳌),以坐标原点为极sin+sin点，a轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，0且tan直线的极坐标方程为㐠t+쳌㐶쳌.(1)求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；(2)若直线与曲线有公共点，求实数的取值范围. 23.[选修4-5:不等式选讲](10分)已知函数a쳌na+n+nan㌮0쳌的图象如图所示,当a时,a쳌取得最小值3,a쳌a.(1)求实数的值;(2)若a쳌a쳌恒成立,求实数的取值范围.2023届普通高等学校招生全国统一考试大联考(高三)答案数学(文科)1.C【解析】由a得1≤a<26,故n={1,2,3,4}.故选C.+2.B【解析】则+故nn+.故选B.3.B【解析】由题意得,命题ǣ0a，故是的必要不充分条件.故选B.4.C【解析】由题意得+故++쳌·++++当且仅当即时,等号成立.故选C.5.A【解析】由tanαtanβ=2,得sinαsinβ=2cosαcosβ,与coscossinsin联立，解得coscos故cos(α-β)=cosαcosβ+sinsin.故选A.sinsin6.A【解析】aˣˣ+a㐠taa쳌,可知a쳌为偶函数,排除B;易知,쳌㌮0,排除C;쳌=0,排除D.故选A.7.C【解析】当n=3时,输出s=6;当n=4时,输出s=10;当n=7时,输出s=28;当n=8时,输出s=36;当n=11时,输出s=66;当n=12时,输出s=78;当n=15时,15>12,输出s=120,结束.故选C.8.B【解析】如图, ∘圆O的直径为㐶故|OB|=|OC|=R=2,∠BOC=2∠BAC=120°,故nnnncos0.sin∠故选B.9.A【解析】asina++cosa+쳌+sina++cosa+.sina+⋅sina++cosa+sina++故最大值为1.故选A.10.B【解析】连接MB,MD,BD,连接A₁D,如图,A₁B₁⊥平面BCC₁B₁,则A₁B₁⊥BM,又A₁C⊥平面MBD,则A₁C⊥BM,A₁C∩A₁B₁=A₁,则BM⊥平面A₁B₁C,则BM⊥B₁C,∠MBC=∠BB₁C,则tan∠MBC=tan∠BB₁C,则解得由长方体的性质易知，A₁B₁∥DC,所以四边形A₁B₁CD为平行四边形,所以A₁D∥B₁C,则∠BA₁D即为所求角,在+△BA₁D中,故cos∠.故选B.11.B【解析】䁞䁞++故{}是首项为=+1=2,公比为2的等比数列，则₀⋅¹⁰¹⁰¹⁰¹¹₀₃₀¹⁰¹².故选B.12.C【解析】由题意得,a则M(1,2),由y₁+y₂=-4,得a-1.a+设直线AB：a，代入抛物线方程得²+0,可得Δ=16+16t>0,得㌮.nnnnnn⋅+⋅+点M(1,2)到AB的距离为d=故nn⋅݀+.nn+由,得+㌮0,即,又㌮,则,则쳌쳌,易得当且仅当时,g(t)取得最大值，为故S△MAB最大值为.故选C..【解析】设切点坐标为(x₀，y₀)，则满足a0a0+lna0a0+则ax₀=x₀-1,代入①a0得a₀a₀+ta₀,解得a₀,.14.16π【解析】设球心为O,半径为R,BD的中点为M,则M为△BCD的外心,OM⊥平面BCD,又平面ABD⊥平面BCD,故O在平面ABD内,故O为△ABD的外心㐶故㐶.sin0∘球 .t⋅¹+【解析】当t时,t²t쳌²t满足t故=t,n∈n∗.令⋅+⋅+⋯+t⋅t⋅+⋅+⋯+t⋅t则⋅+⋅+⋯+t⋅t+tt+tt+两式相减得，+++⋯+t쳌⋅+t⋅t쳌⋅¹t⋅¹+..【解析】设内切圆与F₂M切于点Q,n㐶nnnnn㐶nnnntnnnnnnn,如图,则nnnn,即+t++쳌,化简得t+①,nnnnnn=,即t+②,①+②得t,NI平分∠RNP,则tan∠㐶n故sin∠㐶n则cos∠㐶nsin∠㐶n.sinsincos17.解:(1)由题意得+化简得sin+coscoscoscoscos即sincos则tan解得.(2)由题意及正弦定理得sinsinsinsinsin∘则+sin+sinsin+sin0sin+cossin+0由(1)知,0得则++故sin+故+的取值范围是.18.解:(1)①由题意得,南山:“一级”苹果40千克,“二级”苹果150千克,“三级”苹果200-190=10(千克),南山0+0+000随机摘取的200千克苹果的平均利润为.(元/千克),00 北山:“一级”苹果50千克,“三级”苹果40-10=30(千克),“二级”苹果200-50-30=120(千克),故北山随0+0+000机摘取的200千克苹果的平均利润为.(元/千克).00②南山“一级”苹果有3×40=120(个),“二级”苹果有4×150=600(个),“三级”苹果有6×10=60(个),共有780个,0按分层抽样的方式抽取的13个苹果中，“一级”苹果有(个)，“二级”苹果有000010(个),“三级”苹果有(个),002个“一级”苹果分别记为A₁,A₂,10个“二级”苹果分别记为：⋯0“三级”苹果记为C，抽取2个苹果有⋯0⋯0쳌⋯0⋯0C),…,(₉₀쳌₉쳌₀쳌,共78种可能,恰有1个“三级”苹果有(A₁,C),(A₂,C),(B₁,쳌⋯0,共12种可能.故所求概率为.(2)由(1)可得以下2×2列联表:“三级”苹果“一级”和“二级”苹果合计南山10190200北山30170200合计4036040000000000则㌮㌮2.706,000000故有90%的把握认为“三级”苹果的多少与南、北山有关.19.解:(1)证明:∵∠ABC=90°,AB∥CD,∴∠BCD=90°,+.过点D作DM⊥AB,如图,则DM=BC=2,AM=AB-BM=AB-CD=2,+.又∵AB=4,AB²=BD²+AD²,∴∠ADB=90°, ∴AD⊥BD,又PD⊥BD,PD∩AD=D,PD,AD⊂平面PAD,∴BD⊥平面PAD.∵PA⊂平面PAD,∴PA⊥BD..∵BD∩PD=D,BD,PD⊂平面PBD,∴PA⊥平面PBD,又PA⊂平面PAB,∴平面PAB⊥平面PBD.(2)由PA⊥平面PBD易知∠APB=90°,PA=2,AB=4,则⋅⋅.取AD的中点为Q，连接PQ，AC，由等腰三角形三线合一的性质易得PQ⊥AD.又BD⊥平面PAD,BD⊂平面ABCD,则平面PAD⊥平面ABCD,PQ⊂平面PAD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PQ⊥平面ABCD,且,设点C到平面PAB的距离为h，易得⋅⋅即解得.00++20.解解得a²=4,+aa将代入椭圆方程+得b²=3,故椭圆的标准方程为+.(2)假设存在定点T，则设a쳌a쳌a₀₀쳌,直线的方程为a+,00由题意得+0将y₁=x₁+t,y₂=x₂+t代入整理得2x₁x₂+(t-x₀-yaa0aa0a+₀)(x₁+x₂)-2x₀(t-y₀)=0(*),联立整理得a²+a+²0,则a+aa+aa代入(*)式整理得0a0+a0000a00a0a0解得或a00000代入验证得都在椭圆上，故存在定点T，使+0点T的坐标为或.21.解:aˣ+aˣˣa+.令a쳌0,得a.①若㌮0,当a时,a0㤰当x>-1时a㌮0 则a쳌的单调递减区间为(-∞，-1)，单调递增区间为(-1,+∞).②若0,当a时,a㌮0㤰当x>-1时a0则fa쳌的单调递减区间为(-1，+∞)，单调递增区间为(-∞,-1).(2)证明：因为函数a쳌+a²+a有三个零点，所以方程aˣ+a²+a0有三个不相等的实数a+根，又易知a0为方程的一个实根，所以方程ˣ+a+0有两个不相等的实数根，即-m=有a两个不相等的实数根.a+a令a则aaa当a0时,a㌮0a单调递增；当a㌮0时,a0a)单调递减，所以a쳌0쳌.又因为当a时,a쳌<0;当a㌮时,a쳌㌮0,当x→+∞时,g(x)→0,所以0,则a0쳌a0a₃0+∞쳌.要证a+a₃㌮a,即证a+a₃㌮0,即证a₃㌮a㌮0,只需证a₃쳌a쳌.因为a쳌a₃쳌,a+a+所以只需证a쳌a쳌,即证aa即证a+a+aa0a(-1,0).令aa+ˣ+aˣa0则aaˣ+aˣaˣˣ当a∈(-1,0)时,ˣ㌮㌮ˣ故a㌮0a为增函数，所以a쳌0쳌0,原式得证，故a+a₃㌮0,即a+a₃㌮a,22.解:(1)由0且tan得sincos∴㐠t+쳌t,即sin+cos∴直线l的直角坐标方程为a+0;由0쳌得㐠t0,则sin++sin又sin+sin++1)a+,sinsin∴曲线C的普通方程为a++. +(2)将a代入²a+整理得，+++++则+∴实数m的取值范围为+.23.解:(1)因为㌮0,所以n+n+nn即+解得故实数的值为.(2)由题意知，当a时,a쳌取得最小值3,当函数a쳌a的图象过点时,即+时而由图象可知故.