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宁夏回族自治区银川一中2023届高三数学(理)下学期第二次模拟考试试卷(Word版附解析)
宁夏回族自治区银川一中2023届高三数学(理)下学期第二次模拟考试试卷(Word版附解析)
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绝密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题卷(银川一中第二次模拟考试)注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.作答时,务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z在复平面内对应的点为,是z的共轭复数,则A.B.C.D.2.已知集合,,若,则A.B.C.D.3.已知命题的否定为“,”,则下列说法中正确的是A.命题为“,x2+1>1”且为真命题B.命题为“,”且为假命题C.命题为“,”且为假命题D.命题为“,”且为真命题4.世界数学三大猜想:“费马猜想”、“四色猜想”、“哥德巴赫猜想”,其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在1976年和1994年荣升为“四色定理”和“费马大定理”.281年过去了,哥德巴赫猜想仍未解决,目前最好的成果“1+2”由我国数学家陈景润在1966年取得.哥德巴赫猜想描述为:任何不小于4的偶数,都可以写成两个质数之和.在不超过17的质数中,随机选取两个不同的数,其和为奇数的概率为 A.B.C.D.5.执行如图所示程序框图,则输出的S的值是A.B.C.D.6.下列函数中,定义域和值域不相同的是A.B.C.D.7.已知向量,,且,则实数的值为A.8B.C.4D.8.已知焦点在轴上的双曲线,一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线的倾斜角的5倍,则双曲线的离心率是A.B.2C.D.9.如图,生活中有很多球缺状的建筑.球被平面截下的部分叫做球缺,截面叫做球缺的底面,球缺的曲面部分叫做球冠,垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高.球冠面积公式为,球缺的体积公式为,其中R为球的半径,H为球缺的高.现有一个球被一平面所截形成两个球缺,若两个球冠的面积之比为, 则这两个球缺的体积之比为A.B.C.D.10.已知关于x的方程有两个正根,那么两个根的倒数和最小值是A.-2B.C.D.111.为了降低或消除白炽灯对眼睛造成的眩光,给光源加上一个不透光材料做的灯罩,可以起到十分显著的效果.某一灯罩的防止眩光范围,可用遮光角这一水平夹角来衡量.遮光角是指灯罩边沿和发光体边沿的连线与水平线所成的夹角,图中灯罩的遮光角用表示.若图中,,且,则A.44B.66C.88D.11012.曲线,要使直线与曲线有四个不同的交点,则实数的取值范围是A.B.C.D.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成,利用下面的随机数表选取6个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为______.7816 6572 0802 6314 0702 4369 1128 059814.在等比数列中,、是函数的极值点,则=_______.15.如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中,异面直线AB与CD的夹角为__________. 16.若直线与曲线相切,直线与曲线相切,则的值为___________.三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分17.(12分)已知为等差数列的前n项和,,.(1)求的通项公式;(2)若,的前n项和为,证明:.18.(12分)某校工会开展健步走活动,要求教职工上传3月1日至3月7日的微信记步数信息,下图是职工甲和职工乙微信记步数情况:(1)从3月2日至3月7日中任选一天,求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率;(2)从3月1日至3月7日中任选两天,记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为,求的分布列及数学期望; (3)下图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图.已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名(按照从大到小排序)分别为第68和第142,请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图(不用说明理由).19.(12分)已知O为坐标原点,F为抛物线的焦点,抛物线C过点.(1)求抛物线C的标准方程;(2)已知直线l与抛物线C交于A,B两点,且,证明:直线l过定点.20.(12分)如图,线段是圆柱的母线,是圆柱下底面的直径.(1)弦上是否存在点D,使得平面,请说明理由;(2)若,,点,A,B,C都在半径为的球面上,求二面角的余弦值.21.(12分)已知函数.(1)若在处有极值,问是否存在实数m,使得不等式 对任意及恒成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.;(2)若,设.①求证:当时,;②设,求证:(二)选考题:共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程]在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数,常数,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的方程为.(1)写出的极坐标方程和的直角坐标方程;(2)若直线和相交于两点,以为直径的圆与直线相切,求的值.23.[选修4-5:不等式选讲]已知函数.(1)当时,求不等式的解集;(2)若的最小值为2,且,求的最小值. 银川一中2023届高三第一次模拟数学(理科)参考答案一、单选题1.【答案】A【分析】根据给定条件,求出复数及,再利用复数除法运算求解作答.【详解】依题意,,则,所以.故选:A2.【答案】D【分析】由已知可推得,代入即可解得,代入即可得出答案.【详解】由题意可知,,即,所以,所以,.故选:D.3.【答案】C【分析】根据含量词命题的否定形式可得到原命题,通过反例可说明原命题为假命题.【详解】命题的否定为特称命题,:,,当时,,为假命题,ABD错误,C正确.故选:C.4.【答案】B【分析】求出基本事件总数,再求出和为奇数事件所包含的基本事件个数,根据古典概型求解.【详解】不超过17的质数有:2,3,5,7,11,13,17,共7个,随机选取两个不同的数,基本事件总数,其和为奇数包含的基本事件有:,共6个,所以.故选:B5.【答案】B【分析】执行程序即可算出其输出值结果.【详解】由题意可知,流程图的功能为计算的值,裂项求和可得:.故选:B.6.【答案】D【分析】根据一次函数、反比例函数、幂函数和分段函数的性质,逐个选项进行判断即可得到答案.【详解】对于A:函数的定义域为,值域也为,不符合题意;对于B:函数的定义域和值域都为,不符合题意;对于C:的定义域和值域都为,不符合题意;对于D:的定义域为;当时,;当时,;所以值域为,定义域和值域不相同,符合题意;故选:D.7.【答案】A【分析】利用向量垂直的坐标表示,结合数量积公式,即可求解.【详解】因为,,.所以. 所以.故选:A8.【答案】A【分析】由题意求出双曲线的一条渐近线的倾斜角,可得渐近线的斜率,根据离心率的计算公式可得答案.【详解】由题意设一条渐近线的倾斜角为,则另一条渐近线的倾斜角为,由双曲对称性可得,则一条渐近线的斜率为,设双曲线的长半轴长为a,短半轴长为b,则,故离心率为,故选:A9.【答案】C【分析】根据已知条件求得,,代入体积公式计算即可.【详解】设小球缺的高为,大球缺的高为,则,①由题意可得:,即:,②所以由①②得:,,所以小球缺的体积,大球缺的体积,所以小球缺与大球缺体积之比为.故选:C.10【答案】B【分析】由判别式可解得,由根与系数关系可得,由的范围结合不等式的性质变形可得答案.【详解】由题意可得,解得或,设两个为,,由两根为正根可得,解得,综上知,.故两个根的倒数和为,,,, 故,,故两个根的倒数和的最小值是.故选:B11.【答案】B【分析】根据二倍角公式得到,代入式子得到,解得答案.【详解】,即,所以,,解得,故选:B.12.【答案】B【分析】结合可确定曲线上的点的位置,结合双曲线和圆的图象可确定曲线的图象,采用数形结合的方式可求得结果.【详解】由题意得:,即,即曲线上的点为圆上或圆外的点,由得:或,由得:或或或,由此可得曲线的图象如下图所示,由图象可知:当时,直线与曲线有四个不同交点;实数的取值范围为.故选:B.二、填空题13.【答案】11【分析】根据题设的抽取方式,结合随机表法依次写出所得编号,即可得答案.【详解】由题设,依次取出的编号为08、02、14、07、11、05,所以第5个个体的编号为11.故答案为:1114.【答案】【分析】由题,利用导数及韦达定理可得,后利用等比中项性质可得答案.【详解】,由题是方程的两个不等实根,则由韦达定理,所以又是的等比中项且与同号,则.故答案为:.15.【答案】【分析】把展开图恢复到原正方体,得到AEDC,从而得到∠BAE或其补角是异面直线AB与CD所成的角,从而可解.【详解】如图所示,把展开图恢复到原正方体.连接AE,BE.由正方体可得且,∴四边形ADCE是平行四边形,∴AEDC.∴或其补角是异面直线AB与CD所成的角. 由正方体可得:,∴是等边三角形,∴.∴异面直线AB与CD所成的角是60°.故答案为:60°16.【答案】1【分析】构造函数,设切点为,设,设切点为,结合条件得到是函数和的图象与曲线交点的横坐标,利用对称性得出关于直线对称,从而得出,,然后计算出.【详解】设,则,设切点为,则,则切线方程为,即,直线过定点,所以,所以,设,则,设切点为,则,则切线方程为,即,直线过定点,所以,所以,则是函数和的图象与曲线交点的横坐标,易知与的图象关于直线对称,而曲线也关于直线对称,因此点关于直线对称,从而,,所以.故答案为:1.三、解答题17.【答案】(1);(2)详见解析.【分析】(1)设数列的公差为,将已知条件转化为关系,即可求解;(2)根据通项公式,用裂项相消法求出和,即可证明结论.【详解】(1)由设数列的公差为,则解得,,所以是首项为3,公差为2的等差数列,所以;(2)由,可得,所以,又,故.18.【答案】(1)(2)分布列见解析,(3)3月3日【分析】(1)根据古典概型公式求解即可. (2)根据题意得到,,,,再写出分布列数学期望即可.(3)根据折线图和频率分布直方图求解即可.【详解】(1)令时间A为“职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000”,从3月2日至3月7日这6天中,3月2日、5日、7日这3天中,甲乙微信记步数都不低于10000,故.(2)由(1)知:,,,,的分布列为:(3)根据频率分步直方图知:微信记步数落在,,,,(单位:千步)区间内的人数依次为人,人,人,人,人,由甲微信记步数排名第68,可知当天甲微信记步数在15000到20000万之间,根据折线图知:只有3月2日,3月3日,3月7日.由乙微信记步数排名第142,可知当天乙微信记步数在5000到10000万之间,根据折线图知:只有3月3日和3月6日,所以3月3日符合要求.19.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】(1)将代入抛物线即可求解;(2)设,直线l的方程为,将直线l与抛物线进行联立可得,结合可得,即可求证【详解】(1)因为抛物线C过点,∴,解得,∴抛物线C的标准方程为.(2)设,直线l的方程为,联立,化为,,∴,∵,∴,,解得,满足,∴直线l的方程为,∴直线过定点.20.【答案】(1)存在,理由见解析(2)【分析】(1)根据面面平行的判定定理、性质定理分析证明; (2)根据题意结合长方体的外接球可得,建系,利用空间向量求二面角.【详解】(1)当点D为的中点时,平面,证明如下:取AB的中点D,连接OD,∵O,D分别为,的中点,则,平面,平面,∴平面,又∵,平面,平面,∴平面,,平面,∴平面平面,由于平面,故平面.(2)∵是的直径,可得,即,且,,故,,又∵平面,且平面,∴,即,,两两垂直,且点,A,B,C都在半径为的球面上,可知该球为以、、为长、宽、高的长方体的外接球,则,可得,以A为原点,,,所在直线分别为x,y,z轴建立直角坐标系,则,,,,得,,设为平面的一个法向量,则,令,则,可得,且为平面的一个法向量,设二面角为,则,所以二面角的余弦值为.21.【答案】(1)存在,;(2)①证明见解析;②证明见解析.【分析】(1)根据微积分基本定理求得,由,求得参数;利用导数求函数的在区间上的最值,结合一次不等式在区间上恒成立问题,即可求得参数的范围;(2)①求得,利用导数求得的单调性,即可容易证明;②由①中所求,可得,利用对数运算,即可证明.【详解】由题可知,.(1)由,可得,.又当时,,故在区间单调递减,在单调递增. 故函数在处取得极值,所以.∵,.∴,当时,由上述讨论可知,单调递增,故不等式对任意及恒成立,即:,即:对恒成立,令,,即,且,整理得,且,解得:,即为所求.(2)①∵,当时,,在上单调递减,即证.②由①可得:令:,得,即:=即证.【点睛】本题考查由极值点求参数值,利用导数由恒成立问题求参数范围,以及利用导数证明不等式以及数列问题,属压轴题.22.【答案】(1)的极坐标方程为,,的直角坐标方程为(2)【分析】(1)消去参数得到的普通方程,再利用公式得到极坐标方程,注意定义域,再求出的直角坐标方程;(2)将代入的极坐标方程,求出的坐标,得到为直径的圆的圆心和半径,根据相切关系得到方程,求出答案.【详解】(1)将曲线的参数方程消去,得的普通方程为,且因为,所以,将,,代入,得,即,,即为的极坐标方程,由直线的方程化简得,化简得,即为的直角坐标方程.(2)将直线代入,得,即.故以为直径的圆圆心为,半径. 圆心到直线的距离,由已知得,解得.23.【答案】(1)(2)9【分析】(1)根据零点分区间,分类求解即可,(2)根据绝对值三角不等关系可得,进而结合基本不等式即可求解.【详解】(1)当时,等价于,当时,,则,当时,,则,当时,,则,综上所述,不等式的解集为.(2),当且仅当等号成立,,即,,,,当且仅当,即,即,时,等号成立,故的最小值为9
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高考 - 模拟考试
发布时间:2023-05-21 15:45:02
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文章作者:随遇而安
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