2022-2023学年高二数学下学期期中考试试题（Word版附答案）

河南省实验中学2022-2023学年下期期中试卷高二数学（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知函数，则　　A．B．C．D．2.已知等比数列的各项均为正数，且，则　　A．3B．4C．5D．63.将3名男生和2名女生排成一队照相，要求女生相邻，共有　　排法．A．120B．24C．48D．964.已知表示等差数列的前项和，且，那么　　A．B．C．D．5.若，则　　A．B．1C．15D．166.数列中，，为正整数），则　　A．B．C．D．7.函数存在两个极值点，则实数的取值范围是　A．B．C．D．8.将4个A和2个B随机排成一行，则2个B不相邻的概率为　A．B．C．D．9.函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是　A．B．C．D．高二数学第9页（共4页） 10.数列满足，，，，则实数的取值范围是　　A．B．C．D．11.设函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集是　　A．B．C．D．12.设，则　　A．B．C．D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.在的展开式中，的系数为　．（用数字作答）14.设数列，均为等差数列，它们的前项和分别为，，若，则　　．15.在学雷锋志愿活动中，安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有　种．16.已知正实数，满足，则的最小值为　．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题10分，其余试题每题12分）17.已知{an}满足：，，．(1)求an；(2)令，求数列{bn}的前n项和Tn．高二数学第9页（共4页） 18.已知函数f(x)＝x2－2x＋alnx．(1)若函数在x＝1处的切线与直线x－y－2＝0垂直，求实数a的值；(2)当a>0时，讨论函数的单调性．19.设数列的前n项和为，且．(1)求；(2)求数列的前n项和．20.如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，，M为BC的中点．(1)证明：AM⊥平面PBD；(2)求二面角P－AM－D的正弦值．高二数学第9页（共4页） 21.已知椭圆，离心率，过点．(1)求C的方程；(2)直线过点，交椭圆与A、B两点，记，证明．22.已知函数．(1)若时，恒成立，求的取值范围；(2)记，讨论函数与的交点个数．河南省实验中学2022--2023高二数学期中考试答案参考答案123456789101112ADCBDBACABDD13．14．15．15016．19.解：函数的定义域是，在有解，即，即，解得，所以的取值范围是．高二数学第9页（共4页） 10.解：数列满足，则，且，数列是以3为首项，3为公比的等比数列，则，即，又，，转化为对恒成立，即，又数列是递增数列，则当时，，即，故实数的取值范围是．11.解：设，，即，，在上单调递减，又，不等式，即，，原不等式的解集为．12.解：由，令，，所以，因为，因为，所以，，故，所以在上单调递减，又，所以，所以，即，所以．由，令，，所以，所以在上单调递增，所以，所以，即，所以，综上，．高二数学第9页（共4页） 16.解：，即，设，则，且，所以在上单调递增，正实数，，，即，所以，等价于，即，则，于是最小值为1．17.解：(1){an}满足：，则{an}为等差数列，，，即，解得，；......................5分(2)，则．......................10分18.解：函数定义域为(0，＋∞)，求导得f′(x)＝2x－2＋．(1)由已知得f′(1)＝2×1－2＋a＝－1，得a＝－1．..............4分(2)f′(x)＝2x－2＋＝(x>0)，对于方程2x2－2x＋a＝0，记Δ＝4－8a.①当Δ≤0，即a≥时，f′(x)≥0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；②当Δ>0，即0<a<时，令f′(x)＝0，解得x1＝，x2＝.又a>0，故x2>x1>0.当时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，当时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．综上所述，当a≥时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当0<a<时，函数f(x)在上单调递增，上单调递减，在上单调递增．..............12分19.解：(1)当n＝1时，2a1+1＝3a1，∴a1＝1，又2Sn+1=3an(n∈N*)，∴可知an≠0，高二数学第9页（共4页） 当n≥2时，由2Sn+1=3an(n∈N*)，得2Sn﹣1+1＝3an﹣1，两式相减得2an＝3an﹣3an﹣1，∴an＝3an﹣1，∴{an}是以1为首项，以3为公比的等比数列，∴an=3n-1．..............6分(2)由(1)可得nan=n⋅3n-1，∴Tn=1⋅30+2⋅3+3⋅32+⋯+n⋅3n-1，∴3Tn=3+2⋅32+3⋅33+⋯+n⋅3n，∴-2Tn=1+3+32+⋯+3n-1-n⋅3n=1-3n1-3-n⋅3n=(12-n)⋅3n-12，∴Tn=14+2n-14⋅3n．..............12分20.解：(1)证明：为的中点，，又四棱锥的底面是矩形，，，，又，，底面，底面，，又，且，平面，平面．........5分(2)平面，又，平面，，，又四棱锥的底面是矩形，，建立如下图所示的空间直角坐标系，设：，，，，平面，平面的法向量为，设平面的法向量为，高二数学第9页（共4页） 则，取，二面角P－AM－D的余弦值为：，于是二面角P－AM－D的正弦值为...............12分21.解：(1)由题得，解得，于是；..............4分(2)直线的斜率不存在时，易得；直线的斜率存在时，可设为，联立方程即，消可得，易得，设，韦达定理可得；，韦达代入得，得证．..............12分22..解：(1)，．，，当时，，单调递增，，不等式成立，当时，．，，单调递减，，这与题设矛盾．综上，的取值范围为，．..............5分高二数学第9页（共4页） (2)记，则，．记，则，单调递增，且由唯一零点，于是在单调递减，单调递增，在处取得最小值．当，即时，，故在上单调递增，在上有唯一零点;当，即时，，，于是有两个零点，且，于是在单调递增，单调递减，单调递增，又，则，，，，则由零点存在定理可得在存在唯一零点，在存在唯一零点，故此时有三个零点．综上可得时，有一个交点；时，有三个交点．..............12分高二数学第9页（共4页）