浙江大学附属中学2022-2023学年高二数学下学期期中试题（Word版附答案）

2022学年第二学期浙大附中期中考试高二数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求的1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.设复数满足，则在复平面内对应的点在第几象限.（）A.一B.二C.三D.四3.已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（）A.B.C.D.4.已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则（）A.4B.3C.D.5.若函数在上单调递增，则的最大值为（）A.1B.C.D.6.第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行。甲、乙等5名杭州亚运会志愿者到羽毛球、游泳、射击、体操四个场地进行志愿服务，每个志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲去羽毛球场，则不同的安排方法共有（）A.96种B.60种C.36种D.24种7.已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，于点，若，则（）A.B.C.D.8.已知，，，其中，，，则（）A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论正确的为（）A.若，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，则 10.已知圆，点是圆上的动点，则下列结论正确的是（）A.圆关于直线对称B.直线被圆所截得的弦长为C.的最大值为D.的最小值为11.已知函数，则（）A.的极小值为2B.有两个零点C.点是曲线的对称中心D.直线是曲线的切线确的有12.已知数列满足，，，为数列的前项和，则下数说法正确的有（）A.为偶数时，B.C.D.的最大值为20三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.展开式中的常数项为______.14.已知圆柱上、下底面的圆周都在一个体积为的球面上，圆柱的底面直径为8，则该圆柱的体积为______.15.已知等差数列的前项和为，，，则的取值范围为______.16.若对任意正实数，都有，则实数的取值范围为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知，记，函数（1）写出的解析式，并求出的最小值.（2）若函数在上是单调函数，求的取值范围.18.（12分）已知函数，.（1）求函数的最小值和最小正周期； （2）已知内角，，的对边分别为，，，且，，若向量与共线，求，的值.19.（12分）在①，②，这两组条件中任选一组，补充在下面横线处，并解答下列问题.已知数列的前项和是，数列的前项和是，______，（1）求数列，的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求.20.（12分）如图：已知所在的平面与菱形所在的平面垂直，且，，为的中点.（1）证明：；（2）若为线段上的点，且与平面的夹角为45°，求平面与平面夹角的余弦值.21.（12分）已知，平面内一动点满足.（1）求点运动轨迹的轨迹方程；（2）已知直线与曲线交于，两点，当点坐标为时，恒成立，试探究直线的斜率是否为定值？若为定值请求出该定值，若不是定值请说明理由.22.（12分）已知函数.（1）当时，求在上的值域；（2）若有两个零点，，且，证明：且.2022学年第二学期浙大附中期中考试高二数学答案题号12345678答案ADBCBBDA 题号9101112答案BDACBCDAC13.14.15.16.17.解：（1）作出函数和的图象，如图，∴所以的最小值为.（2），∴18.解：（1），∴的最小值为，最小正周期为.（2）∵.即，∵，，∴，∴.∵与共线.∴.由正弦定理.得，①∵.由余弦定理.得，②解方程组①②，得19.解：（1）选①，，可得，即，当时，，又，两式相减可得，即有，则数列是首项和公比均为3的等比数列，所以；选②，可得，解得，当时，，又， 两式相减可得，则，即为，，……，，所以，即，，（2）证明：若选①，可得，设，，上面两式相减可得，所以，若选②，可得，则.20.解：（1）证明：在菱形中，因为，所以为正三角形，又因为为的中点，所以，因为平面平面，为平面与平面的交线，所以平面，又因为平面，所以.（2）因为，为的中点，所以，又因为，，所以平面，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图所示， 设，则，，，，，，，，设，其中，则，因为为平面的法向量，所以，得，即是的中点，所以.设为平面的法向量，则令，得，取，设为平面的法向量，则得出令，得，，取，设平面与平面夹角为，则.21.解：（1）设，则，所以点轨迹方程为：；（2）显然直线不垂直于轴，故设，，，代入并整理得：， ，∴整理得：，若，此时过，不合题意；若，即符合题意，故直线的斜率为.22.解：（1）当时，，则.当时，，当时，.故，因为，，所以，故在上的值域为.（2）证明：因为有两个零点，，所以解得.又，不妨令，则，所以.要证，只需证.由（1）可知，，，则.因为当时，在上单调递减，所以要证，只需证.因为，所以等价于.令函数，，则. 因为，当且仅当时，等号成立，所以，即在上单调递减，所以.故，则.