浙江省衢温51联盟2022-2023学年高一数学下学期期中联考试题（Word版附解析）

衢温“5+1”联盟2022学年第二学期期中联考高一年级数学学科试题一､单项选择题（本题共有8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目的要求）1.已知集合，集合，则（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据幂函数定义域和正弦函数值域即可得到集合，再根据交集含义即可得到答案.【详解】根据幂函数定义域可知，根据正弦函数的值域可知，故，故选：B.2.已知向量，且，则向量（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据平面向量互相垂直的坐标表示公式，结合平面向量线性运算的坐标表示公式进行求解即可.【详解】因为，所以，因为，所以，故选：A3.已知是方程的两个实数根，则（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用两角和的正切公式即可得到结果.【详解】因为是方程的两个实数根，所以，则，故选：D.4.已知偶函数定义域为，当时，单调递减，，，则的大小关系是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意得到，结合函数的单调性和，即可求解.【详解】因为函数为偶函数，可得，又因为当时，单调递减，且，所以，即，所以.故选：B.5.已知函数，则函数的值域为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据对数函数的定义域以及三函数的值域得出真数的取值范围，根据对数函数的单调性求得结果即可.【详解】已知函数，则， 所以，所以函数的值域为.故选：C.6.据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近年内减少了，如果按此速度，设2022年的冬季冰雪覆盖面积为，从2022年起，经过年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积与的函数关系式是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】确定北冰洋冬季冰盖面积的年平均变化率，然后建立函数关系.【详解】设北冰洋冬季冰盖面积为上一年的倍，则，，所以设2022年的冬季冰雪覆盖面积为，从2022年起，经过年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积与的函数关系式是，故选：C.7.在中，，直线上异于两点的点满足，且，则的值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据平面向量线性运算的性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.【详解】因为，所以，而， 于是有，即，解得，舍去，故选：A【点睛】关键点睛：利用平面向量数量积的运算性质，结合余弦定理是解题的关键.8.已知函数是定义在上的单调函数，且对任意，均有.若关于的方程有解，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用换元法，结合函数单调性的性质、对钩函数的单调性进行求解即可.【详解】令，则有，由，因为函数是定义在上的单调函数，且，所以，于是有，且，令，所以，，，因为关于的方程有解，所以方程有解，函数在时，单调递增，故，所以想要关于的方程有解， 只需，故选：D【点睛】关键点睛：根据单调性的性质，结合对钩函数的单调性进行求解是解题的关键.二､多项选择题（本题共有4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.“”是“”的充分不必要条件B.在中，“”是“”的充要条件C.在中，“”是“sin”的必要不充分条件D.“”是“”的充分不必要条件【答案】BD【解析】【分析】根据充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件定义，结合正弦定理、一元二次不等式的解法、绝对值不等式的解法逐一判断即可.【详解】当时，显然不成立，故A不正确；若，则由，若，因为，所以，所以，因此成立，若时，由，若中有一个在时，因为，所以，所以，，因此，故B正确；在三角形中，故C不正确；或，或，则或⫋或，所以“”是“”的充分不必要条件，故D正确， 故选：BD.10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.当时取得最大值B.在上单调递减C.在上单调递增D.的一个对称中心为【答案】CD【解析】【分析】先应用辅助角公式化简,再应用正弦函数性质分别求解最值,单调性和对称中心分别判断选项即可.【详解】由题可得,对A，当,,，A选项错误;对BC，,单调递增,B选项错误;C选项正确;对D，,D选项正确.故选：CD.11.质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的上顺时针作匀速圆周运动，同时出发.的角速度大小为，起点为与轴正半轴的交点；的角速度为，起点为射线与的交点.则当与重合时，的坐标可以为（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】 【分析】当与重合时,两个点的终边相差的角度为，结合已知列出方程，对赋值逐一判断各选项即可.【详解】设当与重合时，所用时间为，与的坐标均为.由题意可知，即，当时，，则的坐标，故C正确，D错误；当时，，则坐标，故A正确；当时，，则的坐标，即，故B错误；故选：AC.12.已知棱长为1的正方体，以为圆心，为半径作圆弧为圆弧的三等分点（靠近点），则下列命题正确的是（）A.B.四棱锥的表面积为C.三棱锥的外接球的体积为D.若为上的动点，则的最小值为【答案】ABD【解析】 【分析】过作，连接，根据条件求出、，进而可以判断A正确；分别求出四棱锥五个面的面积即可判断B正确；根据条件找到球心，根据几何关系求出球的半径，即可判断C错误；如图所示将平面沿着展开，即可判断D正确.【详解】如图所示，过作，连接，因为为圆弧的三等分点（靠近点），所以，则，，由题意可得平面，在中，，，则，故A正确；由题意可得，，则，,,，在中，因为，，，，四棱锥的表面积为；故B正确；取中点，的重心， 因为为等腰直角三角形，所以其外接圆圆心为，因为为等边三角形，所以其外接圆圆心为，过作平面的垂线，过作平面的垂线，、交于点，则为三棱锥的外接球的球心，则，，所以，即外接球的半径，三棱锥的外接球的体积为，故C错误；如图所示将平面沿着展开，连接，交于点，则根据两点之间距离最短可知此时最小，最小值为，故D正确.故选：ABD.三､填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13.若，则___________.【答案】【解析】【分析】根据复数除法的运算法则，结合共轭复数的定义和复数模的运算公式进行求解即可.【详解】因为， 所以，故答案为：14.在中，，向量是与同向的单位向量，则在上的投影向量为___________.【答案】【解析】【分析】根据锐角三角函数定义，结合投影向量的定义进行求解即可.【详解】因为，所以，，所以在上的投影向量为，故答案为：15.已知函数，若在上单调递增，则取最大值时，方程的解的个数为___________个.【答案】9【解析】【分析】根据正弦函数的单调性求出的最大值，方程的解的个数，即函数图象交点的个数，作出函数的图象，结合函数图象即可得解.【详解】由，得，因为在上单调递增， 所以，解得，所以的最大值为，当取最大值时，，方程的解的个数，即函数图象交点的个数，如图作出函数的图象，由图可知函数图象交点的有个，所以方程的解的个数为个.故答案为：.16.已知对任意，均有不等式成立，其中.若存在使得成立，则的最小值为___________.【答案】##0.25【解析】【分析】由一元二次不等式恒成立得、，将问题化为求最小值，令则，应用基本不等式求最值，注意取值条件.【详解】由题设，有，又，则，又，则，故存在使成立，则， 所以，令，故，所以，且，而，仅当，即等号成立，所以，仅当且时等号成立，故的最小值为.故答案为：【点睛】关键点点睛：根据一元二次不等式求参数的符号和大小关系，将题设条件化为求的最小值，结合换元法、基本不等式求最值.四､解答题（本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤）17.已知函数.（1）当时，求函数的值域；（2）当时，求函数的单调递减区间.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用辅助角公式将函数化简，再根据的取值范围求出，根据正弦函数的值域计算可得；（2）根据正弦函数的单调区间计算可得.【小问1详解】 当时，的值域.【小问2详解】由，得，的单调递减区间为18.已知向量.（1）若，求的值；（2）已知，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据向量平行的结论即可求出结果；（2）根据向量的数量积运算结合平方关系、两角和的正弦公式即可求出结果.【小问1详解】即【小问2详解】 ，且①，且②由①②知.19.已知正三棱锥的高为4，底面边长为.（1）求该正三棱锥的表面积；（2）用平行底面的平面去截该三棱锥，所得截面三角形的边长为，已知点都在同一球面上，求该球的体积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分别求出各边的长，进而求出其表面积；（2）根据条件可得球心在直线上，利用关系建立勾股定理求出球的半径，进而求出结果.【小问1详解】记高为，垂足为，则为的中心且 正三棱锥侧面的斜高正三棱锥的表面积所以该正三棱锥的表面积为.【小问2详解】因为为正三棱台，所以球心在直线上，设球心为，设记与的交点为，则为的中心则，且或，则，即， 外接球的半径，球的体积.20.位于某港口的小艇要将一件重要物品送到一艘正在航行的海轮上.在小艇出发时，海轮位于港口北偏东且与该港口相距海里的处，并正以海里/时的速度沿正西方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以海里/时的航行速度匀速行驶，经过小时与海轮相遇.（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇的航行速度应为多少？（2）若经过小时小艇与海轮相遇，则小艇的航行速度应为多少？（3）假设小艇的最高航行速度只能达到海里/时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与海轮相遇，并求出其相遇时间.【答案】（1）海里/时（2）海里/时（3）当小艇的航行方向为北偏西，航速为海里/时，小艇能以最短时间小时和海轮相遇【解析】【分析】（1）利用正弦定理可求最小距离，进而确定速度；（2）由两小时可确定边，再利用余弦定理可得及速度；（3）设，可得，，再根据时间相等可确定速度，再利用三角函数性质可得的最值及时间的最值.【小问1详解】如图所示，，，，时，即小艇往正北方向航行时航行的距离最小为海里， 海轮航行的距离为海里，故航行时间为小时，所以小艇的航行速度海里/时；【小问2详解】如图所示，设小艇与海轮在点处相遇，经过小时后海轮航行的里程为海里，即，则在中，由余弦定理得，所以小艇航行的里程海里，故小艇的航速海里/时；【小问3详解】如图所示，因为，且小艇的最高航速为海里/时，，，故小艇与海轮不可能于，及之间的任意位置相遇，设在点相遇，，则，，，整理得，从而，所以，， 故时，即，相遇时间最短，为小时，综上当小艇的航行方向为北偏西，航速为海里/时，小艇能以最短时间小时和海轮相遇.21.已知函数.（1）若函数，判断的奇偶性并证明；（2）对，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）函数的为奇函数，证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性的定义，结合对数的运算性质进行判断证明即可；（2）根据函数的奇偶性、单调性，结合常变量分离法分类讨论进行求解即可.【小问1详解】为奇函数，理由如下：，定义域为，，，函数的为奇函数.【小问2详解】为增函数， 又在单调递增，在单调递增，在单调递增，在上为连续的奇函数，在上单调递增，在上单调递增，等价于，即，即，①当时，式等价于，成立；②当时，式等价于，则只要，令，当时，，等号当且仅当时成立；当时，，等号当且仅当时成立；综上：，，即. 【点睛】关键点睛：由函数的奇偶性和单调性得到，然后根据常变量分离法分类讨论求解是解题的关键.22.已知函数.（1）当时，判断函数的单调性，并写出单调区间（无需证明）；（2）若存在，使成立，求实数的取值范围.【答案】（1）的单调增区间，单调减区间，（2）【解析】【分析】（1）根据绝对值的性质，结合对数的运算性质、对数函数的单调性进行求解即可；（2）根据存在性的性质，结合函数单调性的性质、函数的最值分类讨论进行求解即可.【小问1详解】，则当单调递减，当单调递增，的单调增区间，单调减区间；【小问2详解】存在在，，则只要当时，即可.-①当时，在单调递减，在单调递增，此时，得②当时，，此时，不合题意-③当时，在单调递减，单调递增，单调递减， 单调递增I）当，即时，，不合题意II），即时，设表示中最大的数，由得或，无解综上，【点睛】关键点睛：根据函数单调性的性质，利用分类讨论法进行求解是解题的关键.