广东省汕头市金山中学2023届高三数学下学期一模试题（Word版附解析）

汕头市金山中学2023届高三年级校模数学本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟。注意事项：1．本试卷分选择题和非选择题两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将答题卡上的相应位置填涂考生号。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案写在试卷上无效。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需要改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。第I卷选择题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合,,则()A．B．C．D．2．已知复数z满足,则z在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．己知向量，满足，，则在方向上的投影向量的模长为()A．B．3C．D．4．如图l，在高为h的直三棱柱容器中，,现往该容器内灌进一些水，水深为,然后固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为（如图2），则=()A．B． C．D．5．某软件研发公司对某软件进行升级，主要是对软件程序中的某序列重新编辑，编辑新序列为,它的第n项为,若的所有项都是2，且，，则()A．8B．10C．12D．146．立德学校于三月份开展学雷锋主题活动，某班级5名女生和2名男生，分成两个小组去两地参加志愿者活动，每小组均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有()种．A．20B．4C．60D．807．已知是定义在R上的奇函数，当时,,若函数是偶函数，则下列结论不正确的为()A．a=1B．的最小正周期T=4C．有4个零点D．8．已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴子于点D.若,则双曲线的离心率取值范围是()A．B．C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．每年4月23日为“世界读书日”，树人学校于四月份开展“书香润泽校园，阅读提升思想”主题活动，为检验活动效果，学校收集当年二至六月的借阅数据如下表：月份二月三月四月五月六月月份代码xl2345月借阅量y（百册）4.95.15.55.75.8 根据上表，可得y关于x的经验回归方程为，则()A．B．借阅量4.9，5.1，5.5，5.7，5.8的上四分位数为5.7C．y与x的线性相关系数r>0D．七月的借阅量一定不少于6.12万册10．已知，下列选项正确的是()A．的值域为B．的对称中心为C．的单调递增区间为和D．图像向右平移个单位与的图像重合11．如图，点M是棱长为l的正方体中的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是()A．不存在点M满足平面B．存在无数个点M满足C．当点M满足时，平面截正方体所得截面的面积为D．满足的点M的轨迹长度是12．已知，若分别是方程和的根，则下列说法正确的是()A．B．C．D．第Ⅱ卷非选择题三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．二项式的二项式系数之和为64，则展开式中的的系数是（填数字） 14．己知为锐角，，，则15．已知点P是椭圆上一点，椭圆C在点P处的切线l与圆交于A，B两点，当三角形AOB的面积取最大值时，切线l的斜率等于16．已知四边形ABCD为平行四边形，，，，现将沿直线BD翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的内切球与外接球表面积的比值为.四、解答题：本大题共6小题，共70分．第17题为10分，其他为12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列的前n项和为，，且.(1)求的通项公式；(2)已知，求数列的前n项和.18．在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知.(1)求角A的值；(2)若c=2，求a+b的取值范围．19．安全教育越来越受到社会的关注和重视．为了普及安全教育，学校组织了一次学生安全知识竞赛，学校设置项目A“地震逃生知识问答”和项目B“火灾逃生知识问答”．甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项日，进行班级对抗赛．每一个比赛项目均采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束），假设在项目A中甲班每一局获胜的概率为，在项目B中甲班每一局获胜的概率为，且每一局之间没有影响．(1)求乙班在项目A中获胜的概率；(2)设乙班获胜的项目个数为X．求X的分布列及数学期望．20．如图，在三棱台中，面，,(1)证明：；(2)若棱台的体积为，，求二面角的余弦值．21．在平面直角坐标系xOy中，点P到点的距离比到y轴的距离大l，记点P 的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)过点F且斜率为的直线l交椭圆于A，B两点，交曲线C于M、N两点，若为定值，则实数应满足什么关系？22．已知函数，，其中a>0且a≠1.(1)征明：当a=e时，恒成立；(2)证明：当时，曲线与曲线有且只有两条公切线．数学参考答案 1．【答案】C2．【答案】B3．【答案】B4．【答案】A5．【答案】C6．【答案】C7．【答案】D8．【答案】A9．【答案】ABC对于A，因为，，所以，得，所以A正确，对于B，因为5×75%=3.75，所以借阅量4.9，5.1，5.5，5.7，5.8的上四分位数为5.7，所以B正确，对于C，因为0.24>0，所以y与x的线性相关系数r>0，所以C正确，对于D，由选项A可知线性回归方程为当x=6所以七月的借阅量约为6.12百册，所以D错误，10．【答案】ABD解析：，因为，所以，故A正确，因为的对称中心与函数的对称中心相同，故可求得的对称中心为故B正确，若递增，则所以的单调递增区间为和故C错误． D选项，，图像向右平移个单位，得到函数，与解析式相同，图像重合．故A、B、D正确，C错误．11．【答案】BCD解：对于选项A：因为四边形ABCD是正方形，所以，又，所以，因为，所以，所以，同理可证,又因为,所以，又点M是面上的一个动点（包含边界），所以当M与A1重合时，故A错误；对于选项B：在正方体中：，则又因为,，所以，可知当M在线段上时，有故存在无数个点满足故B正确；对于选项C，截面为菱形，易得面积为.对于选项D：以D点为原点，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，因为正方体的棱长为l，所以设所以，,因为，所以化简得：，所以点M的轨迹是一段圆弧，经计算D正确．故选BCD.12．【答案】ACD 【详解】因为则所以的图像是由的图像向右平移一个单位，再向上平移一个单位而得，则在上单调递减，不妨设点是上的一点，则，即，故，则，所以（b,a）也是上的点，故的图像关于直线y=x对称，联立，解得，又与互为反函数，所以与的图像也关于直线对称，因为分别是方程和的根，所以画出函数，与的图像，如图，对于A，当且趋近于1时，由的性质可知趋于无穷大，则，当时，，因为，所以，则即所以，则，即，则由图像可知，与的图像的交点的横坐标落在区间中，因为a是方程的根，即a为的图像的交点的横坐标，所以，故，故A正确；对于B，因为分别是方程和的根， 所以与的图像的交点为，与的图像的交点交点为，又的图像关于直线y=x对称，所以与关于直线y=x对称，则或，所以，故故B错误；对于C，当x=2时，，则；当时，，由选项A知，则；所以与的图像的交点的横坐标落在区间中，即，又所以，故C正确；对于D，因为是方程的根，则所以，当且仅当，即时，等号成立，而由选项C可知，即等号不成立，所以，故D正确．故选：ACD.13．【答案】l5因为二项式的二项式系数之和为64，所以，所以展开式的通项为，令，则，所以展开式中的的系数是故答案为：15．14．【答案】解析：因为为锐角，且所以 ，15．【答案】【解释】设则当且仅当时取等号.当时，是等腰三角形，此时点O到切线l的距离等于解法一：设切线l的方程为，则有，整理得：联立得：由相切得：整理得：联立①②解得解法二：设点P的坐标为，切线l的方程为，则有①又联立①②解得所以切线l的斜率.16．【答案】解：故则折成的三棱锥中，，， 即此三棱锥的对棱相等，故此三棱锥的三组对棱是一个长方体的六个面的对角线，设长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为a，b，c则此长方体的外接球是三棱锥的外棒球，球直径又因为三棱锥是长方体切掉四个角，故三棱锥三棱锥四个侧面是全等的，设内切球半径为，以内切球球心为顶点，把三棱锥分割为以球心为顶点，四个面为底面的的四个小三棱锥，四个小三棱锥体积等于大三棱锥的体积，故则三棱锥的内切球与外接球表面积的比值为17．解：(1)两式相减，得即，…………2分又时，满足上式…………3分是首项为3，公比为3的等比数列，…………4分(2)依题意，得……………………5分当n为偶数时， ……………7分当n为奇数时…………9分综上，…………10分18．解：(1)由正弦定理得：，即，……………………2分由余弦定理得：，………………．4分………………．5分(2)锐角中，,由正弦定理得：，………．6分………．7分………9分锐角三角形解得………………10分则………………………………………..11分 的范围是…………………………………．12分19．解(1)记“乙班在项目A中获胜”为事件A，由事件的对立性知，乙班在项目A中每局获胜的概率为，负的概率为……1分则…….............................4分所以乙班在项目A中获胜的概率为……………………………………………………5分(2)记“乙班在项目B中获胜”为事件B则，……………………..…………..6分X的可能取值为0，1，2，由事件对立性和独立性知则，……………………..…………..7分，……………………..…………..8分.……………………..…………..9分所以X的分布列为X0l2P……………………..…………..10分所以乙班获胜的项目个数的数学期望为…………………………….……12分20．解(1)证明：在平面中过点C作AC的垂线CD，在平面ABC中过点C作AC的垂线CE，面，，且AC为两平面的交线，故故AC，CE，CD三条两两垂直，………………．1分建立以点C为坐标原点，直线CA，CE，CD分别为x，y，z轴的空间直角坐标系，如图所示，则……4分 ,………………5分(2)，即，………………6分所以则…………..………7分在(1)问建系基础上，设面的法向量由取……………9分，设面法向量由取……………………10分设二面角的大小为，依图可知所以，所以二面角的余弦值为………………………..12分21．解(1)设,由题意，得………………2分两边平方并整理，得故曲线C的方程为……..……．．4分(2)设,， 设直线l的方程为与椭圆E的方程联立，得，………………………………．5分,，………………7分直线l的方程与曲线C的方程联立,得，,……………．9分……………………10分要使为定值，则，即故当为定值时，实数应满足……………………12分22．证明：（1）当a=e时，原式化为即…..………1分先证,令，则当时，，当时，，，同理…….……3分,．故原式得证．…………………4分(2)设直线l分别与、相切于点、，，………………5分 ，………6分………..7分消去得令，得令………….……8分要证两函数有且只有两条公切线，即证h(t)在上有且只有两个零点．恒成立，在上单调递增，………………………………9分在上有唯一零点,且当时，，当时，…………………10分………11分又时，，时，在和上分别存在一个零点，故有且只有两个零点，故原命题得证．……………12分