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广东省佛山市南海区南海中学2022-2023学年高二数学下学期3月第一次阶段试卷(Word版附解析)
广东省佛山市南海区南海中学2022-2023学年高二数学下学期3月第一次阶段试卷(Word版附解析)
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南海中学2022~2023学年度第二学期高二年级数学科第一次阶段考考试时间:2023年3月24日14:40-16:40本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,满分150分,考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目;2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答案涂在答题卡的相应位置上;3.非选择题必须用黑色字迹的钢或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.第I卷(选择题共60分)一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在数列中,,,则的值为()A.52B.51C.50D.49【答案】A【解析】【分析】由题判断出函数为等差数列,即可求出.【详解】由题意,数列满足,即,又由,所以数列为首项为2,公差为的等差数列,所以.故选:A.2.一双曲线的虚轴长为4,离心率与椭圆的离心率互为倒数,且焦点所在轴相同,则该双曲线的方程为()A.B. C.D.【答案】C【解析】【分析】由椭圆方程可确定焦点在轴上且离心率,从而得双曲线的焦点也在轴上,离心率,再结合离心率公式及所求双曲线的虚轴长为,即可求得双曲线的方程.【详解】解:因为椭圆的焦点在轴上,离心率,所以所求双曲线的焦点也在轴上,离心率,即,所以,又因为双曲线的虚轴长为,即,所以,即,所以,所以所求双曲线的方程为:.故选:C.3.等比数列的前项和为,且,,成等差数列,若,则A.7B.8C.15D.16【答案】C【解析】【详解】试题分析:由数列为等比数列,且成等差数列,所以,即,因为,所以,解得:,根据等比数列前n项和公式.考点:1.等比数列通项公式及前n项和公式;2.等差中项.4.已知数列的通项公式为,若对于,数列为递增数列,则实数k的取值范围为()A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】由可得,再根据当时,单调性求解即可.【详解】因为数列为递增数列,所以,即,整理得:,因为当时,单调递减,,所以.故选:C.5.已知函数的图像如图所示,是的导函数,则下列结论正确的是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】结合图象,判断出的大小关系.【详解】由题图可知函数的图像在处的切线的斜率比在处的切线的斜率 大,且均为正数,所以.的斜率为,其比在处的切线的斜率小,但比在处的切线的斜率大,所以.故选:B6.在平行六面体中,已知,,,,,则的值为()A.10.5B.12.5C.22.5D.42.5【答案】A【解析】【分析】将作为基底,然后用基底表示出,再求其数量积即可.【详解】由题意得,,因为,,,,,所以,故选:A 7.我们知道,偿还银行贷款时,“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式,其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还,每一期的还款金额由两部分组成,一部分为每期本金,即贷款本金除以还款期数,另一部分是利息,即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率.自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元,张华跟银行约定,按照等额本金还款法,每个月还一次款,20年还清,贷款月利率为,设张华第个月的还款金额为元,则()A.2192B.C.D.【答案】D【解析】【分析】计算出每月应还的本金数,再计算第n个月已还多少本金,由此可计算出个月的还款金额.【详解】由题意可知:每月还本金为2000元,设张华第个月的还款金额为元,则,故选:D8.在正整数数列中,由1开始依次按如下规则取该数列的项:第一次取1;第二次取2个连续的偶数2,4;第三次取3个连续奇数5,7,9;第四次取4个连续的偶数10,12,14,16;第五次取5个连续的奇数17,19,21,23,25;按此规律取下去,得到一个数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,19…则这个数列中第2023个数是()A.3978B.3980C.3982D.3984【答案】C【解析】【分析】由题意找出取数的规律为:奇数次取奇数个奇数,偶数次取偶数个偶数,前n次总共取的数各数量可以通过等差数列求和得到,且第n次的最后一个数为,据此即可求解.【详解】由题意可得:奇数次取奇数个奇数,偶数次取偶数个偶数,前n次共取了个数,且第n次的最后一个数为,当时,,故到第63次取时取了63个奇数,且前63次共取了2016个数,即第2016个数为,∴时,依次为,∴第2023个数为3982. 故选:C.二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分.9.某商场推出二次开奖活动,凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券,奖券上有一个兑奖号码,可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动.如果每次兑奖活动中奖概率都是,且每次中奖互不影响,则两次抽奖中()A.都中奖的概率为B.都没有中奖的概率为C.恰有一次中奖的概率为D.至少有一次中奖的概率为【答案】CD【解析】【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式及对立事件的概率公式计算可得.【详解】因为每次中奖互不影响,即相互独立,每次中奖的概率为,则不中奖的概率为,则两次抽奖中,都中奖的概率为,故A错误;两次抽奖中,都没有中奖的概率为,故B错误;两次抽奖中,恰有一次中奖的概率为,故C正确;两次抽奖中,至少有一次中奖的概率为,故D正确;故选:CD10.已知数列满足,前n项的和为,关于,叙述正确的是()A有最小值B.有最小值C.有最大值D.有最大值【答案】ABC【解析】【分析】利用函数性质研究数列的性质,结合,的单调性逐项分析判断.【详解】对于函数可知:在上单调递减, 且当时,;当时,.故对于数列可知:当,则;当,则数列为递减数列,且;故数列有最大值,有最小值,A、C正确;又∵当,;当,;故当,则;当,则;故有最小值,B正确,D错误;故选:ABC.11.设是等差数列,是其前项的和,且,,则下列结论正确的是()A.B.C.D.与均为的最大值【答案】BD【解析】【分析】根据题意,由等差数列的性质分析选项,综合即可得答案.【详解】根据题意,设等差数列的公差为,依次分析选项:是等差数列,若,则,故B正确;又由得,则有,故A错误;而C选项,,即,可得,又由且,则,必有,显然C选项是错误的.∵,,∴与均为的最大值,故D正确;故选:BD.12.意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人,斐波那契数列被誉为是最美的数列,斐波那契数列满足:,,.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里,每一小格子 的边长为1,记前项所占的格子的面积之和为,每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为,则下列结论正确的是()A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根据题中递推公式,求出,,数列的前项和,数列的奇数项和,与选项对比即可.【详解】对于A选项,因为斐波那契数列总满足,所以,,,类似的有,,累加得,由题知,故选项A正确,对于B选项,因为,,,类似的有,累加得,故选项B正确,对于C选项,因为,,,类似的有,累加得,故选项C错误, 对于D选项,可知扇形面积,故,故选项D正确,故选:ABD.【点睛】本题考查了利用数列的递推公式求数列的性质,属于一般题.第II卷(非选择题共90分)三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.13.从,,,,这个数字中有放回地任取两数,则两数都是奇数的概率是___.【答案】##【解析】【分析】首先求出取一次取出奇数的概率,再根据相互独立事件的概率公式计算可得.【详解】从,,,,这个数字随机取一个数字是奇数的概率为,则从,,,,这个数字中有放回地任取两数,则两数都是奇数的概率.故答案为:14.已知函数的图象在点处的切线方程是,则___.【答案】【解析】【分析】根据切点在切线上以及导数的几何意义求解即可.【详解】由已知得,,.故答案为:.15.已知函数,则___. 【答案】##【解析】【分析】先计算得到,然后利用倒序相加法求和.【详解】,,设①,则②,①+②得,.故答案为:.16.无穷数列满足:只要,必有,则称为“和谐递进数列”.若为“和谐递进数列”,且,,,,则___,___.【答案】①②.【解析】【分析】根据所给定义列出数列的前几项,即可得到数列是周期数列,且周期为,从而求出、,再根据并项求和法计算可得.【详解】因为为“和谐递进数列”,且,,,即,则,,,,,,所以数列是周期数列,且周期为, 又,所以,则,所以,且,所以.故答案为:;四、解答题:本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列的前三项依次为a、4,3a,前n项和为,且.(1)求a及k的值;(2)设数列{}的通项公式为,求数列{}前n项和.【答案】(1),.(2)【解析】【分析】(1)设该等差数列为{an},根据等差数列的前三项依次为由a+3a=8,求得a,再利用等差数列前n项和的公式,由Sk=110求解;(2)由(1)得到,进一步利用分组求和思想及等差数列、等比数列求和公式求解即可.【小问1详解】设该等差数列,首项为,公差为,则,由已知有,得,所以,所以公差,所以,由,得,解得或(舍去),故,.【小问2详解】由(1)知,,所以,所以.18.已知函数为. (1)函数在点P处的切线与直线互相垂直,求点P的坐标;(2)过点作曲线的切线,求此切线的方程.【答案】(1)或(2)或【解析】【分析】(1)求导,然后设,利用求出,进而可得点P的坐标;(2)设切点,求出,利用点斜式写出切线方程,代入点,求出,进而可得切线方程.【小问1详解】,,设,函数在点P处的切线与直线互相垂直,解得,或;【小问2详解】过点作曲线的切线,设切点为,则,切线方程为,代入点得,解得或,即切线方程为或. 19.给定椭圆,称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”.已知椭圆C的一个焦点为,其短轴的一个端点到点F的距离为.(1)求椭圆C和其“准圆”的方程;(2)若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点,B、D是椭圆C上的两相异点,且轴,求的取值范围,【答案】(1)椭圆C的方程为,其“准圆”方程为(2)【解析】分析】(1)依题意可得、,即可求出,从而得解;(2)设则,即可表示出、,再根据数量积的坐标表示及二次函数的性质计算可得.【小问1详解】解:由题意知,且,可得,故椭圆C的方程为,其“准圆”方程为.【小问2详解】解:由题意,可设、,则有,又点坐标为,所以,,所以,又,所以,所以的取值范围是.20.如图,四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形,AC是圆柱的底面直径,PC是圆柱的 母线,若,且.(1)记圆柱的体积为,四棱锥P-ABCD的体积为,求;(2)设点F在线段AP上,,求二面角的余弦值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据题意利用柱体、锥体的体积公式运算求解;(2)建系,利用空间向量求二面角.【小问1详解】由题意可得:圆柱的底面半径,高为4,则圆柱的体积;四棱锥P-ABCD的高为4,均为直角三角形且全等,,则四棱锥P-ABCD的体积;故.【小问2详解】如图,以底面圆心为坐标原点建立空间直角坐标系,则,设点,可得, ∵,则,解得,即,可得,设平面的法向量,则,令,则,即,设平面的法向量,则,令,则,即,设二面角的平面角为,则,故二面角的余弦值.21.设数列的前项和为,满足(1)证明:数列是等比数列,并求;(2)数列满足,若,求实数的最小值.【答案】(1)证明见解析,(2) 【解析】【分析】(1)由可得,即可证明,再求出的通项公式,即可求出;(2)由(1)可得,令,且数列前项和为,利用错位相减法求出,则,即为,再令,,利用导数说明函数的单调性,结合特殊点处的函数值,即可求出的取值范围,即可得解.【小问1详解】,,,数列是首项为,公比为的等比数列,所以,则.【小问2详解】因为,所以,令,且数列前项和为,则①,②,由①②得,则,所以,因为,所以, 即,令,,则,当时,则,所以,即在上单调递减,又、,,又为正整数,所以当时,所以的最小值为.22.已知递增数列的前n项和为,且满足,设,,且数列的前n项和为.(1)求证:数列为等差数列;(2)试求所有的正整数m,使得为整数;(3)若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)见证明(2)1或2(3)【解析】【分析】(1)由与的关系及等差数列的定义即可证明;(2)由的通项化简式子即可;(3)由裂项相消先求得,再分类讨论解不等式即可.【小问1详解】由题意可得,两式相减化简得因为是递增数列,故,即,所以是以1为首项,2为公差的等差数列.【小问2详解】 由(1)知:,所以若要为整数,则需为整数,故当,即时上式为整数;故答案为:1或2.【小问3详解】由上得:,则所以原不等式可化为:当为奇数时,上式等价于,根据基本不等式,当且仅当时可取最小值,此时;当为偶数时,上式等价于不难发现在定义域上单调递增,故,此时综上故答案为:
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发布时间:2023-04-27 13:24:03
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文章作者:随遇而安
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