湖北省武汉市5G联合体2022-2023学年高一数学下学期期中联考试题（Word版附解析）

2022-2023学年度下学期武汉市重点中学5G联合体期中考试高一数学试卷试时间：2023年4月13日试卷满分：150分★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名，准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出签案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，则与角终边相同的最小正角为（）A.23°B.137°C.223°D.337°【答案】C【解析】【分析】运用终边相同的角的定义求解即可.【详解】因为，所以与角终边相同的最小正角为.故选：C.2.已知向量，，则的值为（）A.12B.10C.8D.6【答案】B【解析】【分析】现根据平面向量坐标的线性运算求得，进而根据向量的模长公式求解即可. 【详解】由，，可得，所以.故选：B.3.已知，则（）A.B.C.D.－【答案】C【解析】【分析】运用诱导公式化简即可.【详解】.故选：C.4.已知G是△ABC的重心，若）则（）A.－1B.1C.D.－【答案】D【解析】【分析】根据三角形重心的定义和向量的线性运算进行解决.【详解】由题意，画图如下：由重心的定义，可知：，则.故选：D. 5.函数且的图象是下列图象中的（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的自变量，将函数变形为结合正弦函数的性质与图象，根据选项即可求解.【详解】依题意，由此判断出正确的选项为C.故选：C.6.已知平行四边形ABCD中，，点P在线段CD上（不包含端点），则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据平面向量的数量积的定义，由可得，再以为原点，以所在的直线为轴，以的垂线为轴，建立坐标系，设，进而根据向量坐标的线性运算即数量积的坐标表示可得，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】∵，，，∴，即，即，以为原点，以所在的直线为轴，以的垂线为轴，建立如图所示的坐标系，∴，，，，设，∴，∴，设，∴在上单调递减，在上单调递增，∴，，则的取值范围是.故选：A.7.已知函数与x轴交于A，B两点，且线段AB长度最小值为，若将函数的图象向左平移个单位后恰好为奇函数，则的值为（）A.B.C.D.或【答案】D【解析】【分析】根据题意求得最小正周期为，得到，结合三角函数的图象变换，得到，由为奇函数，求得，进而求 得的值.【详解】因为函数与x轴交于A，B两点，且线段AB长度的最小值为，可得函数的最小正周期为，所以，所以，将函数的图象向左平移个单位长度，得到，又因为为奇函数，可得，即，因为，当时，可得；当时，可得，所以的值为或.故选：D.8.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边，若，则AC＝（）A.8B.7C.6D.5【答案】B【解析】【分析】在中，设，根据题意利用正弦定理可得，然后利用余弦定理即可求解.【详解】在中，，设，则，由正弦定理可知，，即，则， 在中，，，又，则，故，故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到，则下列说法正确的是（）A.的最小正周期为B.是偶函数C.在上单调递增D.当时，的取值范围为【答案】ABD【解析】【分析】运用图象平移变换求得的解析式，运用公式可判断A项，运用偶函数的定义可判断B项，求的单调递减区间，判断是否包含于的单调递减区间即可判断C项，运用在上单调递减求的值域即可判断D项.【详解】由题意知，，对于A项，，故A项正确；对于B项，定义域为，，所以为偶函数，故B项正确；对于C项，因为，，解得：，，所以单调递减区间为，， 又因为，，所以在上单调递减，故C项错误；对于D项，由C项知，在上单调递减，，，所以的值域为，故D项正确.故选：ABD.10.蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成，巢中被封盖的是自然成熟的蜂密，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，则下列说法正确的是（）A.B.C.在上的投影向量为D.【答案】BCD【解析】【分析】可得与为相反向量可判断A；利用数量积公式计算可判断B；由投影向量的定义可判断C；由图得直线平分，且与的交点为中点，利用均为含的直角三角形，可判断D.【详解】对于A，，显然由图可得与为相反向量，故A错误；对于B，，，所以，故B正确； 对于C，因为，则在上的投影向量为，故C正确；对于D，由图易得，直线平分，且与的交点为中点，且为正三角形，根据平行四边形法则有与共线且同方向，，故，则，而，故，故，故D正确.故选：BCD.11.已知的内角、、所对的边分别为、、，则下列四个命题中正确的命题是（）A.若，则一定是等边三角形B.若，则一定是等腰三角形C.若，则一定是锐角三角形D.若，则一定是钝角三角形【答案】AD 【解析】【分析】利用正弦定理以及正切函数的单调性可判断A选项；利用正弦定理结合二倍角公式可得出、的关系，可判断B选项；利用余弦定理可判断C选项；分析可知、、中一定有一个小于成立，可判断D选项.【详解】对于A选项，因为，由正弦定理可得，则，因为至少有两个锐角，从而可得，故为锐角三角形，因为正切函数在上为增函数，故，所以，为等边三角形，A对；对于B选项，因为，由正弦定理可得，即，因为、，所以，，,又因为、中至少有一个为锐角，则，则、均为锐角，所以，、，所以，或，即或，为等腰三角形或直角三角形，B错；对于C选项，时，由余弦定理可得，即为锐角，但、是否都是锐角，不能保证，因此不一定是锐角三角形，C错；对于D选项，因为、、，由，因为、、至少有两个锐角，则、、中至少有两个正数，可得、、中一定有一个小于成立，不妨设，可得，所以为钝角三角形，所以D正确．故选：AD．12.已知的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，O为的外心， ，的面积S满足．若，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】结合题意和余弦定理得出，判断选项A；利用三角形面积公式判断选项B；利用平面向量的数量积运算判断选项C；利用平面向量的基本定理即可求解D【详解】由，得，即得，又，故，∴，即所以A正确；，所以B错误；，所以C正确；由，可知得解得：，故，所以D正确．故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量满足，则与的夹角为___．【答案】##【解析】【分析】根据平面向量数量积的性质求解即可. 【详解】设与的夹角为，由，可得，即，即，即，即，又，所以故答案为：.14.已知定义在上的函数不是常数函数，且同时具有下列两个性质：①；②．请你写出符合上述条件的一个函数＝___．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据偶函数和周期性直接写出一个符合题意的函数即可.【详解】由题意可知，为偶函数，且周期为，所以可以取.故答案为：（答案不唯一）15.已知中，角、、所对的边分别为、、，，的角平分线交于点，且，则的最小值为___．【答案】【解析】【分析】利用等面积法可得出，化简可得，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】因为，的角平分线交于点，且， 因为，即，即，即，所以，，所以，，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.故答案为：.16.已知函数），若方程在上恰有5个实数解，则实数的取值范围为___．【答案】【解析】【分析】由可得，运用换元法令，将问题转化为在上恰有5条对称轴，画图象运用数形结合列式即可求得结果.【详解】当时，，因为函数在区间上恰好有5个x，使得，故在上恰有5条对称轴．令，则在上恰有5条对称轴，如图：所以，解得． 故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知平面向量．（1）若，且，求的坐标；（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示及垂直求解即可；（2）由题意可得且与不共线，进而根据平面向量数量积和共线的坐标表示求解即可.【小问1详解】由，所以，设，因为，所以，因为，所以，解得，或，所以的坐标为或.【小问2详解】由，所以，因为与的夹角为锐角， 所以且与不共线，，解得且，即实数的取值范围为.18.函数的部分图像如图所示．（1）求函数的解析式；（2）求在上的单调递减区间及对称轴．【答案】（1）；（2）单调减区间为；对称轴方程为和【解析】【分析】（1）由函数图像得，计算得周期，从而得，再代入最大值计算可得值，从而可得函数解析式；（2）由整体法计算函数单调递减区间和对称轴方程，然后结合的范围，可得答案.【小问1详解】由图可得，周期为，所以，因为，所以；根据图像可得，解得， 因为，所以，所以【小问2详解】令，解得，令，解得对称轴方程为：；所以单调递减区间为；对称轴方程为：所以在上的单调减区间为；在上的对称轴方程为和19.已知，且函数．（1）化简；（2）若函数，试求其最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由可得，结合同角三角函数关系化简即可；（2）根据题意可得的定义域为，化简可得，进而求解.【小问1详解】 ，.【小问2详解】，，的定义域为，由，，当sin时，取最大值.20.如图，在菱形ABCD中，，E，F分别是边AB，BC上的点，且，，连接ED、AF，交点为G．（1）设，求t的值；（2）求的余弦值．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1），由三点共线得，，结合平面向量基本定理可求得；（2）取作为平面一组基底，用基底表示出向量，求出，，，由向量夹角公式即可求得答案.【小问1详解】，又D，G，E三点共线，则，则，因为，不共线，由平面向量基本定理，得且，解得.【小问2详解】取，作为平面的一组基底，则，则，.，，． 21.已知函数．（1）若，且，求的值；（2）在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化简解析式，由得到，从而求得，进而求得.（2）由求得，利用正弦定理化简，通过的取值范围，求得的取值范围.【小问1详解】因为，所以，又，则，所以，又，故.【小问2详解】 由，又，所以，即．由正弦定理，可得，因为是锐角三角形，所以，即．所以，所以．即的取值范围为.22.某公园有一块矩形空地ABCD，其中，百米，百米．为迎接“五一”观光游，欲从边界AD上的中点P处开始修建观赏小径PM，PN，MN，其中M，N分别在边界AB，CD上，小径PM与PN相互垂直，区域PMA和区域PND内种植绣球花，区域PMN内种植玫瑰花，区域BMNC内种植杜鹃花．设．（1）设种植绣球花的区域的面积为S，试将S表示为关于的函数，并求其取值范围；（2）为了节省建造成本，公园负责人要求观赏小径的长度之和（即的周长l）最小．试分析当为何值时，的周长l最小，并求出其最小值，【答案】（1）；（2）当时，的周长l取得最小值，最小值为百米 【解析】【分析】（1）结合题意可得，进而可得，再结合对勾函数的性质即可求解；（2）在直角中，，在直角中，，由勾股定理得，，可得，令，进而求解即可.【小问1详解】由题意，当点M位于点B时，角取最大值，此时，因为，所以，当点N位于点C时，由对称性知取最大值，角取最小值，所以角的取值范围是，在直角中，；在直角中，，所以种植绣球花的区域的面积，令，则由知，，所以，由对勾函数的性质知，函数在上单调递减，在上单调递增，， 所以S的取值范围为.【小问2详解】在直角中，，在直角中，且，所以，在直角中，由勾股定理得，，因为，所以，所以，所以，，令，因为，所以，又由，可得，且在上单调递减，当时，，此时，即，综上，当时，的周长l取得最小值，最小值为百米