江苏省宿迁市沭阳县2021-2022学年高二数学下学期期中试题（Word版附解析）

2021～2022学年度第二学期期中调研测试高二数学试卷一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若向量，，则向量与的夹角为（）A.0B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用向量数量积的定义，直接计算即可.【详解】设向量与的夹角为，且，所以，，所以，故选：D2.若4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（）A.种B.种C.种D.种【答案】A【解析】分析】根据分步计算原理，每个人选报一科，则每个人有3种报名方法，即可得解.【详解】4名学生，每人有三种可选方案，根据分步计数原理，4人共有种方法.故选：A.3.在四面体OABC中，E为OA中点，，若，，，则（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用空间向量的加减法、数乘运算即可求解.【详解】.故选：D4.被9除所得的余数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】由于，所以将其展开后可求出结果【详解】,因能被9整除，所以被9除所得的余数等于被9除的余数，因为除以9余2，所以被9除所得的余数是2，故选：C5.三棱锥ABCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则等于(　　) A.－2B.2C.D.【答案】A【解析】【详解】试题分析：考点：平面向量数量积的运算6.疫情期间学校采用线上教学，上午有4节课，一个教师要上3个班的网课，每个班1节课，若不能连上3节，则这个老师的课有（）种排法.A.3B.6C.12D.18【答案】C【解析】【分析】使用插空法，先排3个班的网课，然后在两个空位中插入一节课.【详解】将该教师3节课排成一列，共有种排法，再在3节课产生的两个空位中插入一节课有2种方法，所以该老师的课共有种排法.故选：C7.已知是所在平面外一点，是中点，且，则（）A.0B.1C.2D.3【答案】A【解析】【分析】利用向量减法的三角形法则进行计算即可.【详解】因为M是PC中点， ，又，，∴.故选：A.8.已知，点Q在直线OP上，那么当取得最小值时，点Q的坐标是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设，根据点在直线上，求得，再结合向量的数量积和二次函数的性质，求得时，取得最小值，即可求解.【详解】设，由点在直线上，可得存在实数使得， 即，可得,所以,则，根据二次函数的性质，可得当时，取得最小值，此时.故选：C.【点睛】本题主要考查了空间向量的共线定理，空间向量的数量积的运算，其中解答中根据向量的数量积的运算公式，得出关于的二次函数是解答的关键，着重考查运算与求解能力.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9.给定下列命题，其中正确的命题是（）A.若是平面的法向量，且向量是平面内的直线的方向向量，则B.若，分别是不重合的两平面的法向量，则C.若，分别是不重合的两平面的法向量，则D.若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直【答案】ACD【解析】【分析】A选项，由线面垂直的定义可判断正确；B选项，两平面平行，则它们的法向量平行；C选项，两平面平行，则它们的法向量平行；D选项，两平面垂直，则它们的法向量垂直.【详解】对于A选项，由线面垂直的定义若一条直线和一个平面内所有的直线都垂直，我们称直线和平面垂直，所以，∴，A正确；对于B选项，两平面平行，则它们的法向量平行，所以B错误；对于C选项，两平面平行，则它们的法向量平行，∴或∴，C正确；对于D选项，两平面垂直它们的法向量垂直，所以两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直，D正确. 故选：ACD.10.若x5＝a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+⋅⋅⋅+a5（1+x）5，其中a0，a1，a2，⋅⋅⋅，a5为实数，则（　　）A.B.a1+a2+⋅⋅⋅+a5＝1C.a1+a3+a5＝16D.【答案】BD【解析】【分析】运用赋值法，结合导数的运算逐一判断即可.【详解】在x5＝a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+⋅⋅⋅+a5（1+x）5中，令，得，故选项A不正确；令，得，而，所以，所以选项B正确；令，得，，得，因此选项C不正确；对x5＝a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+⋅⋅⋅+a5（1+x）5左右两边求导，得，令，得，而，所以，因此选项D正确，故选：BD11.现有6个志愿者排队进入社区服务，下列说法正确的是（）A.若甲乙丙顺序固定，共有种站法B.若甲乙必须站在一起，共有种站法C.若甲乙不站在一起，共有种站法D.若6个人平均分成A、B、C三组分别进入社区，共有种分法【答案】ABC【解析】 【分析】根据选项当中的情况，逐个选项采用合理的排列方法进行求解即可.【详解】对于A，对于某些元素顺序固定的排列问题，可将所有元素全排列，然后除以顺序固定的几个元素的全排列，甲乙丙顺序固定，即先对6个志愿者全排列，再除以顺序固定的甲乙丙3个志愿者，所以，共有种站法，所以，A正确；对于B，某些元素要求必须相邻时，可将这些元素看成一个，然后与其他元素排列；所以，若甲乙必须站在一起，共有种站法，所以，B正确；对于C，某些元素要求必须相离时，可将其他元素全排列，再将相离元素排入已排好的元素的左右空隙中；若甲乙不站在一起，共有种站法，所以，C正确；对于D，若6个人平均分成A、B、C三组分别进入社区，共有种分法，所以，D错误.故选：ABC12.已知正方体的棱长为1，分别在上，并满足，设，设的重心为G，下列说法正确的是（）A.向量可以构成一组基底B.当时，C.当时，在平面上的投影向量的模长为D.对任意实数，总有 【答案】AD【解析】【分析】根据基底向量的要求不共体可以判断A正确，B、C、D通过建立空间直角坐标系结合空间向量的坐标运算进行运算判断正误．【详解】，显然不共面，∴向量可以构成一组基底，A正确；如图建立空间直角坐标系，则，当时，，则,∴，Ｂ不正确；,当时，,在平面上的投影向量为，，Ｃ不正确；对任意实数，，则，，,，D正确．故选：AD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上）13.若单位向量与向量，都垂直，则向量的坐标为______．【答案】 【解析】【分析】设，由条件，，可得答案.【详解】设单位向量，由条件，则，所以又，解得所以故答案为：14.现将6个相同的小球放在3个不同的盒子里，每个盒子至少一个，共有______种放法.（用数字作答）【答案】10【解析】【分析】利用隔板法求解，问题相当于6个球排成一列形成5个空隙，5个空隙中插入2个挡板，分成3部分即可【详解】由题意可得，6个球排成一列形成5个空隙，5个空隙中插入2个挡板，分成3部分，则共有种放法，故答案为：1015.已知，的展开式中含项的系数为13，则当________，含项的系数取得最小值，最小值为_________．【答案】①.6或7##7或6②.36【解析】【分析】先由二项式的展开式的通项公式可得出，分当中有一个为1和当都大于或等于2进行讨论，从而得出答案.【详解】展开式中通项公式为：，则含x项的系数为，展开式中通项公式为：，则含x项的系数为，由题意可得，当中有一个为1时，不妨设，则，则的展开式中含的项的系数为 ，当都大于或等于2时，则的展开式中含的项的系数为，，由于，当或时，此时含的项的系数取最小值36，综上，当或时，含的项的系数取最小值为36.16.设空间向量是一组单位正交基底，若空间向量满足对任意的的最小值是2，则的最小值是_________．【答案】【解析】【分析】以方向为轴，垂直于方向为轴建立空间直角坐标系，根据条件求得坐标，由的表达式即可求得最小值.【详解】以方向为轴建立空间直角坐标系，则，，设则，当时的最小值是，取则又因为是任意值，所以的最小值是.取则 又因为是任意值，所以的最小值是.故答案为：.四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.计算：（1）求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）330（2）15【解析】【分析】（1）由组合数的运算公式连锁运算即得；（2）根据排列数的计算公式可得.【小问1详解】（1）原式330；【小问2详解】（2）因为，所以，则n2﹣11n﹣60＝0，解得n＝﹣4（舍）或n＝15，所以n＝15．18.已知.（1）求；（2）求与夹角的余弦值；（3）当时，求实数的值. 【答案】（1）-10（2）（3）或【解析】【分析】（1）根据空间向量的坐标运算律,即可求解.（2）根据空间向量的夹角公式,代入求解.（3）由,转化为数量积为0即可.【小问1详解】；【小问2详解】；【小问3详解】当时，，得，，或.19.某班级甲组有5名男生，3名女生；乙组有6名男生，2名女生．（1）若从甲、乙两组中各选1人担任组长，则有多少种不同的的选法？（2）若从甲、乙两组中各选1人担任正副班长，则有多少种不同的的选法？（3）若从甲、乙两组中各选2人参加核酸检测，则选出的4人中恰有1名男生的不同选法共有多少种？【答案】（1）64；（2）128；（3）51.【解析】【分析】（1）利用分步原理即得；（2）利用先选后排可求；（3）先分类再分步即得【小问1详解】 利用分步原理可得从甲、乙两组中各选1人担任组长，共有种不同的的选法；【小问2详解】先选后排，可得从甲、乙两组中各选1人担任正副班长有种不同的的选法；【小问3详解】先分类再分步：第一类：甲组1男生：，第二类：乙组1男生：，则选出的4人中恰有1名男生的不同选法共有51种.20.如图，在正方体中，是正方形的中心，是的中点.（1）求证：是平面的法向量；（2）求与平面所成角的余弦值；（3）求二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）（2）（3）设正方体棱长为2，建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；【小问1详解】解：设正方体棱长为2，如图建立空间直角坐标系. ，又，，所以，即，，又，面，面，所以是平面的法向量.【小问2详解】解：，，，又由（1）知平面的法向量，设与所成的角为，所以，因为，则，即与平面所成角的余弦值是.【小问3详解】解：在正方体中，面，是面的法向量，又，，由图可知二面角为锐二面角，设为，所以， 所以二面角平面角的正弦值为.21.在的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列.（1）证明：展开式中没有常数项；（2）求展开式中系数最大的项．【答案】（1）证明见解析（2）第二项和第三项【解析】【分析】①根据二项式展开式的二项式系数，根据成等差数列列出方程，进而解出，然后求出展开式中通项，假设有常数项，进而得到矛盾.②假设第r+1项系数最大，根据和，解出的范围，进而可求解.【小问1详解】证明：由二项式定理可知：第2,3,4项的二项式系数为依次成等差数列，，，（舍）或.二项展开式中第项，令，所以展开式中没有常数项得证.【小问2详解】由（1）知二项展开式中第项的系数为，设第项系数最大，则且，化简得，又或2，则展开式中系数最大的项是第二项和第三项. 22.如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，，，，点是线段上的动点．（1）当E为BC中点时，求证：平面平面；（2）求点B到面PCD距离；（3）若点M是线段PA上的动点，当点E和点M满足什么条件时，直线面PCD．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）先在平面内证明，在证明平面，得到，从而得到平面，使问题得证.（2）由平面，则点B到面PCD的距离等于到面PCD的距离等.过点作交于点，则平面，即为到面PCD的距离等，由等面积法可求得答案.（3）过点A作交BC于点G，以AG为x轴，AD为y轴,AP为z轴建立坐标系,利用向量法求解即可.【小问1详解】当EBC中点时，，则为等边三角形,则在中，所以则,则 又，则，又，所以平面平面，所以又，则平面，且平面所以平面平面【小问2详解】由，平面，平面，所以平面则点B到面PCD的距离等于到面PCD的距离等.在中，当E为BC中点时，由（1）可知,则为直角三角形.即，则,即，则由（1）有,且，所以平面由平面，则平面平面过点作交于点，则平面即为到面PCD的距离等，由所以所以点B到面PCD的距离为【小问3详解】过点A作交BC于点G，以AG为x轴，AD为y轴,AP为z轴建立如图坐标系,则，，，设，则，，则， 设面PCD的法向量,则,即取则当直线面PCD，时，可得，即，所以又，又当时，就为，此时平面所以时，直线面PCD.