江苏省盐城市2021-2022学年高二数学下学期期末模拟试题（Word版附解析）

江苏省盐城市2021-2022学年度高二年级第二学期期终考试模拟数学试题一、单项选择题：本题包括8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项最符合题意．1.已知点在直线上的运动，则的最小值是（）AB.C.D.【答案】A【解析】【分析】表示点与距离平方，求出到直线的距离，即可得到答案.【详解】表示点与距离的平方，因为点到直线的距离，所以的最小值为．故选：A2.设圆上的动点到直线的距离为，则的取值范围是A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】分析：先把圆的方程化为标准形式，求出圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离，此距离减去圆的半径得最小值，加上半径得最大值.详解：由题意得，圆，即，圆心为，半径， 由圆心到直线的距离，圆上动点到直线的最小距离为，最大距离为，即的取值范围是，故选B.点睛：本题考查圆的标准方程及几何性质，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.3.已知等差数列的公差为2，若成等比数列，是的前项和，则等于（　　）A.B.C.10D.0【答案】D【解析】【分析】由a1，a3，a4成等比数列，可得=a1a4，再利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【详解】∵a1，a3，a4成等比数列，∴=a1a4，∴=a1•（a1+3×2），化为2a1=-16，解得a1=-8．∴则S9=-8×9+×2=0，故选D．【点睛】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.已知空间三点，，，若，且，则点的坐标为（）A.B.C.或D.或【答案】C【解析】 【分析】设点坐标，由可解出坐标，再用空间向量模长公式即可.【详解】设，则，，因为，所以，，，所以，又，解得或，所以或，故选:C5.年月3日，是我国的传统节日“端午节”.这天，小明的妈妈煮了个粽子，其中两个腊肉馅，三个豆沙馅．小明随机抽取出两个粽子，若已知小明取到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为腊肉馅的概率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设事件A为“取出的两个粽子为同一种馅”，事件为“取出的两个粽子都为腊肉馅”，分别计算、的值，利用条件概率公式进行计算，即可求得的值．【详解】由题意可得，设事件A为“取出的两个粽子为同一种馅”，事件为“取出的两个粽子都为腊肉馅”，则，，故，即已知小明取到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为腊肉馅的概率为．故选：．6.某种芯片的良品率服从正态分布，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若芯片的良品率不超过，不予奖励；若芯片的良品率超过但不超过，每张 芯片奖励元；若芯片的良品率超过，每张芯片奖励元.则每张芯片获得奖励的数学期望为（）元附：随机变量服从正态分布，则，，.A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据，得出，，计算对应的概率值，再求每张芯片获得奖励的数学期望.【详解】因为，得出，，所以，；，所以（元）故选：B7.如图所示，，是双曲线：的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于A，两点．若，则双曲线的离心率为（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】不妨令，，，根据双曲线的定义可求得，，再利用勾股定理可求得，从而可求得双曲线的离心率．【详解】，不妨令，，，，，又由双曲线的定义得：，，，，．在中，，又，，双曲线的离心率．故选;C 8.若函数的图象与曲线C:存在公共切线，则实数的取值范围为A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】本道题结合存在公共切线，建立切线方程，结合待定系数法，建立等式，构造新函数，将切线问题转化为交点问题，计算a的范围，即可．【详解】设函数的切点为,该切线斜率,所以切线方程为,的切点为,所以切线方程为,由于该两切线方程为同一方程,利用待定系数法,可得,解得得到新方程为,构造函数解得,表示与存在着共同的交点,而过定点,得到过的切线方程,设切点为,则,该切点在该直线上,代入,得到,解得,所以直线斜率为,要使得与存在着交点,则,结合,所以a的取值范围为，故选A．【点睛】本道题考查了利用导数计算过曲线一点的切线方程，关键掌握好曲线上的点的切线方程计算方法，难度偏难．二、多项选择题：共4题，每题5分，共20分．每题有不止一个选项符合题意，每题全选对者得5分，选对但不全的得2分，其他情况不得分．9.抛物线与双曲线具有共同的焦点F，过F作的一 条渐近线的垂线l，垂足为H，与交于A、B两点，O为坐标原点，则有（）A.B.的渐近线方程为CD.若l的倾斜角为锐角，则经过O、F且与直线l相切的圆的标准方程为【答案】BCD【解析】【分析】求得双曲线的右焦点和抛物线的焦点，解方程可得，可判断A，求得双曲线的渐近线方程，可判断B，求得焦点到渐近线的距离，由勾股定理可求得，可判断C，设圆的标准方程，由两点的距离公式和点到直线的距离公式，解方程可得圆心和半径，可判断D【详解】双曲线的右焦点为，可得，得，所以A错误，双曲线的渐近线方程为，所以B正确；由点到直线的距离为，则，所以C正确，设所求圆的方程为，由题意可得，直线的方程为，则，解得，可得圆的方程为，所以D正确，故选：BCD10.已知是数列的前项和，且，，则下列结论 正确的是（）A.数列为等比数列B.数列为等比数列C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根据已知递推公式进行变形求解判断AB．求出数列前几项，验证后判断C，求出前20项和可判断D，【详解】因为，所以，又，所以是等比数列，A正确；同理，而，所以是等比数列，B正确；若，则，但，C错；由A是等比数列，且公比为2，因此数列仍然是等比数列，公比为4，所以，D正确．故选：ABD．【点睛】方法点睛：本题考查数列的递推公式，解题关键是由已知递推关系变形推导出新数列的递推关系，从而得证新数列的性质．而对称错误的结论，可以求出数列的某些项进行检验．11.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（）A.若任意选择三门课程，选法总数为B.若物理和化学至少选一门，选法总数为 C.若物理和历史不能同时选，选法总数为D.若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为【答案】AC【解析】【分析】根据题意利用分步乘法原理、分类加法原理及排列组合，依次判断可得答案，即可求解．【详解】对于A中，若任意选择三门课程，选法总数为种，故A正确；对于B中，物理和化学至少选一门，分两类，第一类：若物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的门中选门，有种选法，有种选法；第二类：物理和化学都选有种方法，其余一门从剩余的门中选门，有种方法，故有种选法，由分类加法计数原理知，总数为种选法，故B错误；对于C中，若物理和历史不能同时选，选法总数为种，故C正确；对于D，若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为种，故D错误．故选:AC．12.已知函数的定义域为，其导函数为，的部分图象如图所示，则（）A.在上单调递增B.的最大值为C.的一个极大值点为 D.的一个减区间为【答案】CD【解析】【分析】根据导函数的图像与大小比较可得的单调性，进而分析出极值进行分析即可．【详解】对A，由的部分图像并不能确定在恒成立，故A错误；对B，由图只能得出的部分区间单调性，最大值不一定为，故B错误；对C，由图可知，且在左右两侧左正右负，故为的一个极大值，故C正确；对D，当时，，所以在上单调递减，故D正确．故选：CD．三、填空题：共4小题，每题5分，共20分．13.已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1外切，则ab的最大值为_____________．【答案】【解析】【分析】根据两圆外切可得(a＋b)2＝(2＋1)2并结合基本不等式计算即可.【详解】由两圆外切可得圆心(a，－2)，(－b，－2)之间的距离等于两圆半径之和，即(a＋b)2＝(2＋1)2，即9＝a2＋b2＋2ab≥4ab，所以ab≤，当且仅当a＝b时取等号，即ab的最大值是．故答案为：14.在等比数列中，为其前n项和，，，则_________.【答案】31【解析】【分析】由给定条件求出等比数列的首项和公比即可得解. 【详解】设等比数列的公比为q，依题意有，解得或，时，，时，，综上31.故答案为：3115.已知，满足，则的展开式中的系数为______.【答案】30【解析】【分析】根据二项式定理求出，然后再由二项式定理或多项式的乘法法则结合组合的知识求得系数．【详解】由题意，．∴的展开式中的系数为．故答案为：30．【点睛】本题考查二项式定理，掌握二项式定理的应用是解题关键．16.用红、黄、蓝、绿四种颜色给如图中五个区域进行涂色，要求相邻区域所涂颜色不同，共有_________种不同的涂色方法.（用数字回答）【答案】【解析】【分析】按照使用了多少种颜色涂色分两类计数，再相加即可得解.【详解】若四种颜色全部用到，则同色或同色，则共有种；若只用三种颜色涂色，则同色且同色，共有种， 根据分类加法计数原理可得，共有种涂色方法.故答案为：.四、解答题：共6小题，共70分．请写出必要的验算步骤与过程．17.已知数列是等比数列，且；（1）证明：数列是等差数列，并求出其通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）数列是公比为的等比数列，运用等比数列的定义和通项公式可得数列是首项为3，公差为2的等差数列，可得所求通项公式；（2）求得，运用数列的裂项相消求和，化简可得所求和．【详解】（1）证明：数列是公比为的等比数列，且，，可得，解得，即有，即，可得数列是首项为3，公差为2的等差数列，可得；（2），所以.【点睛】 本题主要考查了等差数列，等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.18.如图，在四棱锥中，平面平面，，．（1）求证：；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）若点E在棱上，且平面，求线段的长．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根据题意先证明平面，然后证明.（2）建立空间直角坐标系，找到平面与平面的法向量，然后根据向量中面面角计算公式计算即可.（3）先通过共线向量性质得出，用表示E点坐标，再根据题意计算出，最后计算得出线段的长.小问1详解】证明：因为平面平面，且平面平面，因为，且平面所以平面．因为平面，所以． 【小问2详解】解：在中，因为，所以，所以．所以，建立空间直角坐标系，如图所示．所以，易知平面的一个法向量为．设平面的一个法向量为，则，即，令，则．则，即平面与平面夹角的余弦值为．【小问3详解】解：因为点E在棱，所以．因为．所以．又因为平面，为平面的一个法向量，所以，即，所以． 所以，所以．19.东江湖位于湖南省郴州市东北部的资兴市境内，是湖南省唯一一个同时拥有国家5A级旅游区､国家风景名胜区､国家生态旅游示范区､国家森林公园､国家湿地公园､国家水利风景区“六位一体”的旅游区.境内主要景观有：雾漫小东江､东江大坝､龙景峡谷､兜率灵岩､东江漂流､三湘四水·东江湖文化旅游街（含东江湖奇石馆､摄影艺术馆､人文潇湘馆），还有仿古画舫､豪华游艇游湖及惊险刺激的的水上跳伞､水上摩托等.东江湖融山的隽秀，水的神韵于一体，挟南国秀色､禀历史文明于一身，被誉为“人间天上一湖水，万千景色在其中”.每年都吸引无数游客来此游玩，某调查机构在景区随机调查了10名青少年人和8名中老年人，并请他们谈谈是否有“二次游”愿望，结果10名青少年人中有的人认为他有“二次游”愿望，8名中老年人中有的人也这样认为，其他人无“二次游”愿望.（1）根据以上统计数据，完成下列列联表，分析是否有把握认为有“二次游”愿望与年龄有关？有“二次游”愿望无“二次游”愿望合计青少年人中老年人合计（2）从这10名青少年人中抽取2人，8名中老年人中抽取1人，将3人中有“二次游”愿望人数记为，求的分布列及数学期望.附：，其中.0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）列联表答案见解析，有把握认为有“二次游”愿望与年龄有关；（2）分布列 答案见解析，数学期望：.【解析】【分析】（1）根据10名青少年人中有的人认为他有“二次游”愿望，8名中老年人中有的人也这样认为，其他人无“二次游”愿望，再代入卡方计算公式，求得即可得到答案；（2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，求出的值，再求期望；【详解】解：（1）有“二次游”愿望无“二次游”愿望合计青少年人8210中老年人268合计10818.∴有把握认为有“二次游”愿望与年龄有关（2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，，，，.∴随机变量的分布列为0123∴（或）.20.甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得分，负者得分，比赛进行到有一人比对方 多分或打满局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．求：（1）乙赢球的概率；（2）比赛停止时已打局数的数学期望．【答案】（1）（2）【解析】【分析】乙赢球即第二局或第四局或第六局结束乙赢得比赛，进而求出结果；的所有可能值为，，求出对应的场次结束时比赛停止的概率，由此能求出的分布列，由的分布列能求出．【小问1详解】乙赢球即第二局或第四局或第六局结束乙赢得比赛，则由题意知：【小问2详解】的可能取值为、、，则，，，故的分布列为的期望．21.已知为椭圆上任一点，，为椭圆的焦点，，离心率为． （1）求椭圆的方程；（2）若直线：与椭圆的两交点为A，，线段的中点在直线上，为坐标原点，当的面积等于时，求直线的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】由椭圆定义可得的值，进而由离心率可得，再求得，即可得到椭圆的方程；设出点A，的坐标，联立直线与椭圆的方程，利用设而不求的方法，并依据题给条件列方程，即可求出，进而求得的值，从而求得直线的方程．【小问1详解】由椭圆定义得，，所以，故，所以椭圆的方程为．【小问2详解】设代入方程，得所以，，所以，解得， 则式变为则，底边上的高，所以的面积．令，解得，把，代入式，经检验，均满足，此时直线的方程为或．22.已知函数，.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）令，讨论的单调性.（3）当时，恒成立，求实数的取值范围.（为自然对数的底数，…）.【答案】（1）（2）详见解析（3）【解析】【分析】（1）当时，先对函数求导，求得斜率，结合切点坐标，利用点斜式得到切线方程.（2）求出的表达式，对求得，然后将分成四类，讨论函数的单调区间.（3）将表达式代入原不等式并化简，构造函数设利用导数求得函数的最小值，令这个最小值大于零，求得的取值范围.【详解】解：（1），，，所以曲线在点处的切线方程为.（2），定义域为，， ①当时，当时，，在单调递增；当时，，在单调递减；②当时，当或时，，在，上单调递增；当时，，在单调递减；③当时，在单调递增；④当时，当或时，，，上单调递增；当时，，在单调递减.综上，当时，在单调递增，在单调递减；当时，在，上单调递增，在单调递减；当时，在单调递增；当时，在，上单调递增，在单调递减.（3）当时，，即恒成立，设，，显然在上单调递增，且，所以当时，；当时，.即在上单调递减，在上单调递增.，所以，所以的取值范围为.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数图像的切线方程，考查利用导数求解不等式恒成立有关的问题.属于中档题.在求切线方程的过程中，关键点是：切点坐标和斜率，对于已知函数解析式的题目，可直接利用切点的横坐标，分别代入原函数和导函数，求得切点的坐标和斜率.