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安徽省宿州市十三所重点中学2021-2022学年高一数学下学期期中联考试题(Word版附解析)
安徽省宿州市十三所重点中学2021-2022学年高一数学下学期期中联考试题(Word版附解析)
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宿州市十三所重点中学2021—2022学年度第二学期期中质量检测高一数学试题一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.将210°化成弧度为()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据角度与弧度的关系求解即可.【详解】,故选:D.2.在中,设,,为边上靠近的一个三等分点,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用平面的基本定理求解.【详解】解:如图所示:, ,故选:B3.下列各式的符号为正的是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由得可判断A;由,得,可判断B;由得可判断C;由得可判断D【详解】因为,所以,故A错误;因为,,所以,,所以,故B错误;因为,所以,所以,故C正确;因为,所以,故D错误.故选:C.4.在中,角,,所对的边分别为,,,且,则()A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】直接利用余弦定理计算可得;【详解】解:由余弦定理,又所以,所以,因为,所以故选:D5.菱形的边长为2,且,()A.B.C.2D.【答案】C【解析】【分析】根据向量数量积计算公式可得.【详解】菱形的边长为2,且,的夹角为,.故选:C.6.砀山被誉为“酥梨之乡”,每逢四月,万树梨花开,游客八方来.如图1,梨花广场的标志性建筑就是根据梨花的形状进行设计的,建筑的五个“花瓣”中的每一个都可以近似看作由两个对称的弓形组成,图2为其中的一个“花瓣”平面图,设弓形的圆弧所在圆的半径为,弦长为,则一个“花瓣”的面积为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用扇形面积公式和三角形面积公式求弓形面积,由此可得结果.【详解】因为弓形的圆弧所在圆的半径为,弦长为, 所以弓形的圆弧所对的圆心角的大小为,所以弓形面积,所以一个“花瓣”的面积为,故选:B.7.函数的部分图象大致为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题可得函数奇函数,当时,,即可判断.【详解】∵,,定义域关于原点对称,∴,所以函数为奇函数,所以其图象关于原点成中心对称,所以选项C错误;又当时,,所以选项BD错误.故选:A.8.公元263,魏晋时期的数学家刘徽借助圆内接正多边形计算圆的面积,其“割圆术”思想为:割之弥细,所失弥少,割之又割,以至不可割,则与圆周合体.某数学兴趣小组,分别计算单位圆内接正边形和外切正边形(各边都和圆相切)的面积,将它们的平均数作为圆的面积,则用此法求得圆面积为() A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意,利用三角形面积公式,分别求出单位圆内接正边形的面积和单位圆外切正边形的面积,然后求它们的平均数即可.【详解】取单位圆,即半径,所以,单位圆内接正边形,可以分解成个三角形,且每个三角形面积为,所以,单位圆内接正边形的面积为.单位圆外切正边形可以同样分解成个三角形,且每个三角形面积为,所以,单位圆外切正边形的面积为.故它们的平均数为.故选:B二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合要求,全部选对得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分.9.下列说法正确的是()A.终边相同的角的同一三角函数值一定相同B.,则的最小值为C.已知,,,则在上的投影数量为 D.非零向量,,,若,则【答案】AC【解析】【分析】对于A,写出所有终边相同角,再利用诱导公式即可判断;对于B,利用基本不等式可判断;对于C,根据投影数量的定义代入公式求解判断;对于D,举一个反例说明与不相等的即可.【详解】对于A,与角终边相同的角:,根据诱导公式一即可得出三角函数值一定相同,A正确;对于B,,当且仅当即时,等号成立,此时最小值为,B错误;对于C,在上的投影数量为,C正确;对于D,因为,所以D错误.故选:AC.10.要得到如图所示图象,可由图象经过怎样的变换得到()A.每个点横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,再将横坐标向右平移个单位,纵坐标不变B.每个点横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,再将横坐标向右平移个单位,纵坐标不变 C.横坐标向右平移个单位,纵坐标不变,再将每个点横坐标缩短为原来的,纵坐标不变D.横坐标向左平移个单位,纵坐标不变,再将每个点横坐标缩短为原来的,纵坐标不变【答案】BCD【解析】【分析】先由图象求出,再对四个选项按照图像变换一一验证即可.【详解】由图像可知:A=1.,解得:,所以,解得:.所以.又由,解得:,所以.对于A:把图象每个点横坐标缩短为原来的,纵坐标不变得到的图象,再将横坐标向右平移个单位,纵坐标不变得到即为的图象.故A错误;对于B:把图象每个点横坐标缩短为原来的,纵坐标不变得到的图象,再将横坐标向右平移个单位,纵坐标不变得到即为的图象.故B正确;对于C:把图象横坐标向右平移个单位,纵坐标不变得到的图象,再将每个点横坐标缩短为原来的,纵坐标不变得到的图象.故C正确;对于D:把图象横坐标向左平移个单位,纵坐标不变,即为的图象,再将每个点横坐 标缩短为原来的,纵坐标不变,得到的图象.故D正确.故选:BCD.11.已知函数()在上单调,则的可能值为()A.2B.3C.4D.5【答案】AB【解析】【分析】先计算的取值范围,代入正弦函数的增区间,求得的范围,再根据进行选择.【详解】因为,故可得,又的单调增区间为,故,解得且又,故,.故选:AB.12.定义在上的函数满足在上单调递增,,且图象关于点对称,则下列选项正确的是()A.B.C.在上单调D.函数在上可能有2023个零点【答案】AC【解析】【分析】由,且图象关于点对称,得到的周期为4,结合 满足在上单调递增,结合周期性与对称性得到在单调递减,分别判定选项即可.【详解】所以的对称轴为,且,又图象关于点对称,则,所以,,所以,所以,所以的周期为4,所以为的对称中心,所以奇函数,且定义域为,所以,所以A正确;根据周期性,且,又对称轴为,所以,且函数满足在上单调递增,所以,所以,所以B错误;函数满足在上单调递增,且周期为4,所以函数满足在上单调递增,又图象关于点对称,所以在单调递增,又对称轴为,所以在单调递减,且在单调递减,且,所以在单调递减,所以C正确;对于D,在上有且仅有2个零点,且周期为4,在上有且仅有1010个零点,在上有且仅有2个零点,函数在上可能有1012个零点,所以D错误.故选:AC.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.向量,,且,则______.【答案】【解析】【分析】利用向量共线求解即可.【详解】因为向量,,且, 所以,解得,故答案为:.14.函数,的值域为______.【答案】【解析】【分析】由的范围求出的范围,再根据二次函数的性质即可得出答案.【详解】因为,所以,,则当时,,当时,,所以函数值域为.故答案为:.15.已知,则______.【答案】##【解析】【分析】利用诱导公式结合已知条件求解即可【详解】因为, 所以,故答案为:16.某同学为测量数学楼的高度,先在地面选择一点,测量出对教学楼的仰角,再分别执行如下四种测量方案,则利用测量数据可表示出教学楼高度的方案编号为______.方案(1):从点向教学楼前进米到达点,测量出角;方案(2):在地面上另选点,测量出角,,米;方案(3):在地面上另选点,测量出角,米;方案(4):从过点的直线上(不过点)另选点、,测量出米,,.【答案】(1)(2)(4)【解析】【分析】利用正弦定理可判断方案(1)(2);根据在中已知米,,无法解可判断方案(3);设米,根据结合余弦定理可得出关于的方程可判断方案(4). 【详解】对于方案(1),,,在中,由正弦定理可得,所以,米,在中,米,方案(1)满足条件;对于方案(2),在中,由正弦定理,所以米,在中,米,方案(2)满足条件;对于方案(3),在中,已知米,,无法求出的长,从而无法求出的长,方案(3)不满足条件;对于方案(4),设米,则米,米,米,因为,则,可得出关于的方程,即可解得的值,方案(4)满足条件.故答案为:(1)(2)(4).四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知角终边上一点,,且.(1)求的值;(2)求的值.【答案】(1)3(2)【解析】 【分析】(1)利用三角函数的定义可得答案;(2)先利用诱导公式进行化简,再代入三角函数值可得答案.【小问1详解】∵,且终边过点,∴,解得或(舍).所以.【小问2详解】又,,所以.18.已知,,向量与的夹角为150°.(1)计算;(2)若,求实数的值.【答案】(1)2;(2).【解析】【分析】(1)直接利用向量的模的公式求解;(2)由题得,化简即得解.【小问1详解】 解:,,向量与的夹角为150°,∴,∴;∴.【小问2详解】解:∵,∴,即,即,解得.19.已知函数. (1)用“五点(画图)法”作出在的简图;(2)求函数的单调递减区间.【答案】(1)作图见解析(2),【解析】【分析】(1)令为0、、、、、可得相应的的值,然后列表、描点、连线可得答案;(2)令,,求出可得答案.【小问1详解】列表如下:00020对应的图象如图: 【小问2详解】令,,得,.所以函数的单调递减区间为,.20.在中,角,,的对边分别为,,,且,.(1)求大小;(2)若边上的中线长为,求的面积.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由正弦定理化边为角,化简求解;(2)由余弦定理列方程求,再由三角形面积公式求面积. 【小问1详解】已知,由正弦定理,得,因为,所以,,所以,【小问2详解】设边上的中线为,在中,由余弦定理得:,即①.在和中,,所以,即化简,代入①式得,所以的面积21.已知中,,,,().(1)求的取值范围;(2)若线段上一点满足,求的最小值. 【答案】(1)(2)2【解析】【分析】(1)根据题意,两边平方可得关于的二次函数,进而求出的取值范围;(2)根据、、三点共线,可得,利用基本不等式可求的最小值.【小问1详解】根据题意,,所以取值范围为;【小问2详解】由题可得:,因为、、三点共线,所以故,所以当且仅当时等号成立,所以最小值为2.22.已知函数(,),其图象一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差,______;从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中.①函数向左平移个单位得到的图象关于轴对称且.②函数的一条对称轴为且; (1)求函数的解析式;(2)若,方程存在4个不相等的实数根,求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由最小正周期先求出.选①:利用函数向左平移个单位得到的图象关于轴对称求得的可能取值为、,再由验证出得到;选②:由函数的一条对称轴,求出的可能取值为、.再由验证出得到;(2)令,由得,时为增函数,时为减函数,并且.由得:,,研究方程存在4个不相等的实数根,列不等式,求出的取值范围.【小问1详解】由题意可知,函数的最小正周期为,∴.选①,将函数向左平移个单位,所得函数为. 由于函数的图象关于轴对称,可得(),解得().∵,所以,的可能取值为、.若,则,,符合题意;若,则,,不符合题意.所以,;选②:因为函数的一条对称轴,则(),解得().∵,所以,的可能取值为、.若,则,则,符合题意;若,则,则,不符合题意.所以,;【小问2详解】令,由得,,所以.其中满足,时为增函数,满足时为减函数解方程得:, 要使方程存在4个不相等的实数根,当,即在上存在两解,故取值范围应在或在或.即或或解得:或或故所求的的取值范围是【点睛】(1)已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质求其解析式时,A比较容易,困难的是求待定系数ω和φ,常用如下两种方法:①由ω=即可求出ω;确定φ时,若能求出离原点最近右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0,则令ωx0+φ=0(或ωx0+φ=π),即可求出φ.②代入点的坐标,利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式,再结合图形解出ω和φ,若对A,ω的符号或对φ的范围有要求,则可用诱导公式变换使其符合要求.(2)“结构不良问题”是2020年高考出现的新题型:题目所给的几个可选择的条件是平行的,即无论选择哪个条件,都可解答题目,而且,在选择的这几个条件中,并没有哪个条件让解答过程比较繁杂,只要推理严谨、过程规范,都会得满分.
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