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浙教版八年级下册教案2.2 一元二次方程的解法
浙教版八年级下册教案2.2 一元二次方程的解法
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2.2一元二次方程的解法教学目标会利用因式分解法、开平方法、配方法、公式法解一元二次方程;能利用一元二次方程根的判别式判断一元二次方程根的情况.重难点重点:四种一元二次方程的解法和一元二次方程根的判别式的意义.难点:用因式分解法和配方法解一元二次方程.教学过程一、探究新知上节课我们学习了一元二次方程的有关概念,同学们还记得吗?谁能说一说?教师:我们知道“能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(或根)”,那么我们怎么求一元二次方程的解呢?学生思考,教师引入新课.二、例题导学1.因式分解法例1解下列方程:(1)x2-3x=0.(2)25x2=16.解:(1)将原方程的左边分解因式,得x(x-3)=0,则x=0,或x-3=0,解得x1=0,x2=3.(2)移项,得25x2-16=0.将方程的左边分解因式,得(5x-4)(5x+4)=0,则5x-4=0,或5x+4=0,解得x1=,x2=.像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法.这种方法把解一个一元二次方程转化为解两个一元一次方程.例2解下列一元二次方程:(1)(x-5)(3x-2)=10.(2)(3x-4)2=(4x-3)2.学生独立完成,教师巡视、指导.2.开平方法一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定义,可得x1=,x2=-.这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.例3用开平方法解下列方程:(1)3x2-48=0.(2)(2x-3)2=7.解:(1)移项,得3x2=48.方程的两边同除以3,得x2=16.解得x1=4,x2=-4.(2)由原方程,得2x-3=,或2x-3=-,解得x1=,x2=. 3.配方法将一元二次方程的左边配成一个完全平方式,右边为一个非负数,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.例4用配方法解下列一元二次方程:(1)x2+6x=1.(2)x2+5x-6=0.解:(1)方程的两边同加上9,得x2+6x+9=1+9,即(x+3)2=10.则x+3=,或x+3=-,解得x1=-3+,x2=-3-.(2)移项,得x2+5x=6.方程的两边同加上,得x2+5x+=6+,即.则,或,解得x1=1,x2=-6.4.公式法(1)ax2-7x+3=0.(2)ax2+bx+3=0.(3)如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根,请同学独立完成下面这个问题.问题:已知ax2+bx+c=0(a≠0),试推导它的两个根x1=,x2=(这个方程一定有解吗?什么情况下有解?)解:移项,得ax2+bx=-c.二次项系数化为1,得x2+x=-.配方,得x2+x+()2=-+()2,即(x+)2=.∵4a2>0,当b2-4ac≥0时,≥0,∴(x+)2=()2,直接开平方,得x+=±,即x=,∴x1=,x2=. 由上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a,b,c而定,因此:(1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b2-4ac≥0时,将a,b,c代入式子x=就得到方程的根.(公式所出现的运算,恰好包括了所学过的六种运算,加、减、乘、除、乘方、开方,这体现了公式的统一性与和谐性)(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式.(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.例5用公式法解下列一元二次方程:(1)2x2-5x+3=0;(2)4x2+1=-4x;(3)x2-2x-=0.解:(1)对方程2x2-5x+3=0,a=2,b=-5,c=3,b2-4ac=(-5)2-4×2×3=1,∴x=,∴x1=,x2=.(2)移项,得4x2+4x+1=0,则a=4,b=4,c=1,b2-4ac=42-4×4×1=0,∴,∴.(2)方程的两边同乘4,得3x2-8x-2=0.则a=3,b=-8,c=-2,b2-4ac=(-8)2-4×3×(-2)=88,∴,∴,.从一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式的推导过程中不难看出,方程的根的情况由代数式b2-4ac的值来决定.因此b2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式,它的值与一元二次方程的根的关系是:b2-4ac>0则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根;b2-4ac=0则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根;b2-4ac<0则方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根.
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初中 - 数学
发布时间:2023-04-07 17:24:01
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