河南省豫北2023届高三数学（理）上学期10月大联考试卷（Word版附答案）

高三理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】因为，所以，得，所以集合；因为，得，解得，所以集合，所以.故选：A2.已知平面向量与的夹角为，若，，则（）A.2B.3C.D.4【答案】D【解析】【详解】由平方可得，因为，平面向量与的夹角为，所以即，解得或（舍去），故选：D3.若，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】 【详解】,,.故选：C4.已知虚数满足,则（）A.0B.1C.0或1D.2【答案】B【解析】【详解】解:由题知,设虚数z=a+biR,代入可得R,,可得(舍)或,故z=i,,故选:B.5.已知为等比数列，其公比为，设，，则是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【详解】当时，若，则，即，另一方面，取，由，可得且，即因此，是的既不充分也不必要条件.故选：D.6.我们知道二氧化碳是温室性气体，是全球变暖的主要元凶．在室内二氧化碳含量的多少也 会对人体健康带来影响．下表是室内二氧化碳浓度与人体生理反应的关系：室内二氧化碳浓度（单位：）人体生理反应不高于空气清新，呼吸顺畅空气浑浊，觉得昏昏欲睡感觉头痛，嗜睡，呆滞，注意力无法集中大于可能导致缺氧，造成永久性脑损伤，昏迷甚至死亡《室内空气质量标准》和《公共场所卫生检验办法》给出了室内二氧化碳浓度的国家标准为：室内二氧化碳浓度不大于（即为），所以室内要经常通风换气，保持二氧化碳浓度水平不高于标准值．经测定，某中学刚下课时，一个教室内二氧化碳浓度为，若开窗通风后二氧化碳浓度与经过时间（单位：分钟）的关系式为，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要开窗通风时间至少约为（参考数据：，）（）A.分钟B.分钟C.分钟D.分钟【答案】A【解析】【详解】由题意可知，当时，，可得，则，由，可得，故该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要开窗通风时间至少约为分钟.故选：A.7.在中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，则为（）A.钝角三角形B.正三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【答案】C【解析】 【详解】由结合正弦定理可得，即，所以，所以，因为，所以，因为，所以，故为直角三角形，故选：C8.已知函数的最大值与最小值之和为6，则实数a的值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【详解】解：，定义域为，令，因为，所以函数为奇函数，设的最大值为，最小值为，所以，因为，函数的最大值与最小值之和为，所以，解得.故选：B9.已知等差数列的公差不为，设为其前项和，若，则集合中元素的个数为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【详解】因为，可得，且，所以，，且数列单调递增，根据二次函数的对称性可知，，，，故集合中元素个数为.故选：D.10.已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则下列结论错误的是（）A.的图象关于点对称B.在上单调递增C.在上的值域为D.将的图象向右平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称【答案】C【解析】【详解】解：，函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，函数的最小正周期是，∴，∴，， ，∴关于对称，故A正确；由，解得，所以的一个单调增区间为，而，∴在上单调递增，故B正确；当时，有，则，所以，∴，故C错误；将的图象向右平移个单位长度得到关于轴对称，故D正确.故选：C11.在各项均为正数的等差数列中，、、构成公比不为的等比数列，是的前项和．若，，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】设等差数列的公差为，则且，由已知可得，即，可得，所以，，，所以，， ，，则，可得，因此，的最小值为.故选：A.12.已知a，b，，且，，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】构造函数（），，函数在上单调递减，，可转化为，可转化为，可转化为，下面比较的大小关系，显然：，，设，由和的图像可知： 当时，，而，所以，所以，即.,设，和的图像如图所示：因为，所以，使得，所以当时，，而，所以，所以，即，综上：,则分别函数与直线的交点横坐标，如图所示：由图可知：.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13.已知，若复数为纯虚数，则______．【答案】【解析】【详解】因为为纯虚数，所以，解得故答案为：14.已知，若曲线在处的切线方程为，则______．【答案】【解析】【详解】当时，，所以，即①，又，可得②，由①②可得：，所以.故答案为：.15.如图为矩形ABCD与半圆O的组合图形，其中，E为半圆弧上一点，，垂足为F，点P在线段AD上，且，设，则的面积与的关系式为______；的最大值为______．【答案】①.②.【解析】 【详解】设与交于点，根据题意可得，，因为，，所以，所以的面积，其中，因为，所以，所以，所以当且仅当时，取最大值为，所以的最大值为，故答案为：；16.已知，若，恒成立，则实数的取值范围为______． 【答案】【解析】【详解】由可知，设，则令，解得，当时，；当时，，即在单调递减，在单调递增即若，则则在单调递减，其中，因为，则，不能恒成立;故，使得，在单调递增，此时的取值范围满足题意,，解出故答案为:三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知为数列的前n项和，且，．（1）求，；（2）求的通项公式．【答案】（1），.（2）【解析】 【小问1详解】当时，，即，又，所以，当时，有，解得.故，.【小问2详解】因为，所以，两式相减得：，即，化简得：，所以，即，，化简得：.故的通项公式.18.（1）已知，求；（2）已知，，且，，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】 【详解】（1）因为，，所以，即所以（2）因为，，且，，所以，，所以，因为，，所以，所以19.在中，角、、的对边分别为、、，且．（1）证明：；（2）若，，求的面积．【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】【小问1详解】解：由及正弦定理可得，即，即，、、，则，所以，，，则，所以，，故.【小问2详解】解：由余弦定理可得，所以，，，则为锐角，故，因此，.20.在平面四边形中，，，．（1）若，求的长；（2）求四边形周长的最大值． 【答案】（1）；（2）.【解析】【小问1详解】解：连接，因为，，故为等边三角形，，，则，由正弦定理得，所以，.【小问2详解】解：由余弦定理可得，所以，，当且仅当时，等号成立.因此，四边形周长的最大值为.21.在数列中，，，，且数列为等比数列． （1）求数列的通项公式；（2）令，求的前n项和．【答案】（1）（2）【解析】【小问1详解】解：因，，所以，因为数列为等比数列，，所以，数列为等比数列，首项、公比均为，所以所以，两边同除以得,所以,又因为,所以是首项为,公比为的等比数列,所以,所以.【小问2详解】解：因为，所以 记数列的前项和，则，，所以，所以，所以22已知函数．（1）当时，求的最小值；（2）若函数有两个不同的零点，求实数a的取值范围．【答案】（1）0（2）【解析】【小问1详解】当时，令，，，因为在上单调递增，所以，又因为时，，所以，当且仅当时，等号成立，所以在上是增函数，且， 所以在上是增函数，所以；【小问2详解】由于，问题转化为求在区间有一根时，实数a的取值范围，当，即时，由（1）可知，即在区间无零点，不满足题意，当，即时，令，令，①当时，，所以在上为增函数，，所以存在唯一一个实数，使．②当时，，．由①②知，当时，单调递减，当时，单调递增，因为， 所以存在唯一实数，使，所以当时，单调递减，当时，单调递增，因为，所以存在唯一实数，使，即在区间有唯一零点，综上所得，函数两个不同的零点时，实数a的取值范围是．