浙江省杭州四校联盟2022-2023学年高二数学上学期1月期末试题（Word版附解析）

2022学年第一学期期末杭州周边四校联考高二年级数学试题选择题部分（共60分）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据交集定义求解.【详解】因为，所以，故选:A.2.若复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法运算，求出复数z及对应坐标即可作答.【详解】依题意，，复数z对应点的坐标是，所以复数z在复平面内对应的点位于第一象限.故选：A3.已知焦点在y轴上的椭圆的离心率是，则m的值是（）A.B.C.D.或【答案】C 【解析】【分析】根据焦点在y轴上的椭圆方程的特征，结合椭圆离心率公式进行求解即可.【详解】因为焦点在y轴上，故，该椭圆的离心率是，所以，显然满足，故选：C4.已知不同平面，不同直线和，则下列命题中正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若则【答案】A【解析】【分析】根据线面、面面位置关系有关的知识对选项进行分析，即可得出答案.【详解】对于A，若，则，故A正确；对于B，若，则可能垂直，平行，故B不正确；对于C，若，则或，故C不正确；对于D，若，则可能平行，异面，相交，故D不正确；.5已知，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题中式子可知，再利用倍角公式即可解出答案．【详解】因为． 故选：B6.关于函数，下列选项错误的是（）A.是偶函数B.在区间上单调递增C.的最大值为2D.为的一个周期【答案】C【解析】【分析】求出，即可判断A项；求出可判断D项；求出时，，且在上单调递增，根据周期性即可判断B项；根据周期，只需求出在时的最大值，即可判断C项.【详解】由已知可得，，所以为的一个周期.当时，.因为，所以，所以的最大值为.对于A项，因为，所以是偶函数，故A项正确；对于B项，因为当时，，，所以在上单调递增.由为的周期可知，在区间上单调递增，故B项正确；对于C项，由的最大值为，知C项错误； 对于D项，因为，所以为的一个周期，故D项正确.故选：C.7.已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据对数性质确定a，，作商后由换底公式变形，利用均值不等式，再放缩可得，根据对数函数单调性再确定，即可得解.【详解】由题可知，，，易知a，．因为，所以．另一方面，，所以；故选：D．8.已知函数，若存在唯一的整数x，使得成立，则所有满足条件的整数a的个数为（）A.4B.3C.2D.1【答案】A【解析】【分析】先整理分段函数，求出的解.作出的图象，根据以及的图象，分类讨论，即可得出答案.【详解】由已知可得.解可得，或或. 作出以及的图象如下图，,，，.当与的图象在轴异侧时，.如图1，当，即在图中位置时.由图象可知，在内，有与的图象在轴异侧，即成立，有一个整数解；在内，有与的图象在轴异侧，即成立，显然此时没有整数解，即存在唯一的整数解；如图2，当时，在内，有与的图象在轴异侧，即 成立，有一个整数解；在内，有与的图象在轴异侧，即成立.要使不等式有唯一整数解，则应满足，所以有；当时，有，即是的整数解.显然当或时，存在其他整数解，不合题意，舍去；当时，在内有解，但是不存在整数解，满足题意；显然时，满足题意；如图3，当时，不等式在上有解.由题意知，应有，所以.综上所述，满足条件的的取值范围为或.所以，满足条件的整数有，，，，共有4个.故选：A．【点睛】方法点睛：作出以及的图象，根据与三个零点的位置关系，结合图像，即可得出答案.二、选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题的四个选项中， 有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.以下说法正确的有（）A.“且”是“”的充要条件B.若，则C.命题“，使得”的否定是“，使得”D.当时，的最小值为【答案】BC【解析】【分析】分别判断充分条件和必要条件是否成立，即可判断A项；根据不等式的性质，即可判断B项；写出存在量词命题的否定，即可判断C项；换元，根据对勾函数的单调性，即可求出，即可判断D项.【详解】对于A，当且时，有；当时，或，得不出且.所以，“且”是“”的充分不必要条件，故A错误；对于B，由可知，由不等式的性质，可得成立，故B正确；对于C，由存在量词命题的否定可知命题“，使得”的否定是“，使得”，故C正确；对于D，令，因为在上单调递减，所以，故D错误.故选：BC．10.某校有甲、乙、丙三名学生是新冠阳性患者的密切接触者，已知密切接触者新冠病毒检测呈阳性的概率为，记事件A为“三名学生都是阴性”，事件B为“三名学生都是阳性”，事件C为“三名学生至少有一名是阳性”，事件D为“三名学生不都是阴性”，则（）A.B.事件A与事件B互斥C.D.事件A与事件C对立【答案】ABD 【解析】【分析】三名学生新冠病毒检测呈阳性为独立事件，由此可计算出事件A的概率；不能同时发生的事件为互斥事件,由此判断B选项；根据事件C与事件D的描述可知两个事件为同一事件，概率相同；对立事件概率相加为1.【详解】对于A：，A正确；对于B：事件A与事件B不能同时发生，事件A与事件B互斥，B正确；对于C：事件C与事件D为同一事件，，C错误；对于D：为不可能事件，为必然事件，事件A与事件C对立，D正确．故选：ABD．11.已知圆，过点直线l与圆O交于P，Q两点．下列说法正确的是（）A.的最小值为B.C.的最大值为D.线段PQ中点的轨迹为圆【答案】BCD【解析】【分析】根据直线和圆相交所得弦长最值、向量数量积运算、动点轨迹等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】对于A：当轴时，最小，的最小值为，A错误；对于B：设是的中点，连接，则，，的最小值为，最大值为4，，B正确；对于C：当直线l的斜率为0时，．当直线l的斜率不为0时，设，，． 联立，得，，，，的最大值为，当且仅当，即时取等号，C正确；对于D：由于，则点N在以MO为直径的圆上，圆心为，半径为，点N的轨迹方程为，线段PQ中点的轨迹为圆，D正确．故选：BCD12.在矩形中，，为的中点，将沿直线翻折至的位置，则（）A.翻折过程中，直线与所成角的余弦值最大为B.翻折过程中，存在某个位置的，使得C.翻折过程中，四棱锥必存在外接球 D.当四棱椎的体积最大时，以为直径的球面被平面截得交线长为【答案】AD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设的坐标，借助空间向量可以对选项A，B进行辨析；通过四边形不存在外接圆，可判断四棱锥不存在外接球，对选项C进行辨析；求出当四棱椎的体积最大时点的坐标，即可求出以为直径的球的球心坐标和直径，再求出球心到平面的距离，即可求出以为直径的球面被平面截得交线长.【详解】在矩形中，取中点，连接与交于点，∵，∴，∴，且，∴以为原点，，所在直线分别为轴，轴，过与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系如上图，则，，，∵为中点，∴，将沿直线翻折至的位置的过程中，在以为圆心，直径为的圆弧上，∴在平面内，设，且，，，即， ∴，，，，对于A，设直线与所成角为，则，易知，当时，单调递增，∴当时，，故选项A正确；对于选项B，翻折过程中，恒成立，∴不存在某个位置的，使得，故选项B错误；对于C，连接，直角有以为直径的唯一外接圆，又∵，∴不在的外接圆上，即四边形无外接圆，∴四棱锥不存在外接球，故选项C错误；对于D，当四棱椎的体积最大时，到平面距离最大，∴此时在轴上，平面即平面，∴以为直径的球的球心为中点， ∴球心到平面即平面的距离为，又∵该球的直径，∴半径，由球的几何性质，以为直径的球面被平面截得交线为圆，该圆的半径，∴该圆的周长为，故选项D正确.故选：AD.【点睛】根据折叠问题条件，思考点的轨迹，合理的建立空间直角坐标系，使位于平面内，动点的坐标更加简洁，可以大量减少各选项辨析过程中的计算量.非选择题部分（共90分）三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.计算：________．【答案】7【解析】【分析】根据对数运算以及指数运算，可得答案.【详解】原式，故答案为：7.14.阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯､牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切），在该图形中，球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的，则该圆柱的体积与它的外接球的体积之比为___________.【答案】【解析】【分析】设圆柱底面半径为，由题意可知圆柱的高为 ，再根据圆柱的底面与外接球的关系，可利用勾股定理即可求出圆柱外接球半径，由两几何体的体积公式求出各自的体积，由此即可求出比值.【详解】设圆柱的底面半径为，则圆柱的内切球的半径为，∴圆柱的高为，∴圆柱的体积为，又圆柱的外接球球心为上下底面圆心连线的中点，∴圆柱的外接球半径，∴圆柱的外接球体积为，故.故答案为：.15.已知正数x，y满足，则的最小值为________．【答案】12【解析】【分析】将式子适当变形结合二次函数的性质即可求解.【详解】由题意，，，，将代入，原式，当时，取到最小值12．故答案为：12． 16.已知、是双曲线的左、右焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则该双曲线的离心率为________．【答案】4【解析】【分析】作图，易得是三角形的中位线，解出.进而在中，根据勾股定理求得，进而得出，根据的关系，即可得出结果.【详解】设双曲线渐近线的倾斜角为.如图，设关于渐近线的对称点为M，连接、.设线段交渐近线于点N，则，又与圆相切与点，所以，所以.因为点是的中点，所以是三角形的中位线，所以，．又，所以.因为，又在中，有， 所以.所以，即，所以，所以，所以．故答案为：4．四、解答题：（本大题共6小题，共70分．）17.已知锐角的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理统一为三角函数，再由三角恒等变换化简即可求解；（2）根据，转化为关于B的正弦型函数，利用正弦函数值域求解即可.【小问1详解】由题意可得．由正弦定理得，又，，则．因为，所以．又，所以．【小问2详解】． 因为锐角三角形，所以，且，所以．所以，即的取值范围是．18.已知圆C的方程为．（1）直线l过点，且与圆C交于A、B两点，若，求直线l的方程；（2）点为圆上任意一点，求的最大值和最小值．【答案】（1）；（2）最大值是，最小值是．【解析】【分析】（1）由已知求出圆心、半径，根据弦长得出.先验证斜率是否存在，若存在，则设出直线方程，表示出圆心到直线的距离求解即可；（2）方法一，设，将其与圆的方程联立，根据方程有解，解即可得出答案；方法二：由基本不等式推出，开方即可得出结果；方法三，换元法：令，，.代入根据辅助角公式化简，即可得出范围.【小问1详解】圆C的圆心为坐标原点O，半径为.设圆心O到直线l的距离为d，则．①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，满足题意；②当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为，即，由题意可得，解得，此时直线l的方程为．综上所述，直线l的方程为或．【小问2详解】 方法一：设.联立可得，.因为直线与圆有交点，所以.又，所以，解得.所以的最大值是，最小值是；方法二：因为，当且仅当等号成立，所以．所以的最大值是，最小值是．方法三，换元：令，，.则，因为，所以，所以.所以的最大值是，最小值是．19.某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人. （1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第80百分位数；（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者.（i）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定人选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；（ii）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差.【答案】（1）32.25岁；37.5；（2）（i）；（ii）10.【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图，利用组中值乘以相应的频率，即可的这人的平均年龄；设第80百分位数为，计算从左到右频率和为或计算从右到左频率和为，即可求出；(2)（i）由题意可得，第四组应抽取4人，记为，，，甲，第五组抽取2人，记为，乙，根据古典概型计算方法求解即可；（ii）根据方差的计算原理计算合并后方差即可.【详解】解：（1）设这人的平均年龄为，则（岁）.设第80百分位数为，方法一：由，解得.方法二：由，解得.（2）（i）由题意得，第四组应抽取4人，记为，，，甲，第五组抽取2人，记为 ，乙，对应的样本空间为：，共15个样本点.设事件“甲、乙两人至少一人被选上”，则，共有9个样本点.所以，.（ii）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，则，，，，设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为.则，，因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，据此，可估计这人中年龄在35~45岁的所有人的年龄方差约为10.20.如图，在三棱锥中，是正三角形，，，D是AB的中点．（1）证明：；（2）若二面角为，求直线BC与平面PAB所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）找出AC的中点O，连接OP，OD，根据等边三角形性质和题意，先证明面POD，通过证明线面垂直最后证明出线线垂直．（2）根据（1）可知二面角就时，因此以OA，OD为x轴，y轴，过O作z轴底面ABC，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量与二面角关系求出答案．【小问1详解】取AC的中点O，连接OP，OD，因为是正三角形，所以，因为D是AB的中点，所以，因为，所以，又，PO，面POD，所以面POD，又因为面POD，所以．【小问2详解】以OA，OD为x轴，y轴，过O作z轴底面ABC，建立如图空间直角坐标系，则，，，，易得，又，则，由得直线BC的一个方向向量为， 设平面PAB的法向量为，，，则，令，则平面PAB的一个法向量为，记直线BC与平面PAB所成角为，那么．21.设抛物线的焦点为F，C的准线与x轴的交点为E，点A是C上的动点．当是等腰直角三角形时，其面积为2．（1）求C的方程；（2）延长AF交C于点B，点M是C的准线上的一点，设直线MF，MA，MB的斜率分别是，，，若，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据是等腰直角三角形可判断，由此可推断出，代入抛物线方程即可解出方程．（2）设出A、B、M三点坐标，分别用三点坐标表示出线MF，MA，MB的斜率，再将抛物线方程和直线AB的方程联立，利用韦达定理代入化简式子，即可求出的值.【小问1详解】当是等腰直角三角形时，，点，，，抛物线方程为．【小问2详解】解析1：抛物线方程为，准线方程为，焦点，设，，， ①当直线AB的斜率不存在时，，，，，，，即，②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为：，联立方程，消去y得：，，于是，，，，．，所以．解析2：由（1）知，设直线AB的方程：代入得：，设，，所以，，设，则，，．，， ，．所以．22设函数，其中．（1）若，求在上的最大值；（2）已知满足对一切实数x均有，求函数的值域；（3）若，且，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据函数新定义的式子，得到的解析式，由分段函数解析式即可确定函数单调性，从而可得最大值；（2）由可得函数的对称性，即可得为偶函数，从而确定参数的值，由此得的值域，从而得的值域；（3）由可得，从而确定方程的根的取值情况，列不等式，即可得实数b的取值范围．【小问1详解】解：若，则函数，其中，所以，则函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，所以的最大值为；【小问2详解】解：，由题意关于直线对称，即为偶函数．所以，，又函数的定义域为，而与的值域相同，所以的值域是；【小问3详解】解：若，则，，即，即，即，与有相同的根，或无根，若与有相同的根，则且，∴，即，，则，∴；若无根，则中，∴ ，综上，实数的取值范围是．