沪科版数学九年级下册 24.4 第3课时 切线长定理 课件

第3课时切线长定理24.4直线与圆的位置关系第24章圆 情境引入同学们玩过抖空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？ 切线长定理及应用问题1我们已经学习了如何过圆上一点作已知圆的切线.那么，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？O.PAB合作探究你可以作几条？作法：1.连接OP；2.以OP为直径作圆，设此圆交⊙O于点A，B；3.连接PA，PB.则直线PA，PB即为所作. ◑切线上一点到切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长．知识要点O.PAB◑过圆外任意一点能够作出圆的两条切线.①切线是直线，不能度量；②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．◑切线长与切线的区别O，A，P，B四点共圆哦！ 问题2沿直线PO将图形折叠，你有什么发现？OPABPA=PB，∠APO=∠BPO.试着自己证明.证明：连接OA，OB，如图.∵PA，PB切☉O于点A，B，∴OA⊥PA，OB⊥PB.∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP.∴PA=PB，∠APO=∠BPO. 切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.∵PA、PB分别切☉O于A、B，∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.几何语言：OPAB知识要点切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法. 1.若连接两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?请给出证明.解：OP垂直平分AB.证明：∵PA，PB是⊙O的切线，点A，B是切点，∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线.∴OP垂直平分AB.M想一想：OPAB 2.若PO的延长线交⊙O于点C，连接CA、CB，你又能得出什么新的结论?请给出证明.证明：∵PA，PB是⊙O的切线，点A，B是切点，∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.又∵PC=PC，∴△PCA≌△PCB.∴CA=CB，∠ACP=∠BCP.解：CA=CB，∠ACP=∠BCP.COPAB 如图，PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点，直线OP交☉O于点D、E，交AB于C.(1)写出图中所有的垂直关系；OA⊥PA，OB⊥PB，AB⊥OP.(3)写出图中所有的全等三角形；△AOP≌△BOP，△AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP.(4)写出图中所有的等腰三角形.△ABP，△AOB.(2)写出图中与∠OAC相等的角；∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC.BPOACED练一练 例1已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切于点E、F、G、H.求证：AB+CD=AD+BC.证明：∵AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切于点E、F、G、H，·ABCDOEFGH∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH.∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，即AB+CD=AD+BC.典例精析 例2如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在弧AB上.若PA长为2，则△PEF的周长是_____．解析：因为PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，所以PA＝PB.因为⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点为C，所以EA＝EC，CF＝BF，所以△PEF的周长是PE＋EF＋PF＝PE＋EC＋CF＋PF＝PA＋PB＝2＋2＝4.4 解析：如图，连接OA、OB.∠AOB＝2∠ACB＝140°.∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴O，A，P，B四点共圆，OP平分∠APB.∴∠APB＝180°－∠AOB＝180°－140°＝40°＝2∠OPA.∴∠OPA＝20°.例3如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠ACB＝70°，那么∠OPA的度数是____度．20 如图，PA、PB是☉O的两条切线，点A、B是切点，在弧AB上任取一点C，过点C作☉O的切线，分别交PA、PB于点D、E.已知△PDE的周长为14，∠P=40°.则(2)∠DOE=°.(1)PA=；7OPABCED70练一练 例4为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径.若三角板与圆相切且测得PA=5cm，求铁环的半径．O解：设铁环的圆心为O，连接OP、OA，过O作OQ⊥AB于Q.∵AP、AQ为⊙O的切线，∴∠PAO＝∠QAO.QBC5cm 在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，又∵∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.即铁环的半径为∴OQBC5cm 1.如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点分别是A、B，若AP=4，∠APB=40°，则∠APO=°，PB=.BPOA204 2.如图，从☉O外一点P引☉O的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB=.BPOA8 3.如图，AB、AC、BD是☉O的切线，P、C、D为切点，若AB=5，AC=3，则BD=.BPOACD24.如图，四边形ABCD的四条边分别与⊙O相切，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为.·ABCDO第3题图第4题图52 5.如图，△ABC三边都与⊙O相切，求证：AB+CF=AC+BF.证明：∵△ABC三边都与⊙O相切，∴AD=AE①，BD=BF②，CF=CE③.∴①+②+③，得AD+BD+CF=AE+BF+CE.∴AB+CF=AC+BF.FEDCBAO 6.如图，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC.证明：方法①：连接OD，如图.∵AC切⊙O于点D，∴OD⊥AC.∴∠ODC=∠B=90°.∵OD=OB，OC=OC，∴Rt△ODC≌Rt△OBC(HL).∴∠DOC=∠BOC.∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED. 方法②：连接BD，如图.∵BC⊥AB，∴BC切⊙O于点B.又∵AC切⊙O于点D，∴DC=BC，CO平分∠DCB.∴OC⊥BD.∵BE为⊙O的直径，∴DE⊥BD.∴DE∥OC．∵∠DOB=∠ODE+∠OED，∴∠BOC=∠OED.∴DE∥OC． 切线长切线长定理作用图形的轴对称性/全等原理提供了证明线段和角相等的新方法辅助线分别连接圆心和切点；连接两切点；连接圆心和圆外一点