沪科版数学八年级下册 18.2 第1课时 勾股定理的逆定理 课件

18.2勾股定理的逆定理第18章勾股定理第1课时勾股定理的逆定理 BCA问题1勾股定理的内容是什么?如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.bca问题2求以线段a，b为直角边的直角三角形的斜边c的长：①a＝3，b＝4；②a＝2.5，b＝6；③a＝4，b＝7.5.c＝5c＝6.5c＝8.5复习引入思考以前我们已经学过了通过角的关系来判定直角三角形，那可不可以通过边来判定直角三角形呢？ 同学们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗?打13个等距的结，把一根绳子分成等长的12段，然后以3段，4段，5段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.情景引入（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（13）（12）（11）（10）（9） 思考：从前面我们知道古埃及人认为一个三角形三边长分别为3，4，5，那么这个三角形为直角三角形.按照这种做法真能得到一个直角三角形吗?大禹治水相传，我国古代的大禹在治水时也用了类似的方法确定直角. 下面有三组数，分别是一个三角形的三边长a，b，c：①5，12，13；②7，24，25；③8，15，17.问题1分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？是勾股定理的逆定理 下面有三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c：①5，12，13；②7，24，25；③8，15，17.问题2这三组数在数量关系上有什么相同点？①5，12，13满足52+122=132，②7，24，25满足72+242=252，③8，15，17满足82+152=172.问题3古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？32+42=52，满足.a2+b2=c2 我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差.我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能以部分代表整体.问题4据此你有什么猜想呢?由上面几个例子，我们猜想：命题如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. △ABC≌△A′B′C′？∠C是直角△ABC是直角三角形ABCabc已知：如图，△ABC的三边长a，b，c满足a2+b2=c2.求证：△ABC是直角三角形．构造两直角边分别为a，b的Rt△A′B′C′证一证： 证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).∴∠C=∠C′=90°，即△ABC是直角三角形.则A′B′2=B′C′2+A′C′2=a2+b2.ACaBbc 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.ACBabc勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形，最长边所对应的角为直角.特别说明：归纳总结 例1下面以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形?如果是，那么哪一个角是直角？(1)a=15，b=8，c=17；解：(1)∵152+82=289，172=289，∴152+82=172.根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直角.(2)a=13，b=14，c=15.(2)∵132+142=365，152=225，∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理.∴这个三角形不是直角三角形.根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.归纳 【变式题1】若△ABC的三边a，b，c满足a∶b∶c=3∶4∶5，试判断△ABC的形状.解：设a=3k，b=4k，c=5k(k＞0)，∵(3k)2+(4k)2=25k2，(5k)2=25k2，∴(3k)2+(4k)2=(5k)2.∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角.已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰直角三角形.归纳 【变式题2】(1)若△ABC的三边a，b，c，且a+b=4，ab=1，c=，试说明△ABC是直角三角形.解：∵a+b=4，ab=1，∴a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14.又∵c2=14，∴a2+b2=c2.∴△ABC是直角三角形. (2)若△ABC的三边a，b，c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，试判断△ABC的形状.解：∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，∴a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0，即(a－3)²+(b－4)²+(c－5)²=0.∴a=3，b=4，c=5.则有a2+b2=c2.∴△ABC是直角三角形. 例2如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE＝CB，试判断AF与EF的位置关系，并说明理由．解：AF⊥EF.理由如下：设正方形的边长为4a，则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.在Rt△ABE中，AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2；在Rt△CEF中，EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2；在Rt△ADF中，AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.∴在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2．∴△AEF为直角三角形，且AE为斜边．∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF． 练一练1.下列长度的各组线段中，能构成直角三角形的是()A．2，3，4B．3，4，6C．5，12，13D．4，6，7C2.一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是()A．4B．3C．2.5D．2.4D3.若△ABC的三边a，b，c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC是________________________.等腰三角形或直角三角形 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.概念学习勾股数 常见勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.勾股数拓展：一组勾股数，都扩大相同的倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组新数同样是勾股数. 下列各组数是勾股数的是()A.6，8，10B.7，8，9C.0.3，0.4，0.5D.52，122，132A方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最大数的平方是否等于较小两数的平方和即可.练一练 1.下列各组数是勾股数的是()A.3，4，7B.5，12，13C.1.5，2，2.5D.1，3，52.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数，则得到的三角形()A.是直角三角形B.可能是锐角三角形C.可能是钝角三角形D.不可能是直角三角形BA 3.已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式，则△ABC的形状是________________．等腰直角三角形4.一个三角形的三边长分别为15cm、20cm、25cm，则这个三角形最长边上的高是_____cm.12 5.已知△ABC中，AB=n²-1，BC=2n，AC=n²+1(n为大于1的正整数).试问△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由.解：∵AB²+BC²=(n²-1)²+(2n)²=n4-2n²+1+4n²=n4+2n²+1=(n²+1)²=AC²，∴△ABC是直角三角形，边AC所对的角是直角. 6.如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，AC=10，AD=CD=，求四边形ABCD的面积.∴△ABC是直角三角形且∠B是直角.∴△ADC是直角三角形且∠D是直角.∴S四边形ABCD= 勾股定理的逆定理内容作用从三边数量关系判定一个三角形是否是直角形三角形如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形注意最长边不一定是c，直角也不一定是∠C勾股数一定是正整数组