鲁教版九下教案5.4 第2课时 圆周角和圆心角的关系

5.4圆周角和圆心角的关系（2）　　教学目标　　(一)教学知识点　　1．掌握圆周角定理几个推论的内容．　　2．会熟练运用推论解决问题．　　(二)能力训练要求　　1．培养学生观察、分析及理解问题的能力．　　2．在学生自主探索推论的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式．　　(三)情感与价值观要求　　培养学生的探索精神和解决问题的能力.　　教学重点　　圆周角定理的几个推论的应用．　　教学难点　　理解几个推论的“题设”和“结论”．　　教学方法指导探索法．教具准备投影片三张第一张：引例第二张：例题第三张：做一做教学过程　　Ⅰ．创设问题情境，引入新课　　[师]请同学们回忆一下我们前几节课学习了哪些和圆有关系的角?它们之间有什么关系?　　[生]学习了圆心角和圆周角、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．即圆周角定理．　　[师]我们在分析、证明上述定理证明过程中，用到了些什么数学思想方法?　　[生]分类讨论、化归、转化思想方法．8/8 　　[师]同学们请看下面这个问题：(出示投影片§4．3．2A)已知弦AB和CD交于⊙O内一点P，如下图．　　求证：PA·PB=PC·PD．[师生共析]要证PA·PB＝PC·PD，可证．由此考虑证明以PA、PC为边的三角形与以PD、PB为边的三角形相似．由于图中没有这两个三角形，所以考虑作辅助线AC和BD．要证△PAC∽△PDB．由已知条件可得∠APC与∠DPB相等，如能再找到一对角相等．如∠A＝∠D或∠C＝∠B．便可证得所求结论．如何寻找∠A=∠D或∠C=∠B.要想解决这个问题．我们需先进行下面的学习．Ⅱ．讲授新课　　[师]请同学们画一个圆，以A、C为端点的弧所对的圆周角有多少个?(至少画三个)　　它们的大小有什么关系?你是如何得到的?　　[生]弧AC所对的圆周角有无数个，它们的大小相等，我是通过度量得到的．　　[师]大家想一想，我们能否用验证的方法得到上图中的∠ABC＝∠ADC＝∠AEC?(同学们互相交流、讨论)[生]由图可以看出，∠ABC、∠ADC和∠AEC是同弧(弧AC)所对的圆周角，根据上节课我们所学的圆周角定理可知，它们都等于圆心角∠AOC的一半，所以这几个圆周角相等．[师]通过刚才同学的学习，我们上面提出的问题∠A=∠D或∠C＝∠B找到答案了吗?　　[生]找到了，它们属于同弧所对的圆周角．由于它们都等于同弧所对圆心角的一半，这样可知∠A＝∠D或∠C＝∠B．　　[师]如果我们把上面的同弧改成等弧，结论一样吗?　　[生]一样，等弧所对的圆心角相等，而圆周角等于圆心角的一半，这样，我们便可得到等弧所对的圆周角相等．　　[师]通过我们刚才的探讨，我们可以得到一个推论．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．8/8 [师]若将上面推论中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，结论成立吗?请同学们互相议一议．[生]如图，结论不成立．因为一条弦所对的圆周角有两种可能，在弦不是直径的情况下是不相等的.　　注意：(1)“同弧”指“同一个圆”．　　(2)“等弧”指“在同圆或等圆中”．　　(3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．　　[师]接下来我们看下面的问题：　　如图，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角是锐角、直角，还是钝角?你是如何判断的?(同学们互相交流，讨论)　　[生]直径BC所对的圆周角是直角，因为一条直径将圆分成了两个半圆，而半圆所对的圆心角是∠BOC=180°，所以∠BAC=∠90°．　　[师]反过来，在图中，如果圆周角∠BAC=90°，那么它所对的弦BC经过圆心O吗?为什么?　　[生]弦BC经过圆心O，因为圆周角∠BAC=90°．连结OB、OC，所以圆心角∠BOC=180°，即BOC是一条线段，也就是BC是⊙O的一条直径．　　[师]通过刚才大家的交流，我们又得到了圆周角定理的又一个推论：　　直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．　　注意：这一推论应用非常广泛，一般地，如果题目的已知条件中有直径时，往往作出直径上的圆周角——直角：如果需要直角或证明垂直时，往往作出直径即可解决问题．　　[师]为了进一步熟悉推论，我们看下面的例题．8/8 　　 [例]如图示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系?为什么?　　[师生共析]由于AB是⊙O的直径，故连接AD．由推论直径所对的圆周角是直角，便可得AD⊥BC，又因为△ABC中，AC＝AB，所以由等腰三角形的二线合一，可证得BD=CD．　　下面哪位同学能叙述一下理由?　　[生]BD=CD．理由是：　　连结AD．　　∵AB是⊙O的直径，　　∴∠ADB=90°．　　即AD⊥BC．　　又∵AC＝AB,　　∴BD＝CD．　　[师]通过我们学习圆周角定理及推论，大家互相交流，讨论一下，我们探索上述问题时，用到了哪些方法?试举例说明．　　[生]在得出本节的结论过程中，我们用到了度量与证明的方法，比如说在研究同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；还学到了分类与转化的方法．比如说在探索圆周角定理过程中，定理的证明应分三种情况，在这三种情况中，第一种情况是特殊情况，是证明的基础，其他两种情况都可以转化为第一种情况来解决，再比如说，学习圆周角定义时，可由前面学习列的圆心角类比得出圆周角的概念……　　Ⅲ．巩固练习　　1．为什么有些电影院的坐位排列(横排)呈圆弧形？说一说这种设计的合理性．8/8 　　答：有些电影院的坐位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等．　　2．如下图，哪个角与∠BAC相等?　　答：∠BDC＝∠BAC．　　3.如下图，⊙O的直径AB＝10cm，C为⊙O上的一点，∠ABC＝30°，求AC的长．　　解：∵AB为⊙O的直径．　　∴ACB=90°．　　又∵∠ABC=30°，　　∴AC=AB=×10=5(cm)．　　4．小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形，根据下图，你能判断哪个是半圆形?为什么?　　答：图(2)是半圆形、理由是：90°的圆周角所对的弦是直径．　　Ⅳ．下面我们一起来看一个问题：做一做　　船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁，如下图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是“危险角”．当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁；当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，就能避免触礁．8/8 　　(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么?　　(2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么?　　分析：这是一个有实际背景的问题，由题意可知：“危险角”∠ACB实际上就是圆周角，船P与两个灯塔的夹角为∠α，P有可能在⊙O外，P有可能在⊙O内，当∠α＞∠C时，船位于暗礁区域内；当∠α＜∠C时，船位于暗礁区域外，我们可采用反证法进行论证．　　解：(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”∠C时，船位于暗礁区域内(即⊙O内)，理由是：　　连结BE，假设船在(⊙O上，则有∠α=∠C，这与∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假设船在⊙O外，则有∠α＜∠AEB，即∠α＜∠C，这与∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O外．因此．船只能位于⊙O内．　　(2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”∠C时，船位于暗礁区域外(即⊙O外)．理由是：　　假设船在⊙O上，则有∠α＝∠C，这与∠α<∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假设船在⊙O内，则有∠α>∠AEB，即∠α>∠C．这与∠α<∠C矛盾，所以船不可能在⊙O内，因此，船只能位于⊙O外．　　注意：用反证法证明命题的一般步骤：　　(1)假设命题的结论不成立；　　(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾．　　(3)山矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．　　Ⅴ．课时小结8/8 　　本节课我们学习了圆周角定理的2个推论，结合我们上节课学到的圆周角定理，我们知道，在同圆或等圆中，根据弦及其所对的圆心角，弧，弦、弦心距之间的关系，实现了圆中这些量之间相等关系的转化，而圆周角定理建立了圆心角与圆周角之间的关系，因此，最终实现了圆中的角(圆心角和圆周角)，线段(弦、弦心距)、弧等量与量之间相等关系的相等相互转化，从而为研究圆的性质提供了有力的工具和方法．　　Ⅵ．课后作业　　课本P24习题5.6　　Ⅶ．活动与探究　　1．如下图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC于D，P是弧AC上一动点，连结PB分别交AD、AC于点E、F．　　(1)当弧PA=弧AB时，求证：AE=EB；　　(2)当点P在什么位置时，AF=EF，证明你的结论．　　[过程](1)连结AB．证AE=EB．需证∠ABE＝∠BAE．　　(2)执果索因寻条件：要AF=EF，即要∠A＝∠AEF，而∠AEF=∠BED，而要∠A=∠BED，只需∠B＝∠C，从而转化为弧PC=弧AB．　　[结果](1)证明：延长AD交⊙O于点M，连结AB、BM．　　∵BC为⊙O的直径，AD⊥BC于D．　　∴弧AB=弧BM．　　∴∠BAD＝∠BMD．　　又∵弧AB=弧AP，　　∴∠ABP=∠BMD．　　∴∠BAD＝∠ABP．　　∴AE＝BE．　　(2)当弧PC=弧AB时，AF=EF．　　证明：∵弧PC=弧AB，　　∴∠PBC=∠ACB．　　而∠AEF＝∠BED＝90°-∠PBC，8/8 　　∠EAF=90°-∠ACB．　　∴∠AEF=∠EAF．　　∴AF=EF．　　备课资料　　参考练习　　1．若⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥BC于D，且∠BOD=48°．则∠BAC＝_____　　2．△ABC是半径为2cm的圆内接三角形，若BC=2cm，则∠A的度数为 .　　3．在⊙O中，直径AB＝10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，则BC= cm，AD= cm，BD= cm．参考答案：1．48°或132°　　2．60°或120°　　3．8 5　58/8